G10390. Un paradoxe de plus

G10390. Un paradoxe de plus

Quelle est la probabilité qu’une corde d’un cercle prise au hasard soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? Il n’y a pas qu’une réponse à cette question posée par Joseph Bertrand, car que prend-on au hasard (sous-entendant avec densité de probabilité uniforme) ? Les extrémités de la corde sur la circonférence, de façon indépendante ? Le milieu de la corde dans le cercle ? La distance du centre du cercle à la corde, entre 0 et le rayon ?

Michel Dorrer propose d’étudier un quatrième mode d’intervention du ha- sard.

Sur un cercle de rayon 1, on laisse tomber des baguettes de longueur >4, considérant que le centre de la baguette est uniformément distribué dans le cercle unité, et que l’angle de la baguette par rapport à une direction fixe est aléatoire avec une densité uniforme. La baguette définit une corde et Michel Dorrer demande la probabilité que la longueur de cette corde soit supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit.

Solution

La corde de Michel Dorrer dépasse √

3 si le centre C de la baguette est à distance < 1/2 du diamètre parallèle à la baguette. Supposant sa di- rection fixée, l’aire permise à C se décompose en deux secteurs circulaires d’angle 60° (1/3 du disque unité) et deux triangles à deux côtés 1 séparés par 120° (aire totale √

3/2, soit √

3/(2π) du disque unité). D’où la probabilité 1/3 +√

3/(2π) = 0,608897781044. . . qui ne dépend pas de la direction de la baguette et vaut donc pour tout le processus.

Pour les trois modes évoqués par Joseph Bertrand, voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand