I- Cercle circonscrit et triangle rectanglePropriété :

Classe de quatrième Triangle rectangle et cercle

I- Cercle circonscrit et triangle rectangle

Propriété :

Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=3 cm et BC=4 cm.

Démontre que le milieu de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Données : ABC est un triangle rectangle en B.

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.

Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour diamètre le segment [AB].

Donc le milieu de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Propriété :

Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.

II- Médiane et triangle rectangle

Définition :

Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété :

Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Exemple :

MOT est un triangle rectangle en O telle que MO=5 cm et MT= 7 cm.

S est le milieu de [MT]. Calcule la longueur du segment [OS].

Dans le triangle MOT, S est le milieu du côté [MT]. Donc le segment [OS] est la médiane de MOT issue de O.

Données : Le triangle MOT est rectangle en O.

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Conclusion : OS=1

2 MT=1

2×7=3,5 .

O

M T

Propriété :

Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.

III- Triangle inscrit et cercle

Propriété :

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.

Exemple :

(C) est un cercle de diamètre [TR] tel que TR=7 cm. I est un point du cercle (C) tel que

TRI=60° . Démontre que TRI est rectangle en R.

Données : Le point I appartient au cercle de diamètre [TR].

Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.

Conclusion : Le triangle TRI est rectangle en I.