A342 – Les deux francs-tireurs [*** à la main et avec l’aide d’un tableur]
Q₁ On considère 120 entiers naturels positifs distincts ≤ 200. Montrer que parmi les
différences entre le plus grand et le plus petit de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers < 60 à l’exception d’un entier appelé « franc-tireur » que l’on déterminera.
Q₂ On considère n entiers naturels positifs distincts ≤ 2014. Parmi les différences entre le plus grand et le plus petit de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers ≤ 60 à l’exclusion de l’entier « franc-tireur » 49. Déterminer n.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
On peut voir la faisabilité de chaque différence k étudiée en essayant de ne pas utiliser la différence k.
On représente les 120 entiers en constituant des groupes de k séparés par des gaps de k, excluant ainsi les différences nulles modulo k.
Si la construction est impossible, on est certain de trouver la différence k.
Pour k ≤ 39, un tel arrangement ne permet pas de placer 120 entiers dans l'intervalle [1, 200]
car il y a suffisamment de groupes, donc de gaps, pour encombrer le terrain.
On est certain de trouver les différences k de 1 à 39.
Pour k = 40, on compte 3 groupes de 40 séparés par 2 gaps de 40, le tout ne dépassant pas 200. La construction est possible.
On n'est pas certain de trouver la différence 40.
Le franc tireur est 40 .
Pour 41 ≤ k ≤ 59, il faut 2 gaps ≥ 41, il est impossible de placer 120 entiers.
On est certain de trouver les différences k de 40 à 59.
Pour k ≥ 60, on peut se contenter d'un seul gap de 60. La construction est possible.
On n'est pas certain de trouver la différence k.
Q2
Construisons sur tableur, sur le modèle des groupes de k et gaps de k décrit précédemment, le tableau des nombres maximaux d'entiers plaçables pour toutes les valeurs de la différence k comprises entre 1 et 60.
On constate que ce nombre maximum est :
1029 pour k=49 doit convenir pour n pour que 49 soit franc tireur 1028 pour k=58 ne doit pas convenir sinon 58 serait franc tireur
<1028 dans tous les autres cas n=1029
