EPFL 10 décembre 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 11
L'exercice 5 est à rendre le 17 décembre au début de la séance d'exercices.
Le symbole Fdésigne soit R, soit C.
Exercice 1. Soit A=
7 8 11 6
−4 −4 −5 −3
2 2 3 2
1 1 1 1
. Calculer A−1. Exercice 2.
(a) Soit A ∈ Mat(n, n;F) une matrice telle que A2 = 0. Montrer que In+A est inversible, d'inverse In−A.
(b) Soit N ∈ Mat(n, n;F) une matrice nilpotente, i.e. il existe k ∈ N avec Nk = 0. Montrer que In+N est inversible. Quel est l'inverse ?
(c) Calculer l'inverse deA =
1 a b c 0 1 a b 0 0 1 a 0 0 0 1
, où a, b, c∈F.
Exercice 3. Soit a, b, c, d des nombres réels xés. Soit
A =
a b c d
−b a −d c
−c d a −b
−d −c b a
.
Calculer AAt et ensuite A−1. Exercice 4.
(a) Calculer les nombres d'inversions des permutations suivantes.
(i) σ∈S4, donnée parσ(1) = 4, σ(2) = 3, σ(3) = 2, σ(4) = 1.
(ii) ¯σ ∈ S7, donnée par σ(1) = 4¯ , σ(2) = 5¯ , σ(3) = 2¯ , σ(4) = 1¯ , σ(5) = 3¯ , σ(6) = 7¯ ,
¯
σ(7) = 6.
(b) Montrer que N I(σ) = N I(σ−1) pour toute permutation σ∈Sn.
Exercice 5. Démontrer (1), (2), (4), (6) de la Proposition 2.1 du polycopié sur les déterminants.
