1 SupportCoursd’AnalyseMathématiquede 1 annéePréparatoire ( ESGEN )

(1)

(ESGEN)Azoug.Slimane

Support Cours d’Analyse Math´ ematique de 1

^ere

ann´ ee Pr´ eparatoire

(2)

(3)

Entier Naturel , nombre relatif, nombre rationnel, irrationnel,Les nombres réels, la variable x, y, appartient, le domaine de définition, la limite, fonction , application, la continuité, la dérivabilité, asymptote ( horizontale, verticale, oblique),le graphe, la courbe, suite, arithmétique, géométrique,la raison,la somme, le terme général, convergente,divergente, croissante,décroissante, constante, alternée, paire, impaire, périodique,equation, inéquation, la solution, intégral , primitive, tableau de variation, intervalle,exponentielle, logarithme,inférieur, supérieur, monôme, polynôme, equation premier ordre, seconde ordre,nombre dérivée, ensemble vide, les complexes, réelle, imaginaire,module, argument, parabole, conjugué, inverse, racine, point d inflexion, raisonnement par récurrence, maximum, mini- mum, bornée, majorée,minorée,monotonie, discriminant,tangente, pente, centre de symétrie, axe de symétrie, axe des abscisses, ordonnées, orthonormé, demi droite, affine, linaire, ouvert, fermé , semi ouvert.

(5)

Chapter 1

Les Nombres r´ eels

1.1 Les ensembles

Figure 1.1: Les ensembles

1.1.1 Op´ erations dans R

On d´efinit l addition: (x, y)7−→x+y On d´efinit l addition: (x, y)7−→x.y

l ensemble des nombres réels est un corps commutatif pour l addition et la mul- tiplication. On définit une relation d’ordre de la manière suivante:

(x, y)7−→x < y

1.1.2 Les quatorze axiomes dans R

A1 : ∀x, y∈Rx+y=y+x

A2 : ∀x, y, z∈R(x+y) +z=x+ (y+z) A3 : ∀x∈Rx+ 0 = 0 +x=x

A4 : ∀x∈R∃(−x)∈Rx+ (−x) = 0.

A5 : ∀x, y∈Rx.y=y.x

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(ESGEN)Azoug.Slimane CHAPTER 1. LES NOMBRES R ´EELS

A6 : ∀x, y, z∈R(x.y).z=x.(y.z) A7 : ∀x∈Rx.1 = 1.x=x

A8 : ∀x∈R^∗ ∃(x⁻¹)∈R telquex.(x⁻¹) = 1.

A9 : ∀x, y, z∈R x.(y+z) =x.y+x.z

A10: ∀x, y, z∈Ronauneetuneseuledestroispossibilitesx=y, x < y, x > y A11: ∀x, y, z∈R x > y et y > z=⇒x > z

A12: ∀x, y, z∈R x < y=⇒x+z < y+z A13: ∀x, y, z∈R(z >0) x < y=⇒x.z < y.z A14: axiome de la borne sup´erieure.

1.1.3 Les identit´ es remarquables

Triangles de Pascal

Formule du binˆome de Newton

Figure 1.2: Triangle de Pascal

(a+b)ⁿ= Σⁿ_r=0C_n^ra^n−r.b^r

aⁿ−bⁿ= (a−b).(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻².b+...+bⁿ⁻¹) (par recurrence.)

• (a+b)²= 1.a²+ 2.ab+ 1.b²

• (a+b)³= 1.a³+ 3.a²b+ 3.a.b²+ 1.b³

• (a+b)⁴= 1.a⁴+ 4.a³b+ 6.a².b²+ 4.a.b³+ 1.b⁴

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(ESGEN)Azoug.Slimane 1.1. LES ENSEMBLES

1.1.4 La Valeur Absolue

la valeur absolue d’un nombre réel x noté|x|. défini par: |x|=x si x≥0

|x|=−x si x≤0

Autrement|x|=M ax{x,−x}

• |x.y|=|x|.|y|

• | ^x_y |= ^|x|_|y|

• |x+y|≤|x|+|y| (in´egalit´e triangulaire).

• ||x| − |y||≤|x−y| D´emonstration

• (|x|+|y|)²−(|x+y|)²= 2.(|x.y| −xy)

• − |x.y|≤x.y≤|x.y|=⇒|x.y| −xy>0 CQFD.

• |x|=|x−y+y|)≤|x−y|+|y|

• =⇒|x| − |y|≤|x−y|

• on fait de meme pour avoir|y| − |x|≤|x−y|

• deduire donc: − |x−y|≤|x| − |y|≤|x−y|

• ||x| − |y||≤|x−y| CQFD.

1.1.5 La racine carr´ e

la racine carré dun réel a(>0) est définie par les deux solutions de l’équation suivante:

x²=a ces deux solutions sontx=√

a,x=−√

aOn rappel les propri´etaires essentielles des racines.

• √

x.y=√ x.√

y

• q_x

y =

√x

√y

• √

x²=|x|

• √

x+y6√ x+√

y

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(ESGEN)Azoug.Slimane CHAPTER 1. LES NOMBRES R ´EELS

1.1.6 La Borne Sup´ erieure

A étant une partie non vide de R, on dit que A est majorée,s’il existe un nombre réel M tel que: ∀x∈A:x6M

M est appel´e majorant de A.

Exercice d’application

D´eterminer les majorants des ensembles suivants:

• A1 ={0,1,3,4}

• A2 =N^∗

• A3 =]−3,4]∪[5,10]

Axiome de la borne sup´erieure

Toute partie non vide de R et major´ee admet une borne sup´erieure.

Caract´erisation de la borne sup´erieure

(M =sup(A))⇐⇒(∀x∈A:x6M)et(∀ε >0,∃x^∗∈A/M−ε < x^∗6M) On utilise une autre caract´erisation qui est ´equivalente:

(M =sup(A))⇐⇒(∀x∈A:x6M) et (il existe une suite d’ ´el´ementsUn∈A tq limUn =M)

1.1.7 Partie enti` ere d’un r´ eel

Définition Pour tout réel x, il existe un entier relatif noté E(x) tq:

E(x)6x < E(x) + 1 il est not´e parfois [x].

• x−1< E(x)6x

• ∀p∈Z, E(x+p) =E(x) +p

• x−→E(x) (est une fonction croissante).

(9)

Chapter 2

Les Suites Num´ eriques

2.0.8 D´ efinition

Une suite numérique est une application de D ⊆N −→R qui a tout entier naturel n associé son image le nombre réel U(n), noté Un.

Remarques En pratique deux m´ethodes pour d´efinir une suite : 1)Un = 2n+ 2

n−1 ,suite définie par son terme général.

2)Un+1=Un+U_n−1, par une relation r´ecurrente.

2.0.9 Monotonie d’une suite

• Une suiteU_n est dite croissante ( resp. strictement croissante) si

∀n∈N, U_n6U_n+1 (resp.U_n < U_n+1)

• Une suiteUn est dite d´ecroissante ( resp. strictement d´ecroissante) si

∀n∈N, U_n>U_n+1 (resp.U_n > U_n+1)

• Une suiteUn est dite constante si

∀n∈N, U_n=U_n+1 Application Etudier la monotonie des suites suivantes.´ 1)Un =2ⁿ

n!,(Ind.´ecrire Un+1

Un

= 2

n+ 1),conclure.

2)Un =2n+ 4

5n−2,(Ind.´ecrire

2.0.10 Suite major´ ee, minor´ ee, born´ ee

• Une suiteUn est dite major´ee si

∀n∈N, ∃M ∈R Un 6M

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(ESGEN)Azoug.Slimane CHAPTER 2. LES SUITES NUM ´ERIQUES

• Une suiteUn est dite d´ecroissante ( resp. strictement d´ecroissante) si

∀n∈N, ∃m∈R Un>m

• Une suiteUn est dite born´ee si

∀n∈N, ∃m, M ∈R m6Un6M

Application. Montrer que la suite defini´e parUn= cos(n) n²+ 1 (Ind. −16cos(n)61).

2.0.11 Limite d’une suite

(limUn =l)⇐⇒(∀ε >0,∃N, n>N ⇒|Un−l|< ε) (limU_n = +∞)⇐⇒(∀M ∈R,∃N, n>N ⇒U_n> M

Application. Montrer en utilisant la d´efinition que la limite de la suite d´efinie parUn= 1 + 1

n+ 1 est ´egale a 1.

2.0.12 Proposition(Unicit´ e)

La limite d’une suite convergente est unique.

D´emonstrationPar l’absurde ´ecrire:

ε=|l1−l2|6|Un−l1|+|Un−l2|< ε 2+ε

2 ⇒ε < ε

2.0.13 Propri´ et´ es

Soient (Un),(Vn) deux suites convergentes alors les suites (Un+Vn), (α.Un),

|Un|, (Un−V_n), U_n Vn

sont convergentes et on a:

• lim(Un+Vn) = limUn+ limVn=l1+l2.

• lim(α.Un) =α.lim(Un) =α.l1

• lim(|U_n|) =|limU_n|=|l₁|

• lim(Un.Vn) = limUn.limVn =l1.l2.

• lim(Un

Vn

) =limUn

limVn

= l1

l2

, si l26= 0.

Application. Montrer que la limite de la suite d´efini´e par:

limUn=nⁿ¹ = 1.

limUn= lim(1 +^a_n)ⁿ=e^a.

(11)

2.0.14 Proposition

Toute suite convergente est born´ee.

D´emonstrationEcrire:

− |l| −ε < l−ε < Un< l+ε <|l| −ε=K conclure que K est le majorant.

Remarque Donc une suite non born´ee ne peut donc pas ˆetre convergente.

2.0.15 Th´ eor` eme de la convergence monotone

• Une suite (U_n), n ∈ N qui est croissante et major´ee est convergente et limU_n= sup U_n.

• Une suite (Un),n∈N qui est croissante et non major´ee diverge vers +∞.

• Une suite (Un),n∈N qui est d´ecroissante et minor´ee est convergente et limUn = inf Un

• Une suite (Un), n ∈ N qui est d´ecroissante et non minor´ee diverge vers

−∞.

2.0.16 Th´ eor` eme d’encadrement:

Soit(Un),n∈N une suite. S’il existe deux suites convergentes(Vn),n∈ Net (Wn),n∈N ayant une mˆeme limite l∈R et satisfaisant

∃N^∗∈N,∀n∈N n > N^∗⇒Vn 6Un6Wn

alors limU_n=l

Application Montrer que:limU_n=⁽⁻¹⁾_nⁿ = 0.

2.0.17 D´ efinition Suite extraite ou sous-suite

Soit (Un), n ∈ N une suite. On appelle suite extraite ou sous-suite de (Un), n∈N toute suite n ) (Un),n∈N de la formeyn =U_ϕ(n) o`u ϕ:N −→N est une application strictement croissante.

Application Donner deux suites extraites de la suite d´efinie par:U_n=⁽⁻¹⁾_nⁿ.

D´efinition Valeur d’adh´erence

On dit quea∈Rest une valeur d’adh´erence de la suite (Un) si et seulement si il existe une sous-suite extraite qui converge vers a.

(12)

Th´eor`eme:

Soit(Un)une suite. Si(Un)converge vers l, toute sous-suite converge aussi vers l. Si une suite extraite de (Un) diverge, ou si deux suites extraites de (U_n) ont des limites diff´erentes, alors (U_n) diverge.

Si deux suites extraites de (U_n) convergent vers la mˆeme limite l et si(U_n)est un terme d’une de ces suites extraites, alors (U_n)converge aussi vers l.

Exemple si (U_2n) et (U_2n+1) convergent vers l, alors (U_n) converge vers l.

2.0.18 D´ efinition Suites adjacentes

Les suites(Un) et (Vn) sont adjacentes si

• (Un) est croissante,

• (Vn) est d´ecroissante,

• lim(Un−Vn) = 0.

Th´eor`eme:

Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la mˆeme limite.

2.0.19 Suite arithm´ etique

Une suite (Un) est arithm´etique de raison r∈R et de premier termeU0 si

∀n∈N, Un+1=Un+r.

On remarque que:

∀n∈N Un+1=Un+nr

2.0.20 Suite g´ eom´ etrique

Une suite (U_n) est g´eom´etrique de raison r∈Ret de premier termeU₀ si

∀n∈N, U_n+1=r.U_n On remarque que:

∀n∈N U_n+1=U₀.rⁿ⁺¹ convergence d’une suite g´eom´etrique

Soit (U_n) une suite g´eom´etrique de raisonr∈Ret de premier termeU₀.

• Si r <−1,la suite (U_n) est divergente et ne possede pas de limite.

• Si r =-1, la suite (U_n) diverge et poss`ede deux valeurs d’adh´erence 1 et -1.

• Si |r|<1, la suite (Un) converge vers 0.

• Si r=1, la suite (Un) est constante.

• Si r >1, la suite (Un) est divergente.

(13)

2.0.21 D´ efinition Suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique

Une suite (Un) est arithmético-géométrique de premier termeU0 si

∀n∈N Un+1=a.Un+b avec a, b des r´eels.

• Si a= 1 la suite (Un) est arithm´etique de raison b.

• Si b= 0, la suite (U_n) est g´eom´etrique de raison a.

• Si |a|<1, la suite (U_n) converge vers 0.

• Si a6= 1, la suiteUn=U0.aⁿ+ (aⁿ−1 a−1 ).b

2.0.22 Convergence d’une suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique

Une suite(Un)arithmético-géométrique de premier termeU0est convergente si et ssi |a|<1, et sa limite _1−a^b

2.0.23 D´ efinition Suite r´ ecurrente lin´ eaire d’ordre deux

Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 s’écrit:







U0=α.

U1=β.

Un+2=a.Un+1+b.Un

2.0.24 Ecriture du terme g´ ´ en´ eral d’une suite r´ ecurrente lin´ eaire d’ordre deux

Pour cela on écrit l’équation caractéristique:

r²−a.r−b= 0.

On calcul le discriminant:∆ =a²+ 4b

• Si ∆ > 0, l’equation admet deux racines r₁ = ^a−

√

∆

2 , r₂ = ^a+

√

∆ 2 ,avec α, β des r´eels

U_n =α.rⁿ₁ +β.rⁿ₂

• Si ∆ = 0, l’equation une racine doubler1=r2= ^a₂ Un = (α+β.n)(^a₂)²

• Si ∆<0, l’equation admet deux racines complexes:Z = [l, θ] ,Z = [l,−θ]

Un= (l)ⁿ.(αcos(n.θ) +β.sin(nθ))

(14)

Application Soit la suite suivante:







U0= 1.

U₁=−1.

Un+2= 3.Un+1−2.Un

Ecrire le terme general en fonction de n.

(Solution: Un= 3−2ⁿ⁺¹)

(15)

Chapter 3

Les Fonctions r´ eelles a variable r´ eelle

Théorème de la Valeur moyenne ou des Accroissements finisSi f est continue en tout point d’un intervalle [a, b] avec (a < b) et dérivable en tout point de ]a, b[ alors il existe au moins un pointc∈]a, b[ tel que:

f(b) =f(a) + (b−a)f⁰(c)

Remarque* Il est simple de donner une interprétation géométrique de ce théorème : on bien cette équivalence:

f(b) =f(a) + (b−a)f⁰(c)⇐⇒f⁰(c) = f(b)−f(a) b−a

ce rapport est la pente de la droite qui relie le point (a, f (a)) au point (b, f (b)) etf⁰(c) est la pente de la droite tangente au graphe de f au point (c, f (c)).

Figure 3.1: Th´eor`eme des accroissements finis

Théorème de Rolle 1. Si f est continue sur [a, b] (aveca < b), dérivable sur ]a, b[ et si elle vérifie f (a) = f (b) alors il existe au moins un pointc∈]a, b[

tel quef⁰(c) = 0.

3.1 Polynˆ omes de Taylor

Ils est toujours souhaitables de faire des remplacements des fonctions com- pliquées par leur fonction équivalente comme des polynômes plus simple a faire

(16)

(ESGEN)CHAPTER 3. LES FONCTIONS R ´Azoug.Slimane EELLES A VARIABLE R ´EELLE

Figure 3.2: Théorème de Rolle des calculs comme les limites, des intégrales..etc..

la formule de Taylor nous donnent ces polynˆomes.

Définition Le polynôme de Taylor d’ordre n généré par f au point x₀ est le polynômeP_n de degré inférieur ou égal à n qui définie par:

Pn(x) =f(x0) + (x−x0).f⁰(x0) +(x−x0)²

2! .f⁽²⁾(x0) +..+(x−x0)ⁿ

n! .f⁽ⁿ⁾(x0) Exemple 1

• polynome d’ordre n pour f(x) =e^xen 0.

P_n(x) =f(0) + (x−0).f⁰(0) +(x−0)²

2! .f⁽²⁾(0) +..+(x−0)ⁿ

n! .f⁽ⁿ⁾(0)

• Pn(x) =e⁰+ (x−0).e⁰+^(x−0)_2! ².e⁰+..+^(x−0)_n! ⁿ.e⁰

• Pn(x) = 1 +x+^x_2!² +..+^x_n!ⁿ

Figure 3.3: polynˆomes de Taylor (1,2,3,4) pourf(x) =e^x Exemple 2

• polynome d’ordre 3 pour f(x) = sin(x) en 0.

Pn(x) =f(0) + (x−0).f⁰(0) +(x−0)²

2! .f⁽²⁾(0) +..+(x−0)ⁿ

n! .f⁽ⁿ⁾(0)

(17)

(ESGEN)Azoug.Slimane 3.1. POLYN ˆOMES DE TAYLOR

• P3(x) = sin(0) + (x−0) sin⁽¹⁾(0) +^(x−0)_2! ².sin⁽²⁾(0) +^(x−0)_3! ³.sin⁽³⁾(0)

• P₃(x) = 0 +x−^x_3!³

PropriétéSoit f et g deux fonctions n fois dérivables en un pointx₀et P_n(f) etP_n(g) leurs polynômes de T AYLOR d’ordre n enx₀ . Alors

• le polynˆome de Taylor d’ordre n pour la somme f + g au pointx₀ est le polynˆomePn(f) +Pn(g)

• le polynôme de Taylor d’ordre n par le produit f.g au pointx0est la somme des termes de degré inférieur ou égaux à n du polynômePn(f).Pn(g) ;

• le polynôme de Taylor d’ordre nk généré par f (x k ) au point x0 est le polynôme P f (x k ) ;

• le polynôme de Taylor d’ordre n -1 généré par f⁰ au point x0 est le polynômeP⁰(f) .

Exemples

• le polynˆome de Taylor d’ordre 2 pour la sommee^x+sin(x) au pointx₀= 0 est le polynˆomeP = 1 + 2x+^x₂²

• le polynˆome de Taylor d’ordre 2 par le produite^x.sin(x) au pointx0= 0 est le polynˆomeP =x+x² ;

• le polynôme de Taylor d’ordre 2 généré par e^x² au point x₀ = 0 est le polynômeP = 1 +x² ;

• le polynôme de Taylor d’ordre 2 généré par cos(x) au pointx₀= 0 est le polynômeP = (sin(x))⁰= (x−^x₆³)⁰= 1−^x₂² .

(18)

(ESGEN)CHAPTER 3. LES FONCTIONS R ´Azoug.Slimane EELLES A VARIABLE R ´EELLE

(19)

Chapter 4

Int´ egrales

4.1 Primitives

Définition PrimitiveSoit I un intervalle deR. Une fonction f : I−→ Rest intégrable s’il existe une fonction dérivable F :I−→ Rtelle que pour toutx∈I, F’ (x) = f (x). Une telle fonction F est une primitive (ou intégrale indéfinie) de f.

Exemple

• (sin(x) )’=cos(x) donc sin(x) est la primitive de cos(x).

• (cos(x) )’=-sin(x) donc cos(x) est la primitive de -sin(x).

• (sh(x) )’=ch(x) donc sh(x) est la primitive de ch(x).

• (ch(x) )’=sh(x) donc ch(x) est la primitive de sh(x).

Proposition Existence des primitives Soit I un intervalle de R et f :I

−→ Rune fonction continue. Alors f est intégrable. PropriétéSi F est une primitive de f alors, pour tout réel c, la fonction F + c est aussi une primitive de f.

Notation L’ensemble des primitives d’une fonction f est not´e Z

f(x)dx.

RemarqueSia∈I alors

F(x) = Z x

a

f(t)dt est l’unique primitive qui s’annule en a.

4.2 Proprietes

• Linearite Z

(f(x) +g(x))dx= Z

f(x)dx+ Z

g(x)dx

Z

α.f(x)dx=α.

Z

f(x)dx

(20)

(ESGEN)Azoug.Slimane CHAPTER 4. INT ´EGRALES

4.3 Calcul des primitives

Dans le tableau qui suit on sous-entend que l’intégration est réalisée sur un intervalle contenu dans l’ensemble de définition de la fonction à intégrer.

Rxⁿdx=^x_n+1ⁿ⁺¹+c(n6=−1) =⇒ R

(f(x))ⁿdx= ^(f(x))_n+1ⁿ⁺¹^f⁰^(x)+c(n6=−1) R ₁

xdx=ln(x) +c =⇒ R f⁰(x)

f(x)dx=ln(|f(x)|) +c Re^xdx=e^x+c =⇒ R

e^f(x)dx=f⁰(x)e^f(x)+c Rsin(x)dx=−cos(x) +c =⇒ R

f⁰(x)sin(f(x))dx=−cos(f(x)) +c R cos(x)dx=sin(x) +c =⇒ R

f⁰(x)cos(f(x))dx=sin(f(x)) +c R √1

1−x²dx=arcsin(x) +c =⇒ R √ f⁰(x)

1−(f(x))²dx=arcsin(f(x)) +c R 1

1+x²dx=arctan(x) +c =⇒ R f⁰(x)

1+(f(x))²dx=arctan(f(x)) +c Rsh(x)dx=ch(x) +c =⇒ R

f⁰(x)sh(f(x))dx=ch(f(x)) +c Rch(x)dx=sh(x) +c =⇒ R

f⁰(x)ch(f(x))dx=sh(f(x)) +c Proposition Int´egration par changement de variable

Soit F une primitive de f et g une fonction d´erivable. Alors la fonction f (g (x))g’(x) est int´egrable et l’on a

Z

f(g(x))g⁰(x)dx=F(g(x)) +c.

Autrement dit, en posant t = g (x) on obtient _dx^dt = g⁰(x) , soit encore dt = g(x)dxet donc

Z

f(g(x))g⁰(x)dx= Z

f(t)dt=F(t) +c.

Exemple CalculerR ln(x)

x dxpar changement de variable ? on pose t = ln(x) doncdt= ¹_xdx

Z ln(x) x dx=

Z

tdt= t²

2 +c= ln²(x) 2 +c PropositionInt´egration par parties

Z

(f(x).g⁰(x))dx=f(x)g(x)− Z

f⁰(x)g(x)dx Exemple CalculerR

ln(x)dxpar int´egration par parties ? si on pose g (x)

= ln(x) et f (x) =1 alors g’ (x) =1/x et f (x) = x donc Z

1.ln(x)dx=x.ln(x)− Z

x.1

xdx=x.ln(x)−x+c

4.4 Int´ egrales d´ efinies

Théorème calcul différentiel et intégral Soit f une fonction continue sur [a; b] et F une primitive de f sur [a; b]. Alors:

1. la d´eriv´ee deg(x) =Rx

a f(t)dtexiste et est ´egale `a f (x).

2.Rx

a f(t)dt=F(b)−F(a) = [F(x)]^b_a.

(21)

(ESGEN)Azoug.Slimane 4.4. INT ´EGRALES D ´EFINIES

4.4.1 Interpr´ etation g´ eom´ etrique

L’int´egrale d´efinie a Rb

af(x)dx correspond à l’aire du domaine du plan situé entre la courbe de f et l’axe des abscisses, et les deux droites d’équation x=a , x=b.voir Fig (1.1)

Figure 4.1: Aire d’une fonction

4.4.2 Propri´ et´ e

Soit [a; b] un intervalle de R avec a < b, f et g : [a,b] −→ Rdeux fonctions int´egrables.

Relation de Chasles: Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dxdx pour toutc∈[a;b].

Relation d’ordre: sif(x)≤g(x) pour toutex∈[a;b] alors Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx

Nullit´e: si f est continue sur [a; b] et f(x) ≥0 pour toute x∈[a;b] alors si Rb

af(x)dx= 0 alors f(x)=0.

Parit´e: si f est paire sur [-a; a] aveca≥0 alors Z a

−a

f(x)dx= 0 Exercice d’applicationMontrer que:

• R2 0

x

x+ 1dx= 2−ln(3)

• Rπ/4

0 cos(2x)dx= 1/2

• Re

1 ln(x)dx= 1

(22)

(ESGEN)Azoug.Slimane CHAPTER 4. INT ´EGRALES

• R4 1

1−√ x

x dx=−1

(23)

Chapter 5

S´ eries D’exercices

5.0.3 S´ erie d’Exercice sur les nombres r´ eels

Exercice n 01(Contrˆole des connaissances) Dites si vrai ou faux les propositions suivantes:

Soient a , b, k des r´eels tels que Si 06a6balors on:

1. a.k6b.k 2. a.k6a.k² 3. a.k6a.k³ 4. a

k 6 b k 5. a

k⁴ 6 b k⁴ Exercice n 02

Dites si vrai ou faux les propositions suivantes:

Soient a , b, c , k des r´eels tels que Si 06a6b6calors on:

1. a.k6b.k6c.k 2. a.k6b.k²6c.k³ 3. a.k²6b.k²6c.k² 4. a

k 6 b k 6 c

k 5. a

k² 6 b k² 6 c

k²

Exercice n 03(Applications)

Montrer que pour tous a , b ,c dans R que:

1. a b +b

a >2

(24)

(ESGEN)Azoug.Slimane CHAPTER 5. S ´ERIES D’EXERCICES

2. 2ab a+b 6√

a.b6a+b 2

3. Deduire : ab+bc+ac6a²+b²+c² Exercice n 04(Applications)

Soient x , y dans R tels que:

16x62, et 26y63

Donner un encadrement pour A, B :

A= (2x+ 1 3y−1)² ,

B= s

2x²+ 2x+ 1 x³+ 3y−1 Exercice n 05(Applications)

Soient x , y dans R, resoudre les systemes suivants:







2x−5<4x−2 6x+ 1

2 >1 (2x+ 8y=−6

x−y²= 1 O5=x, O6= 6.|y|

Les puissances

Exercice n 06(contrˆole des connaissances) Dites si vrai ou faux les propositions suivantes:

Soient a , b, c , k des r´eels tels que 1. 2^x+ 2^x= 2^2.x

2. (aⁿ+bⁿ)²=aⁿ+bⁿ+ 2.aⁿ.bⁿ Exercice n 07(Applications) SimplifierO3l’expression suivante:

O₃=a^x.x^y.x²

a^y.a².x^x avec: x=y+ 2 Exercice n 08(contrˆole des connaissances)

Soient x , y des r´eels.

1. D´evelopper (x+y)⁴ puis,(x−y)⁵

2. Donner les coefficients de x¹⁵ dans le d´eveloppement de (x+ 2)²⁰ O1= (coef f icient de x²) + 2 dans le developpement de (x+ 1)⁴

(25)

Les racines

Soient a , b des r´eels alors on:

1. √ a²=a.

2. (√

a)²=a.

3. √ a.√

b=√ a.b

4. √

a.b=√ a.√

b

5. √

a²+b²=a+b 6. √

a+b=√ a+√

b

7. p

(a+b)²=a+b Exercice n 10(Applications)

Montrer que pour tous a , b, c des r´eels positifs que:

1. √

a+b6√ a+√

b

2. √

ab+bc+ac6a+b+c Exercice n 11(Applications) Resoudre dans R :

1. √

2x−16√ 4x+ 1 2. x−26√

3x+ 1 3. x−4.√

4x−19>1 La valeur absolue

1. |a².b|=b.a² 2. |a²|=a²

3. |a+b|=|a|+|b| 4. |a−b|6|a|+|b| Exercice n 13(Applications) Resoudre dans R :

(26)

1. |2x+ 1|=x−1, (O2= 5x+ 1) 2. |2x−1|63

3. |2x−2|+|x+ 1|= 3 4. |2x−2| − |x+ 1|63 Majorants, Minorants, Sup, Inf Exercice n 14

Trouver si elles existent, Max, Min , Sup , Inf des ensembles suivants:

1. A={−1,7,8,−3,13}, (O4=Sup(A)) 2. B =

1− 1

n, n∈N^∗

3. C= 1

2 + n

1 +n, n∈N

Soient A , B deux parties non vide de R , tels queA∩B6=∅ Si

A⊂B ⇒ sup(A)6sup(B), Inf(A)>Inf(B) Exercice(code a trouver ?)

Trouver le mot suivant:

P rof :O₁.O₂O₃O₄O₅O₆

R.Importante:le premier qui donnera le code aura +3pts `a la note de participation.)

(27)

5.0.4 Correction des exercice sur les nombres r´ eels

,Exercice n 01(Contrˆole des connaissances) Dites si vrai ou faux les propositions suivantes:

Soient a , b, k des r´eels tels que Si 06a6balors on:

1. a.k6b.k( vraie si (K>0) 2. a.k6a.k²(Fauxa.0.16a.(0.1)²) 3. a.k6a.k³ (Fauxa.0.16a.(0.1)³) 4. a

k 6 b

k(vraie si (K >0) 5. a

k⁴ 6 b

k⁴ (vraie si (K6= 0)) Exercice n 02

Dites si vrai ou faux les propositions suivantes:

Soient a , b, c , k des r´eels tels que Si 06a6b6calors on:

1. a.k6b.k6c.k( vraie si (K>0)

2. a.k6b.k²6c.k³(Fauxa.0.16b.(0.1)²6c.(0.1)³) 3. a.k²6b.k²6c.k²(vraie)

4. a k 6 b

k 6 c

k( vraie si (K >0) ) 5. a

k² 6 b k² 6 c

k²Vraie si (K6= 0) Exercice n 03(Applications)

Montrer que pour tous a , b ,c dans R que:

1. a b +b

a >2(´ecrire: (a−b)²>0⇒ _a.b^a² +_a.b^b² >2 si a.b >0.) 2. 2ab

a+b 6√

a.b6 a+b

2 (´ecrire: (√ a−√

b)²>0 )

3. Deduire : ab+bc+ac6a²+b²+c²(ecrire: (2ab6a²+b², 2ac6a²+c², 2cb6c²+b² faire la somme. )

Exercice n 04(Applications) Soient x , y dans R tels que:

16x62, et 26y63

Donner un encadrement pour A, B :

A= (2x+ 1 3y−1)² ,

B= s

2x²+ 2x+ 1 x³+ 3y−1

(28)

1. (´ecrire: 362x+ 165; ¹₈ 6_3y−1¹ 6¹5)

2. (le produit et le carr´e donne: ₆₄⁹ 6(^2x+1_3y−1)²61) De m`eme:

1. (´ecrire: 562x²+ 2x+ 1613; ₁₆¹ 6 x³+3y−1¹ 6 ¹6) 2. (le produit et le carr´e donne:

√5 4 6q

2x²+2x+1 x³+3y−1 6q

13 6) Exercice n 05(Applications)

Soient x , y dans R, resoudre les systemes suivants:







2x−5<4x−2 6x+ 1

2 >1 (Solution: x > ⁻¹₆ )

(2x+ 8y=−6 x−y²= 1 (Solution: O5= 5, O6= 6.| −2|= 12)

Les puissances

Soient a , b, c , k des r´eels tels que

1. 2^x+ 2^x= 2^2.x( Faux prendre: (x= 0.)

2. (aⁿ+bⁿ)²=aⁿ+bⁿ+ 2.aⁿ.bⁿ( Faux prendre: (a= 0, b=n= 2.) Exercice n 07(Applications)

(O₃= 1.)

Exercice n 08(contrˆole des connaissances) Soient x , y des r´eels.

1. (x+y)⁴=x⁴+ 4.x³y+ 6x²y²+ 4xy³+y⁴

2. a= 2⁵.C₂₀¹⁵

3. O₁= 8.

(29)

Les racines

1. √

a²=a.( Faux si (a <0) 2. (√

a)²=a.( vraie ) 3. √

a.√ b=√

a.b( vraie )

4. √

a.b=√ a.√

b( Faux (a=−2, b=−3)) 5. √

a²+b²=a+b( Faux (a= 1, b=−1) 6. √

a+b=√ a+√

b ( Faux (a= 1, b= 1)

7. p

(a+b)²=a+b ( Faux si (a+b <0)) Exercice n 10(Applications)

Montrer que pour tous a , b, c des r´eels positifs que:

1. √

a+b6√ a+√

b ( ´ecrire: (√ a+√

b)²>0) 2. √

ab+bc+ac6a+b+c( ´ecrire: (a²+b²+c²)²>0) Exercice n 11(Applications)

R´esoudre dans R : 1. √

2x−16√

4x+ 1 (S = [¹₂,+∞[ ) 2. x−26√

3x+ 1 (S = [⁻¹₃ ,+2[∪[2,⁷⁺

√37 2 ] ) 3. x−4.√

4x−19>1 La valeur absolue

1. |a².b|=b.a² ( Faux si (b <0)) 2. |a²|=a² ( Vraie )

3. |a+b|=|a|+|b|( Faux (a= 2, b=−2)) 4. |a−b|6|a|+|b|( Vraie inegalite triangulaire) Exercice n 13(Applications)

Resoudre dans R :

(30)

1. |2x−1|=x+ 1,(O2= 5.2 + 1 = 11) 2. |2x−1|63

3. |2x−2|+|x+ 1|= 3 4. |2x−2| − |x+ 1|63

Majorants, Minorants, Sup, Inf Exercice n 14

Trouver si elles existent, Max, Min , Sup , Inf des ensembles suivants:

1. A={−1,7,8,−3,13}, (O4=Sup(A)) 2. B =

1− 1

n, n∈N^∗

3. C= 1

2 + n

1 +n, n∈N

Soient A , B deux parties non vide de R , tels queA∩B6=∅ Si

A⊂B ⇒ sup(A)6sup(B), Inf(A)>Inf(B) Exercice(code a trouver ?)

Trouver le mot suivant:

P rof :O₁.O₂O₃O₄O₅O₆

R.Importante:le premier qui donnera le code aura +3pts `a la note de participation.)

(31)

(ESGEN)Azoug.Slimane5.1. S ´ERIE D’EXERCICES SUR LES SUITES NUM ´ERIQUES

5.1 S´ erie D’exercices sur Les Suites Num´ eriques

Exercice:01(R´ecurrence)

Montrer par r´ecurrence les relations suivantes:

1. Σⁿ_k=1k²=n(n+ 1)(2n+ 1) 6

2. 1 + 3 + 5 +....+ (2n−1) =n² 3. Σⁿ_k=1 1

(2k−1)(2k+ 1) = n 2n+ 1 Exercice:02(Somme et produit)

Ecrire en utilisant les symboles Π et Σ jusqu’`a l’ordre n des relations suivantes:

1. _1.2¹ +_2.3¹ +_3.4¹ ...

2. _1.2.2¹ 1 +_2.3.2² 2 +_3.4.2³ 3...

3. _sin(2x)¹ +_sin(3x¹ 2)+_sin(5x¹ 3)...

4. ê₁¹.ê₂².ê₃³...

Exercice:03(Contrˆole des connaissances)

1. La somme de deux suites divergentes est-elle n´ecessairement divergente ? 2. Le produit de deux suites divergentes peut-il donner une suite convergente

?

3. Si (Un) est une suite d´ecroissante et positive, a-t’on n´ecessairementlimUn = 0.?

Exercice:04(Nature d’une suite )

Etudier la nature des suites suivantes:(a,´ αdes r´eels ) 1. a)U_n=n−√

n²−n,b)U_n =

√n−1

√n+ 1 2. c)Un= nⁿ

n!, d)Un = (1 +^a_n)ⁿ 3. e)Un= cos(n.α)

n ,f)Un = 2ⁿ−3ⁿ Exercice:05(Encadrement)

Soit la suite num´erique (U_n) d´efinie parU_n= Σⁿ_k=0 ¹

n+√ k

En utilisant une encadrement convenable de Un d´eterminer la limite de cette suite.

Exercice:06(Th´eor`eme de convergence)

Soit la suite numérique (Un) définie parU0= 1et Un+1= U_n² 4 + 1 1. Démontrer par récurrence (Un) est croissante et majorée par 2.

2. Calculer alors sa limite.

(32)

Exercice:07

Soitθun réel de l’intervalle [0;^Π₂]. on considère la suite (Un) définie par:

U0= 2 cos(θ), Un+1=p 2 +Un

1. CalculerU₁,U₂en fonction deθ.

2. Montrer queUn= 2.cos(₂^θn), calculer sa limite.

Exercice:08

Montrer que les deux suites (U_n) , (V_n) d´efinies par:

U_n= Σⁿ_k=3 1

1 +k², et V_n =U_n+ 1 n− 1

2n² sont adjacentes.

Exercice:09

Soit la suite (Un) d´efinie:

U₀= 1, U_n+1=U_n.e^−Uⁿ

1. Montrer que cette suite est positive, d´ecroissante et qu’elle converge. Cal- culer sa limite.

2. SoitSn = Σⁿ_k=1Uk. Montrer que pour tout n,Un+1=e^−Sⁿ 3. D´eduire limite deSn.

Exercice:10(Point fixe)

En utilisant le théoreme du point fixe, montrer que la suite récurrente définie par

U_n+1=1

2.sin(U_n) est convergente.

Exercice:11(Equation de´ Leonardo de Pisa (1225)) On consid`ere la fonction

f(x) =x³+ 2x²+ 10x−20

1. Montrer que l’´equation f(x)=0 admet une racine r´eelle sur l’intervalle ]1; 2[

2. Montrer que l’équation f(x)=0 peut s’écrire F(x)=x où F(x) = 20

x²+ 2x+ 10 3. Montrer que|F⁰(x)|<1.pour x dans ]1; 2[.

4. En d´eduire que la suiteUn=F(U_n−1) est convergente, quelle est sa limite?

5. En prenantU0= 1, Calculer U1, U2, ...U24 `a laide d’un ordinateur.

Home-Work(+2 pts)

1.)Leonardo de Pisa a trouvé 1.368808107 a vous de trouverU30. 2.)Donnez le théorème du point fixe.

(33)

(ESGEN)5.2. CORRECTION DES EXERCICES SUR LES SUITES NUM ´Azoug.Slimane ERIQUES

5.2 Correction des exercices sur Les Suites Num´ eriques

**********************************************************************

Niveau: 1îeme année Exercice:01(Récurrence)

Montrer par r´ecurrence les relations suivantes:

1. Σⁿ_k=1k²=n(n+ 1) 2

2. 1 + 3 + 5 +....+ (2n−1) =n² 3. Σⁿ_k=1 1

(2k−1)(2k+ 1) = n 2n+ 1 Exercice:02(Somme et produit)

Ecrire en utilisant les symboles Π et Σ jusqu’`a l’ordre n des relations suivantes:

1. _1.2¹ +_2.3¹ +_3.4¹ ...

2. _1.2.2¹ 1 +_2.3.2² 2 +_3.4.2³ 3...

3. _sin(2x)¹ +_sin(3x¹ 2)+_sin(5x¹ 3)...

4. ê₁¹.ê₂².ê₃³...

Exercice:03(Contrˆole des connaissances)

1. La somme de deux suites divergentes est-elle n´ecessairement divergente ? 2. Le produit de deux suites divergentes peut-il donner une suite convergente

?

3. Si (Un) est une suite d´ecroissante et positive, a-t’on n´ecessairementlimUn = 0.?

Exercice:04(Nature d’une suite )

Etudier la nature des suites suivantes:(a,´ αdes r´eels ) 1. a)Un=n−√

n²−n,b)Un =

√n−1

√n+ 1 2. c)Un= nⁿ

n!, d)Un = (1 +^a_n)ⁿ 3. e)U_n= cos(n.α)

n ,f)U_n = 2ⁿ−3ⁿ Exercice:05(Encadrement)

Soit la suite num´erique (Un) d´efinie parUn= Σⁿ_k=0 ¹

n+√ k

En utilisant une encadrement convenable de Un d´eterminer la limite de cette suite.

Exercice:06(Th´eor`eme de convergence)

Soit la suite numérique (U_n) définie parU₀= 1et U_n+1= U_n² 4 + 1 1. Démontrer par récurrence (Un) est croissante et majorée par 2.

(34)

2. Calculer alors sa limite.

Exercice:07

Soitθun réel de l’intervalle [0;^Π₂]. on considère la suite (Un) définie par:

U0= 2 cos(θ), Un+1=p 2 +Un

1. CalculerU1,U2en fonction deθ.

2. Montrer queUn= 2.cos(₂^θn), calculer sa limite.

Exercice:08

Montrer que les deux suites (U_n) , (V_n) d´efinies par:

Un= Σⁿ_k=3 1

1 +k², et Vn =Un+ 1 n− 1

2n² sont adjacentes.

Exercice:09

Soit la suite (Un) d´efinie:

U₀= 1, U_n+1=U_n.e^−Uⁿ

1. Montrer que cette suite est positive, d´ecroissante et qu’elle converge. Cal- culer sa limite.

2. SoitSn = Σⁿ_k=1Uk. Montrer que pour tout n,Un+1=e^−Sⁿ 3. D´eduire limite deSn.

Exercice:10(Point fixe)

(Voir rappels) En utilisant le th´eoreme du point fixe,|f⁰(x)|=|(1/2).cos(x)|6 1/2 donc elle est contractante, de plus I = [0,1] ⊆[0,1],cette fonction admet un point fixe et la suite converge vers ce point fixe.

Exercice:11(Equation de´ Leonardo de Pisa (1225)) On consid`ere la fonction

f(x) =x³+ 2x²+ 10x−20

1. Montrer que l’´equation f(x)=0 admet une racine r´eelle sur l’intervalle ]1; 2[

2. Montrer que l’équation f(x)=0 peut s’écrire F(x)=x où F(x) = 20

x²+ 2x+ 10 3. Montrer que|F⁰(x)|<1.pour x dans ]1; 2[.

4. En d´eduire que la suiteUn=F(Un−1) est convergente, quelle est sa limite?

5. En prenantU₀= 1, Calculer U₁, U₂, ...U₂₄ `a laide d’un ordinateur.

Home-Work(+2 pts)

1.)Leonardo de Pisa a trouvé 1.368808107 a vous de trouverU30. 2.)Donnez le théorème du point fixe.

(35)

5.2.1 Exercices Sur Les Suites Num´ eriques(02)

**********************************************************************

Exercice n 01

Soit la suite numerique defini´e par:

U_n+2=−Un+1+ 2U_n avec|α|<1.et la donn´ee deU₀= 0, U₁= 3

• MontrerUn= 1−(−2)ⁿ.

• Ecrire ΣU´ n en fonction de n.

Exercice n 02

Soit la suite numerique defini´e par:

Un+1=α.Un+ 1 avec|α|<1.et la donn´ee deU0

• Ecrire´ U_n en fonction de n.

• D´eterminer la limite deU_n.

• U_n =V_n+a, déterminer a pour que (V_n)soit géométrique.

• Ecrire ΣV´ n en fonction de n, puis ΣVn.

(36)

S´ erie D’exercices sur les Fonctions ( 1 ann´ ees )(partie : 01)

Exercice n 01

D´eterminer le domaine de d´efinition des fonctions suivantes et leur limites aux bornes:

• f(x) =^x_x−2²⁻¹

• f(x) =^x_x²2⁻¹−a, a >0.

• f(x) =_x^x2²−16⁻¹

Exercice n 02

• f(x) =

√x−1 x−1

• f(x) =√

x²+x+ 1

• f(x) =

√x

√1−x Exercice n 03

• f(x) = ln(ln(x))

• f(x) =e^x−1 e^x+ 1

• f(x) =e¹^x x

• f(x) = ln(|x|) Exercice n 04

Calculer les limites en 0 des fonctions suivantes:

• f(x) =sin(2x) x

• f(x) =sin(2x) sin(3x)

• f(x) =tan(ax) sin(bx)

• f(x) =x−sin(ax) x+ sin(3x)

• f(x) = x² sin(πx)

(37)

• f(x) =x.sin(_x¹) Exercice n 05

Calculer foh et hof des fonctions suivantes et conclure.

• f(x) =x², h(x) = ln(x)

• f(x) =x², h(x) =e^x Exercice n 06

Donner la parit´e des fonctions suivantes:

• f(x) = e^x−1 e^x+ 1

• f(x) = 1 +x²+ cos(3x)

• f(x) =x+x³+ tan(2x)

• f(x) = x²+ sin²(x)

|x|+6

• f(x) = x² sin(πx)

• f(x) =x.sin(_x¹)

(38)

5.2.2 S´ erie D’exercices sur les Fonctions(partie : 02)

*************************************************************************

Exercice 1.(Domaine de d´efinition)

D´eterminer le domaine de definition de chacune des fonctions suivantes:

1. f1(x) =

r 1−x 4−x² 2.f₂(x) = ln(x²−3x+ 2) 3.f3(x) = ln(x²−3x+ 2)

|x²−3|

4.

f4(x) =







1

2−x si(x>0) x²−3x+ 2 si(x <0) Exercice 2.(hyperboliques et trigonom´etriques)

D´eterminer le domaine de d´efinition de chacune des fonctions suivantes:

1.f₂(x) = 5.sinh(x)−3.cosh 2.f₂(x) = _sinh(2x)^sinh(x)

3.f2(x) = 2.tanh(2x) 4.f2(x) = 3.cos³(x) 5.f2(x) =tan(x) Exercice 3.(Limites )

Calculer les limites des fonctions suivantes au pointx0: 1.limsin(ln(x)−1)

x−e ..x₀=e; lim_x^e₂^x_+x−6^−e² ..x₀= 2 2.lim

√2x+1−3

√x−2−√

2 ..x0= 4; lim√

x.sin(^√¹_x) ..x0= 0 3..lim^x_x⁵₃⁻¹₋₁ ..x₀= 1; lim^e_e^2x_3x^−e_−e²₂ ..x₀= +∞

4.lim^sin(ax)_sin(2x) ..x0= 0; lim^ln(e_x−e^3x⁻¹⁾ ..x0= +∞

5.limx.ln(^√_x^x₂₊₁) ..x0= +∞; lim

√1+x−√ 1−x

x ..x0= 0 6.lim^1−cos(x)_x₂ ..x₀= 0 ; lim(^x+1_x−e)^x ..x₀= +∞

Exercice 4.(continuit´e)

1 Etudier la continuit´e de la fonction f au point x0: f(x) =|x−1| x₀= 1 2 Etudier la continuit´e de la fonction f au point x0= 0:

f(x) =







x².cos(1

x) si(x6= 0) 0 si(x= 0) 3 Pour quelle valeur de a, f est-elle continue en 0 ?

f(x) =







√1 +x−√ 1−x

x si(x6= 0) 3a²−27 si(x= 0)

(39)

4 Pour quelles valeurs deα,β pour que f soit continue en 2 ? f(x) =

(x²+α.x−β si(x62) 2x+β si(x>2) Exercice 5.(Prolongement par continuit´e)

Les fonctions suivantes sont-elle prolongeable en 0?:

1.f5(x) =x.ln(|x|) 2.f5(x) =x−^|x|_x 3.f5(x) = sin(x).sin(¹_x) Exercice 6.(Inverse) Soit la fonction f d´efinie par:

f(x) =







x si(x <2) x² si(16x64) 8√

x si(x >4) 1.Tracer le graphe de f.

2.f est-elle continue sur R.

3.Montrer que f admet une fonction r´eciproquef⁻¹dont on donnera l’expression.

Exercice 7.(Inverse) Soit la fonction f d´efinie par:

f(x) = x 1+|x| 2.Montrer que f r´ealise une bijection de R sur f(R) 3. D´eterminer f(R) etf⁻¹.

Exercice 8.

Soit une fonction f de [a, b] dans R continue, telle que f(a)=f(b).

Montrer que la fonction g d´efinie par g(t) =f(t+b−a

2 )−f(t) s’annule en aumoin un point c de [a,^a+b₂ ].

(40)

5.2.3 S´ erie d’Exercice sur les int´ egrales

Int´egrales(1 AU )

*************************************************************

Exercice 1.(les puissances)

Calculer les primitives des fonctions suivantes:

1. f1(x) = 5.x⁴−3.x²+ 6.x−7 2.f1(x) = 5.√

x³−3.√

x.x²+ 6. 1

√x 3.f1(x) = 5. 1

x² −3.x²

√x+ 6.^√^x³

x³

Exercice 2.(trigonom´etriques)

1.f2(x) = 5.sin(x)−3.cos(x)−7 2.f2(x) = 2.sin(3x)−3.cos(2x) 3.f2(x) = 2.sin²(x)

4.f2(x) = 3.cos³(x) 5.f2(x) =tan(x)

Exercice 3.(changement de variable) Calculer les int´egrales suivantes:

1.R sin(ln(x)) x .dx 2.R _1+e

√x

√x .dx 3.R _e^x

1+e^x.dx 4.R 1

x.√

ln(_x¹).dx 5.R

e^xln(1 +e^x).dx

avec les changements (t=ln(x), t=√

x, t=e^x, t=ln(1/x), t= 1 +e^x) Exercice 4.

(formules) Calculer les primitives des fonctions suivantes:

1.f4(x) = (3 +x)⁷ 2.f4(x) = (4x+ 3)^1/3 3.f4(x) = 2^2x.3^x 4.f4(x) =x.e^x² Exercice 5.

(int´egrations p.p) Calculer les primitives des fonctions suivantes:

1.f5(x) =x.ln(x) 2.f5(x) =arctan(x) 3.f5(x) =x.cos(x) 4.f5(x) =ln²(x) 5.f₅(x) =cos(x).e^x Exercice 6.(fractions)

1.f₅(x) = _x₂^5x+3_−3x+2 2.f5(x) = _x2+4x+5¹

3.f₅(x) = _x₃¹₊₁ 4.f5(x) = ^2x−3_x3+x

Exercice 7.

(41)

Pour tout entier n , on pose : In=

Z 1 0

xⁿ.√

1−x.dx

1. en calculantI_n−1−I_n deduire une relation entre I_n−I_n−1 2. calculerI0

3. DeduireIn.

(42)

5.3 Exercices d’examens

Exercice:01

Resoudre dans R l’inequation suivante:

|3x−2|+|2x+ 1|>21 Exercice:02

Calculer les deriv´ees des fonctions suivantes:

• Resoudre dans R l’inequation 2x−1

x−3 > 2x x−4

• Montrer que pour tous r´eels a, b strictement positif:

2ab a+b 6√

ab6 a+b 2 Exercice:03

Determiner Sup, Inf, Max, Min ( Lorsqu’ils existent) des ensembles suivants:

• A={(−1)ⁿ.a+ b

n, n∈N^∗}

• A={ n

3n+ 1, n∈N}

Exercice:04

Calculer les limites suivantes:

• lim

x→0

sin(x)−x cos²(x)−1

• lim

x→0 e^2x−1 sin²(x)−x

Exercice:05

Calculer les deriv´ees des fonctions suivantes:

• ln(^e_e^xx⁻¹+1)

• ln(arcsin(x)) Exercice:06

Ecrire les dls des fonctions suivantes en 0.

• ln(x+ 2) d’ordre 3.

• exp(x) d’ordre 5.

1 SupportCoursd’AnalyseMathématiquede 1 annéePréparatoire ( ESGEN )

Support Cours d’Analyse Math´ ematique de 1

ann´ ee Pr´ eparatoire

Contents

0.1 Les termes ` a apprendre

Chapter 1

Les Nombres r´ eels

1.1 Les ensembles

1.1.1 Op´ erations dans R

1.1.2 Les quatorze axiomes dans R

1.1.3 Les identit´ es remarquables

1.1.4 La Valeur Absolue

1.1.5 La racine carr´ e

1.1.6 La Borne Sup´ erieure

1.1.7 Partie enti` ere d’un r´ eel

Chapter 2

Les Suites Num´ eriques

2.0.8 D´ efinition

2.0.9 Monotonie d’une suite

2.0.10 Suite major´ ee, minor´ ee, born´ ee

2.0.11 Limite d’une suite

2.0.12 Proposition(Unicit´ e)

2.0.13 Propri´ et´ es

2.0.14 Proposition

2.0.15 Th´ eor` eme de la convergence monotone

2.0.16 Th´ eor` eme d’encadrement:

2.0.17 D´ efinition Suite extraite ou sous-suite

2.0.18 D´ efinition Suites adjacentes

2.0.19 Suite arithm´ etique

2.0.20 Suite g´ eom´ etrique

2.0.21 D´ efinition Suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique

2.0.22 Convergence d’une suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique

2.0.23 D´ efinition Suite r´ ecurrente lin´ eaire d’ordre deux

2.0.24 Ecriture du terme g´ ´ en´ eral d’une suite r´ ecurrente lin´ eaire d’ordre deux

Chapter 3

Les Fonctions r´ eelles a variable r´ eelle

3.1 Polynˆ omes de Taylor

Chapter 4

Int´ egrales

4.1 Primitives

4.2 Proprietes

4.3 Calcul des primitives

4.4 Int´ egrales d´ efinies

4.4.1 Interpr´ etation g´ eom´ etrique

4.4.2 Propri´ et´ e

Chapter 5

S´ eries D’exercices

5.0.3 S´ erie d’Exercice sur les nombres r´ eels

5.0.4 Correction des exercice sur les nombres r´ eels

5.1 S´ erie D’exercices sur Les Suites Num´ eriques

5.2 Correction des exercices sur Les Suites Num´ eriques

5.2.1 Exercices Sur Les Suites Num´ eriques(02)

S´ erie D’exercices sur les Fonctions ( 1 ann´ ees )(partie : 01)

5.2.2 S´ erie D’exercices sur les Fonctions(partie : 02)

5.2.3 S´ erie d’Exercice sur les int´ egrales

5.3 Exercices d’examens