TD n°2 - Seconde Fonctions de références - variations

TD n°2 - Seconde

Fonctions de références - variations

Soit une fonctionf définie surRpar :f(x)=(x−2)(3−5x)+4(−2+x)² 1. Montrer que pour tout réelx:f(x)= −

µ x+3

2

¶2

+49 4 . 2. Étudier les variations def sur l’intervalle ]−∞;−1,5] . 3. Étudier les variations def sur l’intervalle [−1,5 ;+∞[.

4. Dresser alors le tableau de variations de la fonctionf. Exemple 1

Correction

1. Développons les deux expressions.

D’une part on a :

f(x)=(x−2)(3−5x)+4(−2+x)²= −x²−3x+10

D’une part on a : µ

x+3 2

¶2

+49

4 = −x²−3x+10 Ainsi pour tout réelx:

f(x)= − µ

x+3 2

¶2

+49 4 2. Étudier les variations def sur l’intervalle ]−∞;−1,5].

Soit deux réelsaetbde l’intervalle ]−∞;−1.5].

−1.5 b

a

−∞ +∞

a≤b≤ −1,5

a+1,5≤b+1,5≤0 : On a ajouté 1,5 à chaque membre ;

(a+1,5)²≥(b+1,5)² : On a composé par la fonction carrée décroissante sur ]−∞; 0[, l’ordre change ;

−(a+1,5)²≤ −(b+1,5)² : On a multiplié par−1<0, l’ordre change ;

−(a+1,5)²+49

| {z 4}

f(a)

≤ −(b+1,5)²+49

| {z 4}

f(b)

: On a ajouté49

4 à chaque membre ;

f(a)≤f(b) On vient de prouver que :

a≤b≤ −1,5=⇒f(a)≤f(b) La fonctionf est donc croissante sur l’intervalle ]−∞;−1,5].

TD n°2 - Seconde - Fonctions de références - variations

3. Étudier les variations def sur l’intervalle [−1,5 ;+∞[.

Soit deux réelsaetbde l’intervalle [−1.5 ;+∞[.

−1.5

b a

−∞ +∞

−1,5≤a≤b

0≤a+1,5≤b+1,5 : On ajoute 1,5 à chaque membre ;

(a+1,5)²≤(b+1,5)² : On compose par la fonction carrée croissante sur [0 ;+∞[, l’ordre est inchangé ;

−(a+1,5)²≥ −(b+1,5)² : On multiplie par−1<0, l’ordre change ;

−(a+1,5)²+49

| {z 4}

f(a)

≥ −(b+1,5)²+49

| {z 4}

f(b)

: On ajoute49

4 à chaque membre ;

f(a)≥f(b) On vient de prouver que :

−1.5≤a≤b=⇒f(a)≥f(b) La fonctionf est donc décroissante sur l’intervalle [−1,5 ;+∞[.

4. Dresser alors le tableau de variations de la fonctionf.

x

Variations de f

−∞ −3

2 +∞

49 4 49

4

Exercice 1. Suivez le modèle : Fonction carrée

1. Soit une fonctiongdéfinie surRpar :

g(x)=5(x−2)²+3

1. a. Étudier les variations degsur l’intervalle ]−∞; 2] puis sur l’intervalle [2 ;+∞[.

1. b. Dresser alors le tableau de variations de la fonctiong. 2. Soit une fonctionhdéfinie surRpar :

h(x)= −3(x+5)²−1

2. a. Étudier les variations dehsur l’intervalle ]−∞;−5] puis sur l’intervalle [−5 ;+∞[.

2. b. Dresser alors le tableau de variations de la fonctionh.

3. Soit une fonctionjdéfinie surRpar :

j(x)= −2x²+4x−9 3. a. Montrer que pour tous les réelsxon aj(x)= −2(x−1)²−7

3. b. Étudier les variations dejsur l’intervalle ]−∞; 1] puis sur l’intervalle [1 ;+∞[.

3. c. Dresser alors le tableau de variations de la fonctionj.

3. d. Avec le tableau de variation, déterminer l’extremum dej(x) et la valeur pour laquelle il est atteint.

Exercice 2. Un peu d’initiative : Fonction carrée

Étudier les fonctions suivantes : 1. f1définie surRpar :

f1(x)= −3(−x+3)²−2 2. f2définie surRpar :

f2(x)=7(x−3)²+9 3. f3définie surRpar :

f3(x)= −2(−x−3)²+9x−5

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