A10350. Quelle est cette fonction ?
Elle est définie par
f(x) = lim
k→+∞
n→+∞lim cos2n(k!πx)
.
On peut la décrire par une simple phrase sans symboles mathématiques.
Saurez-vous le faire ? Solution
C’est l’indicatrice des points rationnels de la droite réelle, valant 1 pour x rationnel, 0 sinon.
En effet, si x est rationnel, pour k assez grand, k!x est un entier pair et le cosinus vaut 1, de même que toutes ses puissances.
Si x est irrationnel, le cosinus ne peut valoir ±1 et sa puissance n-ième a pour limite 0 quel que soitk.