Classe de quatrième Triangle rectangle et cercle
I- Cercle circonscrit et triangle rectangle
Propriété :
Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=3 cm et BC=4 cm.
Démontre que le milieu de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Données : ABC est un triangle rectangle en B.
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.
Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour diamètre le segment [AB].
Donc le milieu de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Propriété :
Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
II- Médiane et triangle rectangle
Définition :
Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Propriété :
Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Exemple :
MOT est un triangle rectangle en O telle que MO=5 cm et MT= 7 cm.
S est le milieu de [MT]. Calcule la longueur du segment [OS].
Dans le triangle MOT, S est le milieu du côté [MT]. Donc le segment [OS] est la médiane de MOT issue de O.
Données : Le triangle MOT est rectangle en O.
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Conclusion : OS=1
2 MT=1
2×7=3,5 .
O
M T
Propriété :
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.
III- Triangle inscrit et cercle
Propriété :
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.
Exemple :
(C) est un cercle de diamètre [TR] tel que TR=7 cm. I est un point du cercle (C) tel que
TRI=60° . Démontre que TRI est rectangle en R.
Données : Le point I appartient au cercle de diamètre [TR].
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.
Conclusion : Le triangle TRI est rectangle en I.
