3 e. En avant, les maths! année cinquième année. Une approche renouvelée pour l enseignement et l apprentissage des mathématiques MINILEÇON

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Résoudre des problèmes de rapport NOMBRES

cinquième année

3 ^e

année

En avant, les maths!

Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques

MINILEÇON

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RÉSUMÉ

Dans cette minileçon, l’élève sera amené à résoudre des problèmes de rapports de 1 à 2, de 1 à 5 et de 1 à 10 à l’aide d’une variété d’outils et de stratégies.

PISTES D’OBSERVATION L’élève :

• montre sa compréhension du concept de rapport de 1 à 2, de 1 à 5 et de 1 à 10;

• montre sa compréhension du raisonnement proportionnel;

• établit des liens avec les outils et les stratégies utilisés pour résoudre des problèmes de rapport.

MATÉRIEL

• crayons;

• feuilles blanches;

• règles;

• grille de 100;

• droite numérique.

CONCEPTS MATHÉMATIQUES

Le concept mathématique nommé ci-dessous sera abordé dans cette minileçon.

Une explication de celui-ci se trouve dans la section Concepts mathématiques.

Domaine d’étude Concept mathématique

Nombres Représentation de rapports

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PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE

Déroulement

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Consulter, au besoin, la fiche Représentation de rapports de la section

Concepts mathématiques afin de revoir avec les élèves les rapports de 1 à 2, de 1 à 5 et de 1 à 10, qui représentent des relations multiplicatives.

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Présenter aux élèves l’Exemple 1, soit des contextes d’un rapport de 1 à 2, d’un rapport de 1 à 5 et d’un rapport de 1 à 10.

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Allouer aux élèves le temps requis pour effectuer le travail. À cette étape-ci, l’élève découvre diverses stratégies pour calculer des rapports de 1 à 2, de 1 à 5 et de 1 à 10.

-

Demander à quelques élèves de faire part au groupe-classe de leur solution et d’expliquer les stratégies utilisées pour résoudre les problèmes de

rapport. Inviter les autres élèves à poser des questions afin de vérifier leur compréhension.

-

À la suite des discussions, s’assurer que les élèves établissent des liens entre les rapports et les relations multiplicatives.

Note : Au besoin, consulter le corrigé de la partie 1 pour obtenir des exemples de stratégies.

-

Encourager les élèves à améliorer leur travail en y ajoutant les éléments manquants.

-

Au besoin, présenter aux élèves l’Exemple 2, soit une mise en contexte d’un rapport de 1 à 2, de 1 à 5 et de 1 à 10.

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CORRIGÉ

EXEMPLE 1

a) C’est le printemps! Deux arbustes commencent à avoir des bourgeons.

Le 1^er arbuste a 2 bourgeons et le 2^e arbuste en a 20. Quel est le rapport entre le nombre de bourgeons du premier arbuste et le nombre de bourgeons du second arbuste?

STRATÉGIE

Le premier arbuste a 2 bourgeons et le second a 20 bourgeons. Il faut trouver le rapport entre 1 bourgeon du premier arbuste et le nombre de bourgeons du second arbuste. Il faut donc exprimer le rapport de la manière suivante, 1 : ?

Puisqu’il y a 2 bourgeons sur le premier arbuste, on peut diviser 2 par 2 pour obtenir 1. La moitié de 2 est 1. On peut procéder de la même façon pour le second arbuste. La moitié de 20 est 10.

Grâce à cette représentation de disposition rectangulaire, on peut observer que le rapport entre le nombre de bourgeons du premier arbuste et le nombre de bourgeons du second arbuste est de 1 : 10.

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b) Dans une grille de mots cachés donnée à une classe de 3^e année, 18 mots de vocabulaire scientifique sont à trouver. Si Sarah et Fadila unissent leurs efforts à un rapport de 1 : 2, combien de mots est-ce que chaque élève trouve?

STRATÉGIE

Le rapport est ici de 1 : 2, à savoir que lorsque Sarah trouve 1 mot dans la grille de mots cachés, Fadila en trouve 2, ce qui est le double. Ceci donne 3 mots trouvés en tout par les 2 amies. Comme il y a 18 mots dans la grille, on peut raisonner ainsi :

Sarah 1, Fadila 2, ce qui donne 3 mots.

On constate que le rapport est de 1 : 2 lorsque Sarah trouve 6 mots et Fadila 12 mots. En effet, 12 est bien le double de 6.

c) Dans la piscine, Mareva et Pascal décident de nager sous l’eau le plus loin possible.

Mareva nage 50 m sous l’eau. Si le rapport entre la distance nagée par Mareva et la distance nagée par Pascal est 5 : 1, quelle distance Pascal a-t-il nagé sous l’eau?

STRATÉGIE

Le rapport de 5 : 1 signifie ici que Mareva nage sous l’eau 5 fois plus loin que Pascal. Par conséquent, on peut dire que lorsque Mareva nage 5 mètres, Pascal nage 1 mètre, soit le rapport 5 : 1. Lorsque Mareva nage 10 mètres, Pascal nage 2 mètres, soit un rapport de 5 : 1. Il est dit qu’elle nage 50 mètres. Utiliser des droites numériques pour une mise à l’échelle de 5 : 1 permet de se rendre à 50 mètres tout en vérifiant la distance nagée par Pascal lorsque Mareva nage 50 mètres.

La distance nagée sous l’eau par Pascal est donc de .

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EXEMPLE 2

a) Un rayonnage de raquettes de tennis est bien fourni. Il y a 10 raquettes pour enfants et 50 raquettes pour adultes. Combien y a-t-il de raquettes pour adultes pour 1 raquette pour enfant? Quel est le rapport entre le nombre de raquettes pour adultes et celui de raquettes pour enfants?

STRATÉGIE

Dans ce rayonnage de raquettes de tennis, il y a 10 raquettes pour enfants et 50 raquettes pour adultes. Il y a 5 fois plus de raquettes pour adultes que de raquettes pour enfants, ce qui peut s’écrire . On peut créer alors une table de valeurs dans laquelle on va se rendre à rebours de 10 raquettes pour enfants à 1 raquette pour enfants. En même temps, puisqu’il y a 5 fois plus de raquettes pour adultes que de raquettes pour enfants, on peut multiplier par 5 le nombre de raquettes pour enfants afin d’obtenir le nombre de raquettes pour adultes correspondant.

En élaborant la table de valeurs, on peut noter que lorsqu’il y a 1 raquette pour enfants, il y a 5 raquettes pour adultes, ce qui correspond à un rapport de 1 : 5.

b) Dans ta classe de 3^e année, il y a 21 élèves. Certains élèves ont des chiens. Si le rapport dans ta classe d’élèves avec chien et d’élèves sans chien est de 1 : 2, combien d’élèves ont des chiens et combien n’en ont pas?

STRATÉGIE

Le rapport entre les élèves avec chien et les élèves sans chien est de 1 : 2 dans cette classe de 21 élèves. Cette information signifie donc que les élèves sans chien représentent le double des élèves avec chien. En utilisant une table de valeurs, on sera en mesure de constater combien d’élèves en tout ont des chiens et combien d’élèves n’en ont pas.

Dans cette classe de 21 élèves, il y a donc 7 élèves avec chien et 14 élèves sans chien, ce qui correspond bien au rapport 1 : 2, car 14 est le double de 7.

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c) En cette belle journée d’été, Mohammed mon grand frère fait du kayak sur un lac.

Il donne 100 coups de pagaie en 10 minutes. Combien de coups de pagaie a-t-il donnés en 1 minute? Quel est le rapport entre les coups de pagaie et les minutes?

STRATÉGIE

Si Mohammed donne 100 coups de pagaie en 10 minutes et que l’on veut savoir combien de coups de pagaie sont donnés en 1 minute, cela correspond à un rapport de 10 : 1. Il faut alors établir la relation avec une division par 10. Pour calculer le nombre de coups de pagaie donnés par Mohammed, une soustraction répétée dans une grille de 100 peut être utile.

La soustraction répétée s’écrie , ce qui

correspond à la division suivante : .

Mohammed donne donc 10 coups de pagaie au cours de 1 minute.

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PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME

Déroulement

-

Au besoin, demander aux élèves de faire quelques exercices de la section À ton tour! Ces exercices peuvent servir de billet de sortie ou autre.

-

Recueillir les preuves d’apprentissage des élèves et les interpréter pour déterminer leurs points forts et cibler les prochaines étapes en vue de les aider à s’améliorer.

Note : Consulter le corrigé de la partie 2, s’il y a lieu.

CORRIGÉ

1. Après avoir fait la lessive, Perry range ses vêtements dans la commode. Dans le tiroir du haut, il met 40 vêtements. Si le rapport entre le nombre de vêtements du premier tiroir et le nombre de vêtements du deuxième tiroir est de 5 : 1, combien de vêtements peuvent être rangés dans le deuxième tiroir?

Perry range 40 vêtements dans le tiroir du haut. Le rapport entre le nombre de vêtements du premier tiroir et le nombre de vêtements du deuxième tiroir est de 5 : 1, ce qui signifie que le nombre de vêtements dans le tiroir du haut est 5 fois plus grand que le nombre de vêtements du deuxième tiroir.

Une solution est donc de dire que :

, soit la quantité de vêtements dans le deuxième tiroir multipliée par 5 équivaut aux 40 vêtements du tiroir du haut de la commode. En procédant par bonds de 5 sur une droite numérique, on peut se rendre ainsi à 40 et savoir combien de bonds permettent d’arriver à 40.

Puisqu’il faut 8 bonds de 5 pour arriver à 40, alors on peut affirmer que Perry mettra 8 vêtements dans le 2^e tiroir de sa commode.

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2. Julien veut faire de la limonade pour toute sa famille. Le rapport entre la quantité de citron et la quantité d’eau est de 1 : 2. S’il met dans sa limonade 3 mesures de citron, combien doit-il mettre d’eau?

Puisque le rapport entre la quantité de citron et la quantité d’eau est de 1 : 2, on peut exprimer ce rapport de la manière suivante :

Citron 1 et eau 2, ce qui est un rapport de 1 : 2.

Il est aussi possible de représenter ces quantités en utilisant des droites numériques pour une mise à l’échelle de 1 : 2

Si Julien met 3 mesures de citron dans sa limonade, il doit alors mettre

6 mesures d’eau comme montré sur les droites numériques, ce qui correspond bien à un rapport de 1 : 2.

3. Monica veut installer des plantes autour de sa propriété le long de la clôture.

Elle décide de faire une suite, soit 1 plante rouge suivie de 10 plantes vertes.

Si elle a besoin de 8 plantes rouges pour faire le tour de sa clôture, de combien de plantes vertes aura-t-elle besoin? Quel est le rapport entre les 2 couleurs de plantes?

On sait que Monica veut installer des plantes en faisant une suite, à savoir 1 plante rouge et 10 plantes vertes, toujours dans cet ordre. Ce rapport entre les plantes rouges et les plantes vertes est donc de 1 : 10, car il y a 10 fois plus de plantes vertes que de plantes rouges. Cela revient à dire que c’est une multiplication par 10, soit 1 × 10 = 10. La table de valeurs peut alors aider à calculer le nombre de plantes vertes nécessaires pour faire le tour de la clôture de Monica.

Il faut donc 80 plantes vertes quand il faut 8 plantes rouges pour un rapport de 1 : 10.

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3 ^e

année

NOMBRES

première année

Résoudre des problèmes de rapport

En avant, les maths!

Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques

MINILEÇON

Version de l’élève

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PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE

EXEMPLE 1

a) C’est le printemps! Deux arbustes commencent à avoir des bourgeons.

Le 1^er arbuste a 2 bourgeons et le 2^e arbuste en a 20. Quel est le rapport entre le nombre de bourgeons du premier arbuste et le nombre de bourgeons du second arbuste?

b) Dans une grille de mots cachés donnée à une classe de 3^e année, 18 mots de vocabulaire scientifique sont à trouver. Si Sarah et Fadila unissent leurs efforts à un rapport de 1 : 2, combien de mots est-ce que chaque élève trouve?

c) Dans la piscine, Mareva et Pascal décident de nager sous l’eau le plus loin

possible. Mareva nage 50 m sous l’eau. Si le rapport entre la distance nagée par Mareva et la distance nagée par Pascal est 5 : 1, quelle distance Pascal a-t-il nagé sous l’eau?

TA STRATÉGIE

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EXEMPLE 2

a) Un rayonnage de raquettes de tennis est bien fourni. Il y a 10 raquettes pour enfants et 50 raquettes pour adultes. Combien y a-t-il de raquettes pour adultes pour 1 raquette pour enfant? Quel est le rapport entre le nombre de raquettes pour adultes et celui de raquettes pour enfants?

b) Dans ta classe de 3^e année, il y a 21 élèves. Certains élèves ont des chiens. Si le rapport dans ta classe d’élèves avec chien et d’élèves sans chien est de 1 : 2, combien d’élèves ont des chiens et combien n’en ont pas?

c) En cette belle journée d’été, Mohammed mon grand frère fait du kayak sur un lac.

Il donne 100 coups de pagaie en 10 minutes. Combien de coups de pagaie a-t-il donnés en 1 minute? Quel est le rapport entre les coups de pagaie et les minutes?

TA STRATÉGIE

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PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME

À ton tour!

1. Après avoir fait la lessive, Perry range ses vêtements dans la commode. Dans le tiroir du haut, il met 40 vêtements. Si le rapport entre le nombre de vêtements du premier tiroir et le nombre de vêtements du deuxième tiroir est de 5 : 1, combien de vêtements peuvent être rangés dans le deuxième tiroir?

TA STRATÉGIE

(14)

2. Julien veut faire de la limonade pour toute sa famille. Le rapport entre la quantité de citron et la quantité d’eau est de 1 : 2. S’il met dans sa limonade 3 mesures de citron, combien doit-il mettre d’eau?

TA STRATÉGIE

(15)

3. Monica veut installer des plantes autour de sa propriété le long de la clôture. Elle décide de faire une suite, soit 1 plante rouge suivie de 10 plantes vertes. Si elle a besoin de 8 plantes rouges pour faire le tour de sa clôture, de combien de plantes vertes aura-t-elle besoin? Quel est le rapport entre les 2 couleurs de plantes?

TA STRATÉGIE