Ordre dans R, intervalles de R

Ch 02 Ordre dans R , intervalles de R

1 Ordre dans R ; comparaison de deux réels

1.1 Quelques généralités Définition :

Comparerdeux nombres réels aet b, c’est chercher à savoir lequel des deux est le plus grand, ou s’ils sont égaux.

On compare deux nombres au moyen des symboles ">" (supérieur à), "<" (inférieur à), ou

"=" (est égal à)

Exemples: −2<1 1,25>1,205 2√

2<3 √¹ 3 = ^√₃³

Tout ce qui sera écrit par la suite sera écrit en utilisant le signe "<", mais reste valable en rem- plaçant ce symbole par ">", par "≥" (supérieur ou égal à), ou par "≤" (inférieur ou égal à).

Propriété :

Dire quea < b revient à dire quea−b <0.

Aussi, pour comparer deux nombres aetb, il est souvent bon d’étudier le signe de la différence a−b. Si cette différence est négative, alors c’est quea < b. Si cette différence est positive, alors c’est que a > b

Exemple :

355

113 > π car, quand on effectue (à la calculatrice) la différence ³⁵⁵₁₁₃ −π, on trouve à peu près

355

113−π≈2,7×10⁻⁷ >0

1.2 Ordre et addition

Soient a, bet c trois nombres réels ; sia < b alors a+c < b+c.

Autrement dit, on peut ajouter (ou retrancher) aux deux membres d’une inégalité un même nombre.

Preuve :En effet on a(a+c)−(b+c) =a+c−b−c=a−b Propriété :

Soient a, b, cet d quatre réels. Si on a a < b et c < dalors a+c < b+d.

Autrement dit on peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens.

Preuve :En effet(a+c)−(b+d) =a+c−b−d= (a−b) + (c−d) Exemples :

1.3 Ordre et multiplication

Soient a, b et ctrois nombres réels tels que a < bet c6= 0; alors : – si cest positif on a ac < bc et a

c < b c

Autrement dit, on peut mulitiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un mêmenombre strictement positif sans en changer le sens.

– si, par contre c est négatif, on a ac > bc et a c > b

c

Autrement dit, on peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par unmême nombre strictement négatif à condition d’en changer le sens.

Preuve : En effet ac−bc = (a−b)c et, si c > 0, on a ac−bc < 0 alors que, si c < 0, on aac−bc >0

Propriété :

Soient a, b, c et d quatre réelspositifs.

Si on aa < b et c < d alors ac < bd.

Autrement dit il est possible de multiplier entre elles, membre à membre, des inégalités de même sens entre nombres positifs.

Remarque: Cela ne marche pas si les quatre nombres ne sont pas positifs ; essayez avec−2<5 et −3<−1: (−2)(−3) = 6,5(−1) =−5et 6>−5.

2 Comparer les inverses, les carrés, les racines carrées de deux nombres

Propriété 1 : Passage au carré.

Soient a, b deux nombres réels. Si aet bsont positifs,a < b équivaut à a² < b²

Autrement dit, deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Preuve : On veut comparer a² et b² : on va donc étudier le signe de la différence a² −b² : a²−b²= (a−b)(a+b) aveca−b <0(car on suppose que a < b).

Comme a et b sont positifs, on a : a+b >0 et donc a²−b² = (a−b)(a+b) est positif comme produit de deux nombres de signes contraires. Ainsi on a bien a² < b².

Propriété 2 : Passage à l’inverse.

Soient a, b deux nombres réels non nuls. Siaet b sont positifs,a < béquivaut à ¹_a > ¹_b Autrement dit, deux nombres positifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs inverses.

Preuve: On veut comparer ¹_a et ¹_b; on va donc étudier le signe de la différence ¹_a−¹b : ¹_a−¹b =^b−_ab^a avec b−a >0 (car on suppose quea < b).

Commeaetbsont positifs, on a :ab >0et donc a¹−¹b = ^bab^−a est positif comme quotient de deux nombres positifs. Ainsi on a bien ¹_a > ¹_b.

Propriété 3 : Passage à la racine carrée

Soient a, b deux nombres réels positifs ou nuls. a < b équivaut à √ a <√

b.

Autrement dit, deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.

Preuve : D’après la propriété 1, √ a <√

béquivaut à √

a² <√

b², c’est-à-dire àa < b.

Exemples:

– Pour comparer les nombres positifs a= 3√

5et b= 2√

11, on compare leurs carrés : a² = (3√

5)² = 9×5 = 45 et b² = (2√

11)²= 4×11 = 44; on a donc a² > b², ce qui équivaut à dire que a > b.

– Soit x un réel tel que 3< x <4; on veut donner unencadrementde x+ ¹x : Les nombres positifs3, xet 4sont rangés dans l’ordre inverse de leurs inverses : on a ainsi ¹₄ < ¹_x < ¹₃

et finalement 3 + ¹₄ < x+¹x <4 + ¹₃, c’est-à-dire que ¹³₄ < x+x¹ < ¹³₃ . Propriété 4 : comparaison dea, a², a³ pour a≥0

– Si a= 0 ou a= 1 alorsa=a²=a³. – Si 0< a <1 alors a > a² > a³. – Si a >1 alors a < a²< a³. Preuve :

– Pour 0< a <1:

De a < 1 on déduit que a² < a (on multiplie chaque membre de l’inégalité par a qui est positif)

Dea < 1 on déduit que a³ < a² (on multiplie chaque membre de l’inégalité par a qui est positif).En conclusion, on a donca > a²> a³.

– Pour a >1:

De a > 1 on déduit que a² > a (on multiplie chaque membre de l’inégalité par a qui est positif)

Dea > 1 on déduit que a³ > a² (on multiplie chaque membre de l’inégalité par a qui est positif).En conclusion, on a donca < a²< a³.

Exemple : ⁶₅3

> ⁶₅2

> ⁶₅ car ⁶₅ >1.

3 Distance entre deux réels sur la droite graduée ; valeur absolue

3.1 Distance entre deux réels

Rappel : Ladroite des réels est une droite graduée (c’est-à-dire une droite sur laquelle on a choisi un point origineO et un autre point I formant ce que l’on appele un repèresur la droite). Chaque point de cette droite est repéré par un unique nombre réel appeléabscisse de ce point. Inversement, à tout nombre réel est associé un unique point de la droite.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O I

−⁷3 1,4 π

A B C

Soient AetBdeux points de la droite des réels, d’abscisses respectivesaetb. Alors la distance entre les pointsA etB est égale à la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite ; on a donc :

– Si a < balorsAB=b−a – Si a > balorsAB=a−b

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O I

A B

a b

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O I

B A

b a

Définition :

La distance entre les deux nombres réels aet b, que l’on trouve parfois notée d(a;b), est donc celui des deux nombres a−bou b−aqui est positif ou nul ;

cette distance se note d(a;b) =|a−b|, et se lit "valeur absoluede a−b".

Remarque(interprétation graphique) :

la distance entre les réels aetb est égale à la distance AB : on aAB=|a−b|. Exemples:

– La distance de 5 à 1,5 est d(5; 1,5) =|5−1,5|= 5−1,5 = 3,5

– La distance de 6,8 à 13,2 est d(6,8; 13,2) =|6,8−13,2|= 13,2−6,8 = 6,4 – La distance de −4 à 8 estd(−4; 8) =|−4−8|= 8−(−4) = 12

– Si, sur la droite des réels, A a pour abscisse 5 etB pour abscisse 9, alors AB=d(5,9) =|5−9|= 9−5 = 4

– Si, sur la droite des réels, A a pour abscisse 5 etB pour abscissex, alors AB=d(5, x) =|5−x|

et doncAB= 5−x six <5, AB=x−5si x >5 3.2 Valeur absolue d’un réel

Lorsque b = 0, on a |a−b| =|a−0| =|a|. Le nombre réel |a| est donc la distance entre a et 0 (|a|=d(a; 0)), et on a :

Pour tout réel a, |a|=asi a≥0, alors que |a|=−asia≤0 Exemples:

|5|= 5 car5>0 |−7|= 7 car−7>0 Propriétés de la valeur absolue d’un réel : Soit aun nombre réel.

– Dire que |a|= 0équivaut à dire que a= 0 – |−a|=|a|

– Dire que |a|=|b| équivaut à dire quea=bou a=−b.

Graphiquement :

– |a|= 0 équivaut à dire que la distance deaà 0 est nulle, c’est-à-dire quea= 0.

– Siaest non nul, alorsaet−asont les abscisses respectives de deux pointsAetBsymétriques par rapport à l’origineO. On a donc OA=OB, c’est-à-dire |a|=|−a|.

– Si a est l’abscisse d’un point A et b celle d’un point B, alors dire que |a| = |b| revient à dire que OA=OB; les points A et B sont donc soit confondus (A=B, donc a=b), soit symétriques par rapport à l’origineO (et a=−b).

4 Intervalles de R

4.1 Définitions

Soient aet b deux réels tels quea < b; soit x un réel quelconque. Alors on a : x appartient à

l’intervalle...

x vérifie l’inégalité... Sur la droite graduée, le pointM d’abscissexest situé sur...

[a;b] a≤x≤b ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

[a;b[ a≤x < b ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

]a;b] a < x≤b ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

]a;b[ a < x < b ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

]− ∞;b] x≤b ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

]− ∞;b[ x > b ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

[a; +∞[ a≤x ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

]a; +∞[ a < x ^{-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5}

O I

a b

Si a < b, on dit alors de l’intervalle [a;b] ( ou ]a;b], [a;b[, ]a;b[ ) que son amplitude est b−a, que soncentre est le réel ^a+₂^b, et que sonrayon est ^b−₂^a.

Par exemple, l’intervalle [−5; 1[ est l’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à −5 et strictement inférieurs à 1 ; l’amplitude de cet intervalle est égale à 1−(−5) = 6, son centre est le réel ⁻⁵⁺¹₂ =−2 et son rayon vaut ¹⁻⁽⁻⁵⁾₂ = 3.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O I

4.2 Réunions et intersections d’intervalles Soient I et J deux intervalles de R

Définition :

– L’ensemble des nombres réels appartenant à la fois à l’intervalleI et à l’intervalle J est appelé intersectiondes intervalles I et J, notéeI∩J . Si les intervalles n’ont aucun point en commun, on dit que leur intersection est vide : on note alors I∩J =∅.

– L’ensemble des nombres réels appartenant soit à l’intervalle I, soit à l’intervalle J , (éven- tuellement aux deux) est appelé (ré-)uniondes intervalles I et J, notée I∪J .

Exemples: Dans chaque cas, l’intervalleI est représenté en vert et l’intervalleJ en rouge : – Si I = [−2; 1] et J = [0; 4[

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O I

alors I∩J = [0; 1] (c’est l’ensemble des abscisses des points de l’axe qui sont coloriés en rougeet en vert à la fois) etI ∪J = [−2; 4[ (c’est l’ensemble des abscisses des points de l’axe qui sont coloriéssoit en rouge soiten vert)

– Si I = [−2; +∞[ et J = [0; 3[

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O I

alors I∩J = [0; 3[ (c’est l’ensemble des abscisses des points de l’axe qui sont coloriés en rougeet en vert à la fois) et I ∪J = [−2; +∞[ (c’est l’ensemble des abscisses des points de l’axe qui sont coloriéssoiten rouge soit en vert)

4.3 Intervalles et valeur absolue

Soitr un nombre strictement positif, et soit [a−r;a+r] un intervalle de centre a.

Propriété :

Dire qu’un réel x appartient à cet intervalle équivaut à dire que la distance entre les réelsaet x est inférieure ou égale à r : x∈[a−r;a+r]⇔ |x−a| ≤r

Illustration : poura= 1 et r= 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

O I

A B

a−r a a+r