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A10350. Quelle est cette fonction ?

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Academic year: 2022

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A10350. Quelle est cette fonction ?

Elle est définie par

f(x) = lim

k→+∞

n→+∞lim cos2n(k!πx)

.

On peut la décrire par une simple phrase sans symboles mathématiques.

Saurez-vous le faire ? Solution

C’est l’indicatrice des points rationnels de la droite réelle, valant 1 pour x rationnel, 0 sinon.

En effet, si x est rationnel, pour k assez grand, k!x est un entier pair et le cosinus vaut 1, de même que toutes ses puissances.

Si x est irrationnel, le cosinus ne peut valoir ±1 et sa puissance n-ième a pour limite 0 quel que soitk.

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