1 SupportCoursd’AnalyseMathématiquede 1 annéePréparatoire ( ESGEN )

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(ESGEN)Azoug.Slimane

Support Cours d’Analyse Math´ ematique de 1

^ere

ann´ ee Pr´ eparatoire

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(3)

Entier Naturel , nombre relatif, nombre rationnel, irrationnel,Les nombres réels, la variable x, y, appartient, le domaine de définition, la limite, fonction , applica- tion, la continuité, la dérivabilité, asymptote ( horizontale, verticale, oblique),le graphe, la courbe, suite, arithmétique, géométrique,la raison,la somme, le terme général, convergente,divergente, croissante,décroissante, constante, alternée, paire, impaire, périodique,equation, inéquation, la solution, intégral , primitive, tableau de variation, intervalle,exponentielle, logarithme,inférieur, supérieur, monôme, polynôme, equation premier ordre, seconde ordre,nombre dérivée, ensemble vide, les complexes, réelle, imaginaire,module, argument, parabole, conjugué, inverse, racine, point d inflexion, raisonnement par récurrence, maximum, mini- mum, bornée, majorée,minorée,monotonie, discriminant,tangente, pente, centre de symétrie, axe de symétrie, axe des abscisses, ordonnées, orthonormé, demi droite, affine, linaire, ouvert, fermé , semi ouvert.

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(ESGEN)Azoug.Slimane CONTENTS

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Chapter 1

Les Fonctions r´ eelles a variable r´ eelle

Théorème de la Valeur moyenne ou des Accroissements finisSi f est continue en tout point d’un intervalle [a, b] avec (a < b) et dérivable en tout point de ]a, b[ alors il existe au moins un pointc∈]a, b[ tel que:

f(b) =f(a) + (b−a)f⁰(c)

Remarque* Il est simple de donner une interprétation géométrique de ce théorème : on bien cette équivalence:

f(b) =f(a) + (b−a)f⁰(c)⇐⇒f⁰(c) = f(b)−f(a) b−a

ce rapport est la pente de la droite qui relie le point (a, f (a)) au point (b, f (b)) etf⁰(c) est la pente de la droite tangente au graphe de f au point (c, f (c)).

Figure 1.1: Th´eor`eme des accroissements finis

Théorème de Rolle 1. Si f est continue sur [a, b] (aveca < b), dérivable sur ]a, b[ et si elle vérifie f (a) = f (b) alors il existe au moins un pointc∈]a, b[

tel quef⁰(c) = 0.

1.1 Polynˆ omes de Taylor

Ils est toujours souhaitables de faire des remplacements des fonctions com- pliquées par leur fonction équivalente comme des polynômes plus simple a faire

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(ESGEN)CHAPTER 1. LES FONCTIONS R ´Azoug.Slimane EELLES A VARIABLE R ´EELLE

Figure 1.2: Théorème de Rolle des calculs comme les limites, des intégrales..etc..

la formule de Taylor nous donnent ces polynˆomes.

Définition Le polynôme de Taylor d’ordre n généré par f au point x₀ est le polynômeP_n de degré inférieur ou égal à n qui définie par:

Pn(x) =f(x0) + (x−x0).f⁰(x0) +(x−x0)²

2! .f⁽²⁾(x0) +..+(x−x0)ⁿ

n! .f⁽ⁿ⁾(x0) Exemple 1

• polynome d’ordre n pour f(x) =e^xen 0.

P_n(x) =f(0) + (x−0).f⁰(0) +(x−0)²

2! .f⁽²⁾(0) +..+(x−0)ⁿ

n! .f⁽ⁿ⁾(0)

• P_n(x) =e⁰+ (x−0).e⁰+^(x−0)_2! ².e⁰+..+^(x−0)_n! ⁿ.e⁰

• P_n(x) = 1 +x+^x_2!² +..+^x_n!ⁿ

Figure 1.3: polynˆomes de Taylor (1,2,3,4) pourf(x) =e^x Exemple 2

• polynome d’ordre 3 pour f(x) = sin(x) en 0.

Pn(x) =f(0) + (x−0).f⁰(0) +(x−0)²

2! .f⁽²⁾(0) +..+(x−0)ⁿ

n! .f⁽ⁿ⁾(0)

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(ESGEN)Azoug.Slimane 1.1. POLYN ˆOMES DE TAYLOR

• P3(x) = sin(0) + (x−0) sin⁽¹⁾(0) +^(x−0)_2! ².sin⁽²⁾(0) +^(x−0)_3! ³.sin⁽³⁾(0)

• P₃(x) = 0 +x−^x_3!³

PropriétéSoit f et g deux fonctions n fois dérivables en un pointx₀et P_n(f) etP_n(g) leurs polynômes de T AYLOR d’ordre n enx₀ . Alors

• le polynˆome de Taylor d’ordre n pour la somme f + g au pointx₀ est le polynˆomePn(f) +Pn(g)

• le polynôme de Taylor d’ordre n par le produit f.g au pointx0est la somme des termes de degré inférieur ou égaux à n du polynômePn(f).Pn(g) ;

• le polynôme de Taylor d’ordre nk généré par f (x k ) au point x0 est le polynôme P f (x k ) ;

• le polynôme de Taylor d’ordre n -1 généré par f⁰ au point x0 est le polynômeP⁰(f) .

Exemples

• le polynˆome de Taylor d’ordre 2 pour la sommee^x+sin(x) au pointx₀= 0 est le polynˆomeP = 1 + 2x+^x₂²

• le polynˆome de Taylor d’ordre 2 par le produite^x.sin(x) au pointx0= 0 est le polynˆomeP =x+x² ;

• le polynôme de Taylor d’ordre 2 généré par e^x² au point x₀ = 0 est le polynômeP = 1 +x² ;

• le polynôme de Taylor d’ordre 2 généré par cos(x) au pointx₀= 0 est le polynômeP = (sin(x))⁰= (x−^x₆³)⁰= 1−^x₂² .

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(ESGEN)CHAPTER 1. LES FONCTIONS R ´Azoug.Slimane EELLES A VARIABLE R ´EELLE

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Chapter 2

S´ eries D’exercices

S´ erie d’exercices sur les fonctions ( 1 ann´ ees )(partie : 01)

Exercice n 01

D´eterminer le domaine de d´efinition des fonctions suivantes et leur limites aux bornes:

• f(x) = ^x_x−2²⁻¹

• f(x) = ^x_x²2⁻¹−a, a >0.

• f(x) = _x^x₂²₋₁₆⁻¹ Exercice n 02

• f(x) =

√x−1 x−1

• f(x) =√

x²+x+ 1

• f(x) =

√x

√1−x Exercice n 03

• f(x) = ln(ln(x))

• f(x) = e^x−1 e^x+ 1

• f(x) = e¹^x x

• f(x) = ln(|x|) Exercice n 04

Calculer les limites en 0 des fonctions suivantes:

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(ESGEN)Azoug.Slimane CHAPTER 2. S ´ERIES D’EXERCICES

• f(x) =sin(2x) x

• f(x) =sin(2x) sin(3x)

• f(x) =tan(ax) sin(bx)

• f(x) =x−sin(ax) x+ sin(3x)

• f(x) = x² sin(πx)

• f(x) =x.sin(¹_x) Exercice n 05

Calculer foh et hof des fonctions suivantes et conclure.

• f(x) =x²,h(x) = ln(x)

• f(x) =x²,h(x) =e^x Exercice n 06

Donner la parit´e des fonctions suivantes:

• f(x) =e^x−1 e^x+ 1

• f(x) = 1 +x²+ cos(3x)

• f(x) =x+x³+ tan(2x)

• f(x) =x²+ sin²(x)

|x|+6

• f(x) = x² sin(πx)

• f(x) =x.sin(¹_x)

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2.0.1 S´ erie d’exercices sur les fonctions(partie : 02)

*************************************************************************

Exercice 1.(Domaine de d´efinition)

D´eterminer le domaine de definition de chacune des fonctions suivantes:

1. f1(x) =

r1−x 4−x² 2.f2(x) = ln(x²−3x+ 2) 3.f₃(x) =ln(x²−3x+ 2)

|x²−3|

4.

f4(x) =







1

2−x si(x>0) x²−3x+ 2 si(x <0) Exercice 2.(hyperboliques et trigonom´etriques)

D´eterminer le domaine de d´efinition de chacune des fonctions suivantes:

1.f2(x) = 5.sinh(x)−3.cosh 2.f2(x) =_sinh(2x)^sinh(x)

3.f2(x) = 2.tanh(2x) 4.f₂(x) = 3.cos³(x) 5.f₂(x) =tan(x) Exercice 3.(Limites )

Calculer les limites des fonctions suivantes au pointx₀: 1.limsin(ln(x)−1)

x−e ..x0=e; lim_x^e2^x+x−6^−e² ..x0= 2 2.lim

√2x+1−3

√x−2−√

2 ..x₀= 4; lim√

x.sin(^√¹_x) ..x₀= 0 3..lim^x_x⁵3⁻¹−1 ..x0= 1; lim^e_e^2x3x^−e−e²² ..x0= +∞

4.lim^sin(ax)_sin(2x) ..x₀= 0; lim^ln(e_x−e^3x⁻¹⁾ ..x₀= +∞

5.limx.ln(^√^x

x²+1) ..x₀= +∞; lim

√1+x−√ 1−x

x ..x₀= 0 6.lim^1−cos(x)_x2 ..x0= 0 ; lim(^x+1_x−e)^x ..x0= +∞

Exercice 4.(continuit´e)

1 Etudier la continuit´e de la fonction f au pointx0: f(x) =|x−1| x₀= 1 2 Etudier la continuit´e de la fonction f au pointx0= 0:

f(x) =







x².cos(1

x) si(x6= 0) 0 si(x= 0) 3 Pour quelle valeur de a, f est-elle continue en 0 ?

f(x) =







√1 +x−√ 1−x

x si(x6= 0) 3a²−27 si(x= 0)

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4 Pour quelles valeurs de α,β pour que f soit continue en 2 ? f(x) =

(x²+α.x−β si(x62) 2x+β si(x>2) Exercice 5.(Prolongement par continuit´e)

Les fonctions suivantes sont-elle prolongeable en 0?:

1.f5(x) =x.ln(|x|) 2.f5(x) =x−^|x|_x 3.f5(x) = sin(x).sin(¹_x) Exercice 6.(Inverse) Soit la fonction f d´efinie par:

f(x) =







x si(x <2) x² si(16x64) 8√

x si(x >4) 1.Tracer le graphe de f.

2.f est-elle continue sur R.

3.Montrer que f admet une fonction r´eciproquef⁻¹dont on donnera l’expression.

Exercice 7.(Inverse) Soit la fonction f d´efinie par:

f(x) = x 1+|x| 2.Montrer que f r´ealise une bijection de R sur f(R) 3. D´eterminer f(R) etf⁻¹.

Exercice 8.

Soit une fonction f de [a, b] dans R continue, telle que f(a)=f(b).

Montrer que la fonction g d´efinie par g(t) =f(t+b−a

2 )−f(t) s’annule en aumoin un point c de [a,^a+b₂ ].

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2.0.2 S´ erie d’exercice sur les int´ egrales et TAF et les dls

Exercice 1.(les puissances)

Calculer les primitives des fonctions suivantes:

1. f1(x) = 5.x⁴−3.x²+ 6.x−7 2.f₁(x) = 5.√

x³−3.√

x.x²+ 6. 1

√x 3.f₁(x) = 5. 1

x²−3.x²

√x+ 6.^√^x³

x³

Exercice 2.(trigonom´etriques)

1.f2(x) = 5.sin(x)−3.cos(x)−7 2.f2(x) = 2.sin(3x)−3.cos(2x) 3.f₂(x) = 2.sin²(x)

4.f₂(x) = 3.cos³(x) 5.f₂(x) =tan(x)

Exercice 3.(changement de variable) Calculer les int´egrales suivantes:

1.R sin(ln(x)) x .dx 2.R 1+e

√x

√x .dx 3.R e^x

1+e^x.dx 4.R ₁

x.√

ln(_x¹).dx 5.R

e^xln(1 +e^x).dx

avec les changements (t=ln(x), t=√

x, t=e^x, t=ln(1/x), t= 1 +e^x) Exercice 4.

(formules) Calculer les primitives des fonctions suivantes:

1.f4(x) = (3 +x)⁷ 2.f4(x) = (4x+ 3)^1/3 3.f4(x) = 2^2x.3^x 4.f4(x) =x.e^x² Exercice 5.

(int´egrations p.p) Calculer les primitives des fonctions suivantes:

1.f₅(x) =x.ln(x) 2.f₅(x) =arctan(x) 3.f₅(x) =x.cos(x) 4.f5(x) =ln²(x) 5.f5(x) =cos(x).e^x Exercice 6.(fractions)

1.f5(x) =_x2^5x+3−3x+2

2.f₅(x) =_x₂_+4x+5¹ 3.f5(x) =_x3¹+1

4.f₅(x) =_x^2x−3₃_+x Exercice 7.

Pour tout entier n , on pose :

In= Z 1

0

xⁿ.√

1−x.dx

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1. en calculantI_n−1−In deduire une relation entreIn−I_n−1 2. calculerI0

3. DeduireIn. Exercice:8

Calculer les limites suivantes:

• lim

x→0

sin(x)−x cos²(x)−1

• lim

x→0 e^2x−1 sin²(x)−x

Exercice:9

Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes:

• ln(^e_e^xx⁻¹+1)

• ln(arcsin(x)) Exercice:10

Ecrire les dls des fonctions suivantes en 0.´

• ln(x+ 2) d’ordre 3.

• exp(x) d’ordre 5.

Exercice:11

En utilisant le th´eoreme des accroissements finis montrer que:

• _1+x^x2 ≤arctan(x)≤x.

• D´eduire: lim

x→0arctan(x)

• En faisant un changement de variable ad´equat calculer: lim

n→+∞n.arctan(¹_n) Exercice:12

Soit la fonctionf(x) d´efinie par:

(f(x)) =

(x+x².sin(1/x) si(x6= 0) 0 si(x= 0) 1. Montrer quef(x) est continue sur<

2. Montrer quef(x) est d´erivable sur<

3. La fonctionf⁰(x) est elle continue en 0?

4. Calculer : lim

x→+∞f(x) et lim

x→+∞f⁰(x) Exercice:13

Ecrire les developpements limit´es a l ordre 2 en z´ero des fonctions suivantes:

• e^x+ sin(x) , (e^x+ sin(x))²

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• D´eduire: lim

x→0

(e^x+ sin(x))²−1 (e^x+ sin(x))−1 Exercice:14

Soit la fonction f d´efinie parf(x) =√ e^2x−1

1. Donner le domaine de d´efinition et montrer quef(x) admet une r´eciproque f⁻¹

2. Donner l’expression def⁻¹(x) et dresser son tableau de variation.

3. Calculer (f⁻¹)⁰(1) avec deux m´ethodes.

Exercice:15

Calculer les integrales suivantes : 1. R 1+ln³(x)

x .dx 2. R 5

x²+x+2.dx 3. R

arctan(x).dx ..(par parties) Exercice: 16

Soit la fonction: fn(x) =n−e^x , avec n un entier naturel non nul.

• Donner le domaine de d´efinition et dresser le tableau de variation defn(x).

• Montrer que l’´equation f_n(x) = 0 admet une unique solution α tel que α∈]0; 1[ ; trouver la valeur de cette solution en fonction de n.

• Montrer quefn(x) d´efinie une bijection de<sur J.

• Donner J et l’expression de f_n⁻¹(x).

• tracer le graphe def1, f₁⁻¹ dans le même repère orthonormé.

Exercice: 17

Soit la fonctionGn d´efinie par:

(Gn(x)) =

(α²+n+x.e^x si(x>0) α+x si(x≤0) avec n entier naturel etαun param`etre r´eel.

1. Donner le domaine de définition et calculer la dérivée deG_n.

2. Étudier suivant les valeurs deαla continuité deGn en zéro.

(16)

Exercice: 18

Calculer la limite suivante en utilisant les d´eveloppements limit´es.

x→0lim

e^x+x−sin(x)−1 e^x+ cos(x)−2 Exercice: 19

En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis montrer que:

• _1+x^x2 ≤arctan(x)≤x.

• D´eduire: lim

x→0arctan(x)

• En faisant un changement de variable ad´equat calculer: lim

n→+∞n.arctan(¹_n) Exercice: 20

Soit la fonctionfα(x) tel que: f(0) = 0 et elle est d´efinie par:

(f(x)) =

(x+x².sin(1/x) si(x>0) α+x si(x<0) avecαun param`etre r´eel.

1. Donner le domaine de d´efinition et calculer la valeure de αpour que fα

soit continue.

2. Étudier la dérivabilité def0(x) sur<.

3. calculer f’(x) et puis lim

x→−∞f₀(x) Exercice: 21

Ecrire les d´´ eveloppements limit´es a l ordre 2 en z´ero des fonctions suivantes:

• e^x+ sin(x) , (e^x+ sin(x))²

• D´eduire: lim

x→0

(e^x+ sin(x))²−1 (e^x+ sin(x))−1

2.0.3 Correction des exercices 8,9,10

•

ln(^e_e^x_x⁻¹₊₁)0

=_(e_x_−1)(e^2.e^x_x₊₁₎

• (ln(arcsin(x)))⁰= ^√ ¹

1−x²arcsin(x)..(02)pts

(17)

• lim

x→0

sin(x)−x

cos²(x)−1 = ^x₆ +o(x)→0.

• lim

x→0 e^2x−1

sin²(x)−x =^2+2x_x−1 +o(x)→ −2.

• ln(x+ 2) = ln(2) +^x₂ −^x₈² +^x₂₄³ +o(x³)

• .e^x= 1 +x+^x₂² +^x₆³ +^x₂₄⁴ +₁₂₀^x⁵ +o(x⁵)

1 SupportCoursd’AnalyseMathématiquede 1 annéePréparatoire ( ESGEN )

Support Cours d’Analyse Math´ ematique de 1

ann´ ee Pr´ eparatoire

Contents

0.1 Les termes ` a apprendre

Chapter 1

Les Fonctions r´ eelles a variable r´ eelle

1.1 Polynˆ omes de Taylor

Chapter 2

S´ eries D’exercices

S´ erie d’exercices sur les fonctions ( 1 ann´ ees )(partie : 01)

2.0.1 S´ erie d’exercices sur les fonctions(partie : 02)

2.0.2 S´ erie d’exercice sur les int´ egrales et TAF et les dls

2.0.3 Correction des exercices 8,9,10