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Représenter les suites ALGÈBRE
troisième année
En avant, les maths!
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
3 e
année
CONCEPTS MATHÉMATIQUES
Le concept mathématique nommé ci-dessous sera abordé dans cette minileçon.
Une explication de celui-ci se trouve dans la section Concepts mathématiques.
Domaine d’étude Concept mathématique
Algèbre Habiletés liées aux relations
RÉSUMÉ
Dans cette minileçon, l’élève fait des liens entre les suites et la façon dont les tables de valeurs peuvent les représenter. Il importe que l’élève puisse avoir l’occasion d’alterner d’une représentation à l’autre afin de voir la relation entre les représentations. L’élève apprend que la table de valeurs désordonnée aide à développer le raisonnement algébrique en mettant en valeur la relation entre le rang et le nombre d’éléments dans le terme/figure.
PISTES D’OBSERVATION L’élève :
• reconnaît qu’une suite croissante ou décroissante peut être représentée par une table de valeurs;
• reconnaît et décrit la règle de régularité des suites à partir d’une table de valeurs;
• comprend la relation entre le rang et le nombre d’éléments dans une table de valeurs.
MATÉRIEL
• petites cartes pour indiquer le rang;
• carreaux (tuiles) de couleurs;
• jetons;
• dés;
• mosaïques géométriques;
• cadres à 10 cases;
• géoplans et élastiques;
• billets de 20 $ fictifs;
• Rekenreks;
• logiciel de matériel de manipulation virtuel (au besoin).
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
Déroulement
-
Consulter, au besoin, la fiche Habiletés liées aux relations dans les suites de la section Concepts mathématiques afin de revoir avec les élèves les différentes habiletés liées à l’apprentissage des suites et revoir les différents types de suites.-
Présenter aux élèves l’Exemple 1, soit représenter les suites à l’aide de tables de valeurs.-
Allouer aux élèves le temps requis pour explorer ces activités. À cette étape-ci, l’élève développe sa compréhension des suites en reconnaissant qu’elles peuvent être représentées avec le modèle de la table de valeurs.Demander à quelques élèves de se jumeler afin de partager leur raisonnement et d’expliquer les stratégies utilisées pour représenter des suites à l’aide
de tables de valeurs. Inviter les autres élèves à poser des questions afin de vérifier leur compréhension.
-
Demander aux élèves de faire une galerie en circulant pour observer et poser des questions à leurs pairs.-
À la suite des discussions, s’assurer que les élèves établissent des liens entre le modèle de la table de valeur et les suites croissantes et décroissantes.Note : Au besoin, consulter le corrigé de la partie 1 pour obtenir des exemples de stratégies.
-
Au besoin, présenter aux élèves l’Exemple 2, soit représenter des suites plus simples à l’aide de tables de valeurs.CORRIGÉ
EXEMPLE 1
a) Une Aînée autochtone aimerait ajouter des fontaines d’eau dans sa murale de mosaïques qui démontrent comment l’eau augmente en hauteur.
Elle demande aux élèves d’une classe de soumettre des propositions en utilisant des mosaïques géométriques et de déterminer le nombre total de formes à l’aide d’une table de valeurs.
Voici le résultat d’une équipe :
Représente cette suite à l'aide d'une table de valeurs. Que remarques-tu au sujet des quantités?
STRATÉGIE
Utiliser une table de valeurs pour représenter une suite croissante d’addition
Je crée la table de valeurs en représentant le nombre de mosaïques géométriques.
Chaque figure nécessite 1 trapèze, 1 carré et 1 hexagone. À ces formes, j’ajoute le nombre de losanges nécessaire pour déterminer le total des mosaïques pour chaque figure.
Figure Trapèzes Carrés Hexagones Losanges Total des mosaïques
1 1 1 1 3 6
2 1 1 1 6 9
3 1 1 1 9 12
Je représente la suite à l’aide d’une table de valeurs, en démontrant le lien entre le numéro de la figure et le nombre total de mosaïques dans chacune d’elles.
Figure Total des mosaïques
1 6
2 9
3 12
Je remarque que le total des mosaïques est toujours 3 éléments de plus que
la figure précédente. Je vois une règle de correspondance entre le rang de la figure et le total de mosaïques, soit le nombre de la figure multiplié par 3, plus 3.
b) Matias promène le gros chien du voisin à plusieurs reprises dans la journée, du lundi au vendredi et se fait payer le double du montant de la journée précédente tous les jours. La première journée, il obtient 10 $. Représente l’argent accumulé pendant les 5 jours dans une table de valeurs.
STRATÉGIE
Représenter une suite ayant une règle de régularité de multiplication dans une table de valeurs
Matias reçoit 10 $ le premier jour et, pendant 5 jours, accumule le double de ce qu’il a gagné la veille.
Je calcule le double chaque jour à l’aide de billets factices. Ensuite, je représente les quantités dans une table de valeurs. La règle de régularité de multiplication est
tous les jours.
Les jours de travail lundi mardi mercredi jeudi vendredi Montant
d’argent accumulé 10 $ 20 $ 40 $ 80 $ 160 $
c) Un fermier élève 956 poules en liberté. Il remarque qu’il lui manque 5 poules selon une régularité constante lorsqu’il vérifie chaque semaine. À la 7e semaine, combien de poules lui reste-t-il? Que remarques-tu au sujet des relations entre les nombres?
STRATÉGIE
Représenter une suite numérique décroissante ayant une règle de régularité de soustraction dans une table de valeurs
À la fin de la 7e semaine, il reste 921 poules au fermier. La règle de régularité est chaque semaine. Je vérifie à l’aide de ma calculatrice, en utilisant la fonction à partir du nombre 956. Je remarque aussi qu’il y a des régularités dans les dizaines et les unités des nombres. Les dizaines diminuent de 1 toutes les 2 semaines et les unités ont une régularité répétitive de 6 suivis de 1.
Semaine Nombre de poules
Au début 956
1re 951
2e 946
3e 941
4e 936
5e 931
6e 926
7e 921
d) Les élèves s’amusent à créer des suites avec des géoplans. Représente le nombre de chevilles utilisées pour former chaque figure dans une table de valeurs.
Que remarques-tu?
STRATÉGIE
Représenter une règle de régularité de division par 2 dans une table de valeurs En construisant la table de valeurs, je remarque que le nombre de chevilles diminue de moitié à chaque figure. La suite est décroissante, ayant une règle de régularité de division par 2.
EXEMPLE 2
a) Karine et Karima apprennent une chorégraphie de danse à claquettes. Elles veulent t’expliquer la répétition des tapements de leurs pieds. Au début de la danse, différents sons et gestes sont générés en tapant soit du talon soit de la pointe du pied, selon une régularité croissante. Voici les sections du début de la suite de mouvements pour la danse.
Afin de se souvenir du nombre de tapements pour ces sections du début, elles décident d’organiser une table de valeurs. À quoi celle-ci pourrait-elle ressembler? Que remarques-tu?
STRATÉGIE
Représenter une suite croissante de mouvements et de sons à l’aide d’une table de valeurs
Je représente chaque section et mouvement du début de la chorégraphie.
Je remarque que le nombre de « tape le talon » et le nombre de « tape le bout du pied » augmentent de 1 à chaque section croissante. Donc, le nombre total de mouvements augmente de 2.
Section de
la danse Tape du talon Tape du bout du pied
Total de mouvements
1 1 1 2
2 2 2 4
3 3 3 6
Je représente la suite dans une table de valeurs, en faisant le lien entre la section de la danse et le total de mouvements dans celle-ci.
Je remarque que le total de mouvements est le double de chaque section.
Section de la danse
Total de mouvements
1 2
2 4
3 6
b) Pour décider de la quantité de petites perles pour une ceinture que Chayton veut créer, pourrais-tu compléter la table de valeurs pour les 3 prochains motifs?
Comment fais-tu pour déterminer le nombre de perles des différents rangs?
Rang Nombre de perles
1 815
2 800
3 785
4 ?
5 ?
6 ?
STRATÉGIE
Déterminer la règle de régularité de soustraction pour terminer une table de valeurs
Je vois qu’à chaque rang, le nombre de perles diminue de 15. Donc pour les prochains motifs, voici les quantités de perles que Chayton doit utiliser :
Pour faire les calculs, je remarque que puisque le nombre de perles diminue de 15, je peux tenir compte seulement des dizaines et des unités, car les centaines vont demeurer dans les 700. J’utilise un Rekenrek pour soustraire 15 à chaque rang.
c) Dès qu’ils entrent dans l’école le matin, les élèves enlèvent leurs chaussures d’extérieur dans le corridor près de la classe. L’enseignante leur demande de les aligner contre le mur. Représente le nombre de paires de chaussures enlevées chaque minute dans une table de valeurs. Que remarques-tu?
STRATÉGIE
Représenter une suite croissante à l’aide de la règle de régularité de multiplication dans une table de valeurs
En créant la table de valeurs, je remarque que le nombre de paires de souliers double à mesure que les élèves arrivent à l’école chaque minute. Donc la règle de régularité de multiplication est .
d) À la fin de la journée, les élèves reprennent leurs souliers d’extérieur pour aller à la maison. Représente les quantités de paires de chaussures qui restent dans le corridor chaque minute dans une table de valeurs. Que remarques-tu?
STRATÉGIE
Représenter une suite décroissante à l’aide de la règle de régularité de division dans une table de valeurs
En créant la table de valeurs, je remarque que le nombre de paires de souliers diminue de moitié chaque minute, à mesure que les élèves quittent l’école.
Donc la règle de régularité en est une de division par 2. 16 paires de souliers divisé par 2 est égal à 8, car je sais que . Je remarque aussi que la situation est inversée par rapport au matin et que l’opération inverse de la division est la multiplication.
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
Déroulement
-
Au besoin, demander aux élèves de faire quelques exercices de la section À ton tour!. Ces exercices peuvent servir de billet de sortie ou autre.-
Recueillir les preuves d’apprentissage des élèves et les interpréter pour déterminer leurs points forts et cibler les prochaines étapes en vue de les aider à s’améliorer.Note : Consulter le corrigé de la partie 2, s’il y a lieu.
CORRIGÉ
1. Milène a construit une suite croissante qu’elle veut faire peinturer comme bordure autour des murs de sa chambre à coucher. Elle veut t’expliquer la croissance en utilisant une table de valeurs. Peux-tu l’aider? Quelles relations remarques-tu entre les nombres?
J’analyse la suite et je remarque des sections distinctes de couleurs. La première
En construisant la table de valeurs, je remarque que le nombre total de cercles augmente selon une règle de régularité d’addition de + 2 d’une section à l’autre.
J’observe aussi que la règle de correspondance entre chaque section et le nombre total de cercles en est une de multiplication de .
Section Nombre total de cercles par section
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
2. Peux-tu réorganiser la table de valeurs et ajouter les rangs qui manquent pour ensuite la représenter à l’aide d’une suite? Explique la règle de régularité.
Rang Quantité de cubes
3 24
4 21
2 27
1 30
5 18
10 3
Je commence par réorganiser la table de valeurs et j’ajoute les rangs qui manquent afin de pouvoir construire ma suite et analyser les relations.
Je remarque qu’il y a une règle de régularité de soustraction, car le nombre de cubes diminue de à chaque rang. Je représente les données dans une suite de cercles, à l’aide de cadres à 10 cases.
3. Une nouvelle crèmerie ouvre ses portes en ville. Durant la première heure suivant l’ouverture, il y avait 100 personnes. La deuxième heure, 5 fois moins de personnes sont arrivées et la troisième heure, encore 5 fois moins.
Représente ces 3 heures dans une table de valeurs et explique combien de gens se sont présentés durant la deuxième et la troisième heure suivant l’ouverture.
Explique comment tu le sais.
J’utilise du matériel de base 10 pour démontrer la règle de régularité de division par 5 pour la quantité de la première heure afin de représenter le nombre
de gens à la crèmerie les 2 autres heures. En divisant 100 selon la règle de régularité , il y aura donc 20 personnes la deuxième heure et 4 personnes la troisième heure.
4. Relie par un trait la table de valeurs qui représente la suite illustrée.
Explique la règle de régularité pour chacune.
a)
b)
c)
Voici les règles de régularité pour chacune des suites :
- La suite « a » a une règle de régularité de soustraction de . - La suite « b » a une règle de régularité d’addition de + 2.
- La suite « c » a une règle de régularité de multiplication de .
5. Les boîtes remplies de conserves sont prêtes à être distribuées à la communauté.
Selon les besoins, les séries de boîtes sont envoyées à des centres communautaires différents pour la distribution. Organise une table de valeurs pour représenter les différentes quantités, afin de déterminer à quel centre communautaire est envoyée chaque série de boîtes. Explique la règle de régularité et la règle de correspondance.
Je vois qu’il y a une règle de régularité d’addition de + 4, car il y a toujours 4 boîtes de plus que dans la série précédente. Je remarque aussi que la règle de correspondance est le rang de la série multiplié par 4 boîtes rouges, plus une constante de 1 boîte verte. Par exemple, au rang 3, le nombre de boîtes est
, soit 12 + 1 = 13.
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3 e
année
ALGÈBRE
En avant, les maths!
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
Version de l’élève
troisième année
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
EXEMPLE 1
a) Une Aînée autochtone aimerait ajouter des fontaines d’eau dans sa murale de mosaïques qui démontrent comment l’eau augmente en hauteur.
Elle demande aux élèves d’une classe de soumettre des propositions en utilisant des mosaïques géométriques et de déterminer le nombre total de formes à l’aide d’une table de valeurs.
Voici le résultat d’une équipe :
Représente cette suite à l'aide d'une table de valeurs. Que remarques-tu au sujet des quantités?
b) Matias promène le gros chien du voisin à plusieurs reprises dans la journée, du lundi au vendredi et se fait payer le double du montant de la journée précédente tous les jours. La première journée, il obtient 10 $. Représente l’argent accumulé pendant les 5 jours dans une table de valeurs.
c) Un fermier élève 956 poules en liberté. Il remarque qu’il lui manque 5 poules selon une régularité constante lorsqu’il vérifie chaque semaine. À la 7e semaine, combien de poules lui reste-t-il? Que remarques-tu au sujet des relations entre les nombres?
d) Les élèves s’amusent à créer des suites avec des géoplans. Représente le nombre de chevilles utilisées pour former chaque figure dans une table de valeurs.
Que remarques-tu?
TA STRATÉGIE
EXEMPLE 2
a) Karine et Karima apprennent une chorégraphie de danse à claquettes. Elles veulent t’expliquer la répétition des tapements de leurs pieds. Au début de la danse, différents sons et gestes sont générés en tapant soit du talon soit de la pointe du pied, selon une régularité croissante. Voici les sections du début de la suite de mouvements pour la danse.
Afin de se souvenir du nombre de tapements pour ces sections du début, elles décident d’organiser une table de valeurs. À quoi celle-ci pourrait-elle ressembler? Que remarques-tu?
b) Pour décider de la quantité de petites perles pour une ceinture que Chayton veut créer, pourrais-tu compléter la table de valeurs pour les 3 prochains motifs?
Comment fais-tu pour déterminer le nombre de perles des différents rangs?
Rang Nombre de perles
1 815
2 800
3 785
4 ?
5 ?
6 ?
c) Dès qu’ils entrent dans l’école le matin, les élèves enlèvent leurs chaussures d’extérieur dans le corridor près de la classe. L’enseignante leur demande de les aligner contre le mur. Représente le nombre de paires de chaussures enlevées chaque minute dans une table de valeurs. Que remarques-tu?
d) À la fin de la journée, les élèves reprennent leurs souliers d’extérieur pour aller à la maison. Représente les quantités de paires de chaussures qui restent dans le corridor chaque minute dans une table de valeurs. Que remarques-tu?
TA STRATÉGIE
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
À ton tour!
1. Milène a construit une suite croissante qu’elle veut faire peinturer comme bordure autour des murs de sa chambre à coucher. Elle veut t’expliquer
la croissance en utilisant une table de valeurs. Peux-tu l’aider? Quelles relations remarques-tu entre les nombres?
TA STRATÉGIE
2. Peux-tu réorganiser la table de valeurs et ajouter les rangs qui manquent pour ensuite la représenter à l’aide d’une suite? Explique la règle de régularité.
Rang Quantité de cubes
3 24
4 21
2 27
1 30
5 18
10 3
TA STRATÉGIE
3. Une nouvelle crèmerie ouvre ses portes en ville. Durant la première heure suivant l’ouverture, il y avait 100 personnes. La deuxième heure, 5 fois moins de personnes sont arrivées et la troisième heure, encore 5 fois moins.
Représente ces 3 heures dans une table de valeurs et explique combien de gens se sont présentés durant la deuxième et la troisième heure suivant l’ouverture.
Explique comment tu le sais.
TA STRATÉGIE
4. Relie par un trait la table de valeurs qui représente la suite illustrée.
Explique la règle de régularité pour chacune.
a)
b)
c)
TA STRATÉGIE
5. Les boîtes remplies de conserves sont prêtes à être distribuées à la communauté.
Selon les besoins, les séries de boîtes sont envoyées à des centres
communautaires différents pour la distribution. Organise une table de valeurs pour représenter les différentes quantités, afin de déterminer à quel centre communautaire est envoyée chaque série de boîtes. Explique la règle de régularité et la règle de correspondance.
TA STRATÉGIE
