A342 – Les deux francs-tireurs [*** à la main et avec l’aide d’un tableur]
Q₁ On considère 120 entiers naturels positifs distincts ≤ 200. Montrer que parmi les différences de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers < 60 à l’exception d’un entier franc-tireur que l’on déterminera.
Q₂ On considère n entiers naturels positifs distincts ≤ 2014. Parmi les différences de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers ≤ 60 à l’exclusion du franc-tireur 49. Déterminer la plus petite valeur possible de n
Solution proposée par Bernard Vignes
Soient n entiers entiers naturels positifs distincts qui font partie de l’ensemble des entiers naturels 1,2,...,N. Est-il possible de les choisir de telle sorte qu’il existe au moins un entier x >
0 - appelé franc-tireur - tel que les différences des n entiers pris 2 à 2 ne donnent jamais x ? Sur l’intervalle [1,2x], les entiers 1,2,..,x sont tels que les différences de ces entiers pris 2 à 2 ne sont jamais égales à x. On définit alors p intervalles (voir diagramme ci-après), chacun de longueur 2x, avec p = Ent(N/2x] ,Ent[Z] désignant la partie entière par défaut de Z à
l’intérieur des desquels on choisit px entiers de la manière suivante: un premier sous- ensemble : 1,2,..x, puis un 2ème sous-ensemble : 2x+1,2x+2,...3x, puis un 3ème :
4x+1,4x+2,....5x,....et enfin le pième : (2p-2)x+1,...(2p-1)x). Les différences de ces entiers pris 2 à 2 ne sont jamais égales à x.
… …. …. … ….
1 2 …. x 2x+1 … 3x (2p-2)x+1 (2p-1)x e = N - 2px
x+1…. 2x 3x+1… 4x …. …. …. (2p-1)x + 1.. 2px
n entiers choisis entre 1 et N. x = entier franc-tireur Intervalle [1 ,N]
On calcule les deux paramètres d = n – px et e = N – 2px.
d est le nombre d’entiers qui restent à choisir. Si d est négatif, x est évidemment un franc- tireur.
e est l’intervalle résiduel de l’intervalle [1,N] une fois qu’on a placé les p intervalles de longueur 2x. La longueur de e est < 2x.
x est franc-tireur si les deux inégalités d ≤ e et d ≤ x sont satisfaites.
En effet si d > e, il reste d – e entiers à choisir et d’après le principe des tiroirs, ils
appartiennent à un ou plusieurs « tiroirs » jaunes.Dès lors il y a au moins deux entiers dont la différence est égale à x. Si d > x, on peut éventuellement placer x entiers dans un (p+1)ème
« tiroir » vert mais il reste d- x entiers qui se trouvent nécessairement dans un ou plusieurs
« tiroirs » jaunes.
Les deux inégalités peuvent s’exprimer sous la forme n – x ≤ px ≤ N– n (DI) avec p = Ent(N/2x] .
N et n étant donnés, en testant à l’aide d’un tableur les entiers 1,2,.... d’un certain intervalle (I) qui respectent (DI), on identifie immédiatement tous les entiers francs-tireurs de cet
intervalle.
Q₁
Par hypothèse N = 200 et n = 120.
Exemple: N = 100 et n = 55
Tableau des francs-tireurs (*) compris entre 1 et 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
* * * * *
On a 120 – x ≤ x*ent[100/x] ≤ 80. On en déduit x ≥ 40. La valeur 40 convient avec
x*ent[100/x]=40*2=80. A l’inverse les valeurs comprises entre 41 et 50 inclus ne conviennent pas car ent[100/x] = 2 et x*ent[100/x] > 80. De même les valeurs comprises entre 51 et 60 ne conviennent pas car ent[100/x]= 1 et 120 – x ≤ x implique x≥60. Contradiction.
Conclusion : x = 40 est l’unique franc-tireur compris entre 1 et 60 exclu. On vérifie que x
= 60 est également franc-tireur car 120 – 60 ≤ 60*1 ≤ 80.
Q₂
Par hypothèse N = 2014 et x = 49 est l’unique franc-tireur de l’intérieur[1,60].
On p = Ent(N/2x] = 20. D’où (DI) : n – 49 ≤ 980 ≤ 2014 – n. On en déduit n ≤ 1029. La plus petite valeur possible de n est donc 1029.
On vérifie que pour cette valeur de n, 49 est l’unique franc-tireur de l’intervalle [1,60]. On a 1029 – x ≤ x*ent[1007/x] ≤ 985. Comme 1029 – x ≤ 985, on a x ≥ 44. Pour 44 ≤x <49, on a 1029 – x > x*ent[1007/x] et pour 50 ≤ x ≤ 59 on a x*ent[1007/x] > 985.Enfin pour x = 60,on a 1029 – x = 969 > 60*16 = 960. On vérifie que x = 61 est franc-tireur car 1029 – 61 = 964 ≤ 61*16 = 976 ≤ 985.
Conclusion : n = 1029.
