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3 e
année
ALGÈBRE Reconnaître des relations d’équivalence
troisième année
En avant, les maths!
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
CONCEPTS MATHÉMATIQUES
Les concepts mathématiques nommés ci-dessous seront abordés dans cette minileçon.
Une explication de ceux-ci se trouve dans la section Concepts mathématiques.
Domaine d’étude Concept mathématique
Algèbre Représentation de relations d’équivalence entre des ensembles de nombres RÉSUMÉ
Dans cette minileçon, l’élève démontre et reconnaît l’équivalence d’expressions numériques comprenant les quatre opérations, à l’aide de matériel de manipulation et de modèles. L’élève analyse et observe des relations entre des expressions numériques.
PISTES D’OBSERVATION L’élève :
• observe et reconnaît des relations d’équivalence entre des paires d’expressions numériques comprenant les quatre opérations, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division;
• utilise du matériel de manipulation ou des modèles pour déterminer si des expressions numériques sont équivalentes ou non.
MATÉRIEL
• droite numérique;
• cubes emboîtables;
• cadres à 10 cases;
• Rekenrek;
• jetons;
• images;
• dominos.
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
Déroulement
-
Consulter, au besoin, les fiches Représentation de relations d’équivalence entre des ensembles de nombres et Représentation de relations d’équivalence avec des nombres naturels de la section Concepts mathématiques afin de revoir avec les élèves le matériel de manipulation, les modèles et la relation entre les expressions numériques afin de déterminer si elles sont équivalentes ainsi que la terminologie liée à ces concepts en vue de les aider à réaliser l’activité.-
Présenter aux élèves l’Exemple 1, soit des contextes pour déterminer si les expressions sont équivalentes.-
Allouer aux élèves le temps requis pour effectuer le travail. À cette étape-ci, l’élève utilise du matériel de manipulation et des modèles afin de déterminer l’équivalence ou non entre deux expressions des quatre opérations.-
Demander à quelques élèves de faire part au groupe-classe de leurraisonnement et d’expliquer les stratégies utilisées pour vérifier l’équivalence ou non entre deux expressions. Inviter les autres élèves à poser des questions afin de vérifier leur compréhension.
-
À la suite des discussions, s’assurer que les élèves se rendent compte que pour vérifier l’équivalence entre deu expressions, il importe d’observer les relations entre les deux expressions afin d’utiliser leur pensée algébrique pour déterminer l’équivalence ou non.-
Au besoin, présenter aux élèves l’Exemple 2, soit déterminer l’équivalence entre des expressions en utilisant des stratégies, du matériel de manipulation, des modèles et des symboles.EXEMPLE 1
a) Observe cette image.
Trouve 2 expressions qui sont équivalentes à partir de l’image.
STRATÉGIE
Utilisation de la disposition rectangulaire Je vois 24 pommes en rangées et en colonnes.
Pour trouver 2 expressions équivalentes, j’ai encerclé 4 groupes de 6 pommes et 2 groupes de 12 pommes.
On peut voir que 4 groupes de 6 et 2 groupes de 12 sont égaux à 24.
Donc, 4 × 6 est équivalent à 2 × 12.
Un autre exemple d’expressions équivalentes est de diviser les 24 pommes
b) Mira s’amuse à faire des groupes avec ses 60 roches.
Démontre les différentes façons dont elle les a regroupées. Est-ce que toutes les expressions sont équivalentes?
6 × 10 10 + 10 + 10 + 10 + 10 30 + 30
STRATÉGIE
Utilisation du cadre à 10 cases
Pour vérifier si les expressions de Mira sont équivalentes, je les représente avec des cadres à 10 cases.
Pour 6 × 10, je remplis 6 cadres à 10 cases pour montrer 6 groupes de 10.
Je vois aussi que la quantité de 60 jetons peut être groupée en deux. Donc, 30 + 30 est aussi équivalent à 6 × 10.
Pour montrer 10 + 10 + 10 + 10 + 10, j’ai encerclé des cadres à 10 cases. Je vois qu’il reste un cadre à 10 cases qui n’est pas encerclé. Donc, l’expression 10 + 10 + 10 + 10 + 10 n’est pas équivalente à 6 × 10 et 30 + 30.
10
20
40
50
30
c) Montre des expressions parmi celles ci-dessous qui sont équivalentes à l’aide de la stratégie de ton choix.
25 5 25 + 15 25 + 5 10 + 10 50 40
25 + 25 50 ÷ 2 2 × 25 50 25 50 ÷ 10
STRATÉGIE
Utilisation de la droite numérique double et des jetons
Donc, 25 5 et 10 + 10 sont équivalents.
Je choisis et je compare 50 ÷ 2 et 50 25. Je vois que les deux expressions sont équivalentes parce que les deux sont égales à 25. Je sais que si je divise 50 jetons en 2, j’obtiens 25 et que si j’enlève 25 jetons de 50, il me reste 25 jetons parce que le double de 25 est 50.
Avec les jetons, j’ai montré que 50 ÷ 2 et 50 25 sont des expressions équivalentes.
Je choisis et je compare 25 + 15 et 50 40 sur la droite numérique. Je vois que les deux expressions ne sont pas équivalentes parce qu’elles n’arrivent pas au même endroit sur la droite. Je sais que 15 + 25 = 40 et que 50 40 = 10.
Je choisis et je compare 25 + 25 et 2 × 25 sur la droite numérique. Je vois que les deux expressions sont équivalentes parce que 25 + 25, c’est équivalent à 2 bonds de 25, et que les deux expressions sont égales à 50.
EXEMPLE 2
a) Sara a construit 5 tours de 10 cubes.
Selon toi, quelles expressions sont équivalentes?
5 × 10 50 ÷ 10 10 + 10 + 10 + 10 + 10
STRATÉGIE
Utilisation de cubes emboîtables
Je vois que Sara a construit 5 tours avec 10 cubes dans chacune. Les 2 expressions 10 + 10 + 10 + 10 + 10 et 5 × 10 sont équivalentes. Je le sais parce 5 × 10 veut dire 5 groupes de 10. On peut écrire 5 groupes de 10 de 2 façons, soit 10 + 10 + 10 + 10 + 10 ou 5 × 10.
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 5 × 10 = 50
Pour l’expression 50 ÷ 10, cela veut dire que Sara a 50 cubes et elle fait des groupes de 10 cubes. Donc, elle a construit 5 tours. Je vois que 50 ÷ 10 n’est pas équivalent aux 2 autres expressions. Les 2 autres expressions, 10 + 10 + 10 + 10 + 10 et 5 × 10 représentent un total de 50 et 50 ÷ 10 a un quotient de 5.
50 ÷ 10 est égal à 5 groupes de 10 ou 5 tours, donc 50 ÷ 10 = 5.
b) Avec les perles d’un Rekenrek, montre 2 expressions qui sont équivalentes.
10 × 10 100 ÷ 2 10 + 10 2 × 50 100 50
STRATÉGIE
Utilisation du Rekenrek
Rekenrek 1 Rekenrek 2 Rekenrek 3 Rekenrek 4 Rekenrek 5 10 × 10 100 ÷ 2 10 + 10 2 × 50 100 50 Rekenrek 1
Avec un Rekenrek, je déplace 10 groupes de 10 pour l’expression 10 × 10.
Rekenrek 2
Avec le Rekenrek, je déplace 100 perles divisées en 2 groupes de 50 pour 100 ÷ 2.
Rekenrek 3
Avec le Rekenrek, je déplace 2 rangées de 10 perles pour montrer 10 + 10.
Rekenrek 4
Avec le Rekenrek, je déplace 2 groupes de 50 pour l’expression 2 × 50.
Rekenrek 5
Avec le Rekenrek, je déplace les 100 perles et j’en enlève 50 pour l’expression 100 – 50.
En regardant les 5 représentations du Rekenrek :
- Je vois que les expressions 10 × 10 et 2 × 50 sont équivalentes,
car elles représentent la même quantité, soit 10 × 10 = 100 et 2 × 50 = 100.
- Je vois que les expressions 10 + 10 et 10 × 10 ne sont pas équivalentes, car elles représentent différentes quantités, soit 10 + 10 = 20 et 10 × 10 = 100.
- Je vois que les expressions 100 ÷ 2 et 2 × 50 ne sont pas équivalentes, car elles représentent différentes quantités, soit 100 ÷ 2 = 50 et 2 × 50 = 100.
- Je vois que les expressions 100 ÷ 2 et 100 50 sont équivalentes, car elles représentent chacune une quantité de 50. En effet, 100 ÷ 2 est la moitié de 100 et si j’enlève 50 à 100, c’est comme enlever la moitié aussi.
c) Observe les jetons.
Sam les dénombre de cette façon : 5, 10, 15, 20.
Léa les dénombre de cette façon : 10, 20.
Écris 2 expressions pour montrer comment Sam et Léa ont dénombré les jetons.
Est-ce que leurs 2 expressions sont équivalentes? Est-ce que les 4 expressions sont équivalentes? Comment le sais-tu?
STRATÉGIE
Utilisation de jetons bicolores et la droite numérique Sam a compté de cette façon : 5, 10, 15, 20.
Voici les expressions qui montrent comment il a compté : 5 + 5 + 5 + 5 et 4 × 5. Elles sont équivalentes, car 5 + 5 + 5 + 5 = 20 et 4 × 5 = 20.
Léa a compté de cette façon : 10, 20.
Voici les 2 expressions qui montrent comment elle a compté : 2 × 10 pour montrer qu’elle a vu 2 groupes de 10 et 10 + 10.
2 × 10 est équivalent à 10 + 10, car 2 × 10 = 20 et 10 + 10 = 20.
10 + 10 ou 2 × 10
Les expressions de Sam et de Léa sont équivalentes, car elles sont toutes égales à 20.
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
Déroulement
-
Au besoin, demander aux élèves de faire quelques activités de la section À ton tour!. Ces activités peuvent servir de billet de sortie ou autre.-
Recueillir les preuves d’apprentissage des élèves et les analyser pour déterminer leurs points forts et cibler les prochaines étapes en vue de les aider à s’améliorer.Note : Consulter le corrigé de la partie 2, s’il y a lieu.
CORRIGÉ
1. Observe l’image.
Que remarques-tu?
À partir de l’image, trouve des expressions qui sont équivalentes et non équivalentes.
STRATÉGIE
Voici des expressions équivalentes que je vois dans l’image : 3 × 4 et 4 × 3
2 × 6 et 6 + 6
3 + 3 + 3 + 3 et 4 × 3 4 + 4 + 4 et 3 × 4 12 ÷ 2 et 12 6
12 4 4 4 et 12 3 3 3 3 8 + 4 et 4 + 8
8 + 4 = 4 + 4 + 4
Voici des expressions qui ne sont pas équivalentes : 12 6 et 12 4
12 ÷ 3 et 12 ÷ 6
2. Ton ami utilise un domino pour te montrer 2 expressions qui sont équivalentes : 2 × 6 et 4 × 3.
Peux-tu trouver 2 autres exemples d’expressions équivalentes avec des dominos?
STRATÉGIE
Utilisation de dominos
Je vois que mon ami montre qu’avec les 12 points sur le domino, on peut faire 2 groupes de 6 ou 4 groupes de 3. Dans les 2 expressions, la quantité reste la même. C’est 12.
J’ai trouvé 2 autres exemples. Dans celui-ci, j’ai pris 3 dominos avec 6 points pour montrer que 3 groupes de 6 ou 3 × 6 et 6 + 6 + 6 sont équivalents. Les deux montrent une quantité de 12.
Pour mon deuxième exemple, j’ai pris un domino de 10 points pour montrer que les 2 expressions : 10 5 et 10 ÷ 2 donnent une quantité de 5.
3. Avec des billets d’argent, invente des montants qui sont équivalents.
Voici différentes façons que j’ai trouvées pour montrer des montants d’argent qui sont équivalents.
J’ai pris 3 billets de 20 $ qui sont égaux à 60 $ et j’ai divisé le montant en 3.
Ceci donne 20 $.
Ensuite j’ai encore pris 3 billets de 20 $ qui sont égaux à 60 $ et j’ai enlevé 40 $ (2 billets de 20 $). Il reste 20 $. Donc, 60 $ ÷ 3 et 60 $ 40 $ sont 2 montants équivalents.
Ici, j’ai pris 3 billets de 10 $, ce qui fait un montant de 30 $. Ensuite j’ai enlevé 10 $, ce qui réduit le montant à 20 $. Ensuite, j’ai pris 2 billets de 10 $ qui font aussi 20 $.
Donc, 30 $ 10 $ et 2 × 10 $ sont 2 montants équivalents.
Ici, je montre 5 billets de 5 $, pour un montant total de 25 $. Je sais que 4 billets de 5 $ sont égaux à 20 $, plus les 5 $ restants.
Ensuite, pour montrer un autre montant équivalent, j’ai pris un billet de 20 $ et un billet de 5 $. Dans les 2 cas, il y a 25 $.
Donc 5 × 5 $ et 20 $ + 5 $ sont des montants équivalents.
5 x 5 $
20 $ + 5 $
4. Max a découvert qu’il pouvait créer plusieurs expressions équivalentes en utilisant quelques-uns de ces nombres : 2, 3, 6, 9, 12. Peux-tu en montrer trois?
J’ai choisi les nombres 2, 3 et 6 et je vais montrer avec des carreaux que 3 + 3 est équivalent à 2 groupes de 3 ou 2 × 3. La quantité des deux expressions est 6.
3 + 3 est équivalent à 2 × 3
Ensuite j’ai choisi les nombres 2, 6 et 12. Je vais montrer que 12 carreaux – 6 carreaux est équivalent à 12 carreaux divisés en 2.
Donc, si j’enlève 6 carreaux des 12 carreaux, il reste 6 carreaux.
Si je divise les 12 carreaux en 2, il y en a 6 aussi.
12 6 est équivalent à 12 ÷ 6
J’ai aussi trouvé 2 autres expressions équivalentes avec les nombres 3, 9 et 12.
J’ai placé 3 groupes de 3 carreaux qui donnent 9. Ensuite, j’ai placé 12 carreaux et j’en ai enlevé 3, ce qui fait aussi une quantité de 9.
5. Ton ami a montré des expressions équivalentes avec des objets sur une balance et avec du matériel de base 10. Observe chaque image et écris les expressions équivalentes représentées.
Je vois que mon ami a placé 4 groupes de 5 cubes sur le côté gauche et 5 groupes de 5 cubes sur le côté droit. Pour que ce soit une balance en équilibre, je vois qu’il a enlevé 5 cubes du côté droit. En enlevant les 5 cubes du côté droit, il y a maintenant la même quantité de chaque côté, soit 20.
Je remarque que mon ami a placé 10 languettes de 10 sur un côté (gauche) et qu’il les a divisées en 2. Ensuite, je vois qu’il a encore placé 10 languettes de 10 à droite et qu’il en a enlevé 5.
Les deux expressions qui décrivent ce que je vois sont : 100 ÷ 2 et 100 50.
Les 2 expressions sont équivalentes, car dans les deux cas le résultat est le même, soit 50.
100 ÷ 2 est équivalent à 100 50.
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année
ALGÈBRE Reconnaître des relations d’équivalence
En avant, les maths!
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
Version de l’élève
troisième année
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
EXEMPLE 1
a) Observe cette image.
Trouve 2 expressions qui sont équivalentes à partir de l’image.
b) Mira s’amuse à faire des groupes avec ses 60 roches.
Démontre les différentes façons dont elle les a regroupées. Est-ce que toutes les expressions sont équivalentes?
6 × 10 10 + 10 + 10 + 10 + 10 30 + 30
c) Montre des expressions qui parmi celles ci-dessous sont équivalentes à l’aide de la stratégie de ton choix.
25 5 25 + 15 25 + 5 10 + 10 50 40
25 + 25 50 ÷ 2 2 × 25 50 25 50 ÷ 10
TA STRATÉGIE
EXEMPLE 2
a) Sara a construit 5 tours de 10 cubes.
Selon toi, quelles expressions sont équivalentes?
5 × 10 50 ÷ 10 10 + 10 + 10 + 10 + 10
b) Avec les perles d’un Rekenrek, montre 2 expressions qui sont équivalentes.
10 × 10 100 ÷ 2 10 + 10 2 × 50 100 50
c) Observe les jetons.
Sam les dénombre de cette façon : 5, 10, 15, 20.
Léa les dénombre de cette façon : 10, 20.
Écris 2 expressions pour montrer comment Sam et Léa ont dénombré les jetons.
Est-ce que leurs 2 expressions sont équivalentes? Est-ce que les 4 expressions sont équivalentes? Comment le sais-tu?
TA STRATÉGIE
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
À ton tour!
1. Observe l’image.
Que remarques-tu?
À partir de l’image, trouve des expressions qui sont équivalentes et non équivalentes.
TA STRATÉGIE
2. Ton ami utilise un domino pour te montrer 2 expressions qui sont équivalentes : 2 × 6 et 4 × 3.
Peux-tu trouver 2 autres exemples d’expressions équivalentes avec des dominos?
TA STRATÉGIE
3. Avec des billets d’argent, invente des montants qui sont équivalents.
TA STRATÉGIE
4. Max a découvert qu’il pouvait créer plusieurs expressions équivalentes en utilisant quelques-uns de ces nombres : 2, 3, 6, 9, 12. Peux-tu en montrer trois?
TA STRATÉGIE
5. Ton ami a montré des expressions équivalentes avec des objets sur une balance et avec du matériel de base 10. Observe chaque image et écris les expressions équivalentes représentées.
TA STRATÉGIE
