Seconde Cours sur les variations d'une fonction.

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II. Variations des fonctions de référence.

1. Les fonctions affines.

Définition :

On appelle fonction affine une fonction définie sur  par f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres réels fixés.

Remarques :

• Si a = 0 alors la fonction est constante.

• Si b = 0 alors la fonction est linéaire.

Propriété :

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui a pour équation y = ax + b.

Le nombre a est le coefficient directeur de la droite et le nombre b est l'ordonnée à l'origine car la droite passe par le point (0 ; b).

Propriété : sens de variation.

• Si a = 0 alors la fonction est constante et sa représentation graphique est la droite horizontale d'équation y = b.

• Si a > 0 alors la fonction est strictement croissante.

• Si a < 0 alors la fonction est strictement décroissante.

Propriété : calcul du coefficient directeur.

Soit deux réels x1 et x2, distincts.

Le coefficient directeur de la droite est a = f(x₁)−f(x₂) x₁−x₂ .

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2. La fonction carrée.

Propriété :

• La fonction carrée est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.

• La fonction carrée est strictement décroissante sur ] – ∞ ; 0 ].

Démonstration :

* On suppose que u > v ≥ 0, on veut montrer que f(u) > f(v).

f(u) – f(v) = u² – v² = (u – v)(u + v)

or u – v > 0 et u + v > 0 donc (u – v)(u + v) > 0 et f(u) – f(v) > 0 c’est-à-dire f(u) > f(v) donc f est croissante sur [ 0 ; + ∞ [.

* De la même façon, on montre que f est décroissante sur ] – ∞ ; 0 ].

Courbe :

Remarque :

La fonction admet un minimum 0 en 0.

La courbe admet un axe de symétrie d'équation x = 0.

Tableau de variation :

x – ∞ 0 + ∞

f(x) + ∞

0

+ ∞

2. La fonction inverse.

Définition :

On appelle fonction inverse la fonction définie sur ] – ∞ ; 0 [  ] 0 ; + ∞ [ par f(x) =

1 x

^.

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole d'équation y =

1 x

^.

-2 -1 0 1 2

4 3 2 1

y

x

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Propriété :

L’hyperbole admet un centre de symétrie qui est l'origine du repère car f(- x) =

1 − x

^{= –}

1 x

^{= – f(x).}

Propriété :

La fonction inverse est strictement décroissante sur ] – ∞ ; 0 [  ] 0 ; + ∞ [ . Démonstration :

* On suppose que u > v > 0, on veut montrer que f(u) > f(v).

f(u) – f(v) = 1 u – 1

v = v−u uv

or v – u < 0 et uv > 0 donc v−u

uv < 0 et f(u) – f(v) < 0 c’est-à-dire f(u) < f(v) donc f est décroissante sur ] 0 ; + ∞ [.

* De la même façon, on montre que f est décroissante sur ] – ∞ ; 0 [.

Tableau de valeurs :

x 0 0,25 0,5 1 2

f(x) 4 2 1 0,5

Courbe :

Tableau de variation :

x

– ∞ 0 + ∞

f (x )

⁰

– ∞

+ ∞

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