Fonctions
I. Variations d’une fonction et extremum .
1. Variation d’une fonction.
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
Soit u et v deux éléments de I.
• Dire que f est croissante sur I signifie que si u < v alors f(u) < f(v).
• Dire que f est décroissante sur I signifie que si u < v alors f(u) > f(v).
f est croissante sur [ 1 ; 3 ].
La courbe monte.
u < v f(u) < f(v)
f est décroissante sur [ 1 ; 3 ].
La courbe descend.
u < v f(u) > f(v)
2. Extremum.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
m et M sont deux nombres réels.
• Dire que f admet un minimum sur I signifie que f(x) > m pour tout x I.
• Dire que f admet un maximum sur I signifie que f(x) < M pour tout x I.
u v
f(u)
f(v) f(u)
f(v)
u v
Exemple :
On considère la fonction dont le graphe est donné ci-dessous :
f admet un minimum sur [ -,05 ; 2,5 ] qui est – 1.
f admet un maximum sur [ -,05 ; 2,5 ] qui est 3.
Remarque :
Une fonction n’admet pas forcément d’extremum.
3. Tableau de variations.
On établit souvent un tableau de variation pour indiquer si la fonction est croissante ou décroissante.
On voit aussi apparaître les extrema de la fonction.
En reprenant l'exemple précédent, f est croissante sur [ 0,5 ; 0 ], décroissante sur [ 0 ; 2 ] et croissante sur [ 2 ; 2,5 ].
On obtient le tableau suivant :
x –0,5 0 2 2,5
f(x)
f(-0,5)
3
–1
f(2,5)
