Inégalités triangulaires
Problème E6901 de Diophante
proposé par Pierre JULLIEN
Soit un triangle ABC dont les dimensions des côtés AB = c, AC = b et BC = a sont classées dans l'ordre croissant: c ≤ b ≤ a avec a < b + c. L'indice d'inégalité I de ce triangle est le plus petit des deux rapports b/c et a/b : I = min{b/c, a/b}.
Plus I est petit et proche de 1, plus le triangle se rapproche d'un triangle isocèle avec au moins deux côtés de dimensions très proches. A l'inverse, plus I est grand, plus le triangle peut être considéré comme "inégal", en d'autres termes le "moins isocèle possible".
Q1 - Déterminer la valeur plafond de I.
Q2 - Construire le triangle le plus inégal possible tel que le plus grand côté BC est égal à 10 cm et la hauteur issue de A est égale à 1 cm.
Solution
Soit c ≤ b ≤ a les longueurs des côtés d’un triangle ABC. Il s’agit de maximiser le plus petit des deux rapports a/b et b/c, sachant que a < b+c.
Notons x = a/b et y = b/c. Dans le plan 0xy, les contraintes sont : x ≥ 1 ; y ≥ 1 et y+1 > xy.
Il s’agit de déterminer où min(x,y) est maximum.
Ci-dessus, le nuage de points bleus correspond au tirage au sort de 10 000 triangles (non-aplatis) représentés par un couple (x,y).
La ligne verte est la ligne de niveau min(x,y) = 1,5 .
Le maximum de min(x,y) est atteint au point Z, qui est l’image d’un triangle virtuel aplati pour lequel x = y = phi (nombre d’or).
La valeur plafond de I est (1+√5)/2 et n’est jamais atteinte.
Ci-dessous, il s’agit de trouver la longueur x de AN tel que BC/AC = AC/AB , avec MB =MC =5 et MN =1.
Soit AC*AC = 1+(5+x)2 = 10 * √( 1+(5-x)2) = BC*AB
Cette équation, mise sous forme polynomiale, est du quatrième degré. Nous avons peu de chance de trouver une solution purement géométrique.
Avec un tableur, par approximation, on trouve x = 1,19337245303 ...
Alors AC = 6.27358448910 ... et AB = 3.93578623420 ...
BC/AC = AC/AB = 1.59398506824 ...
