Alg`ebre T.D.num´ero9

T.D. num´ ero 9

Alg`ebre

E.N.S. Ulm, L3, 2000–2003 Univ. Paris-Sud, M1, 2004–2007 St´ephane Fischler

Exercice 1 Soient p et q deux nombres premiers distincts, et G un groupe d’ordre pq². Montrer queGn’est pas simple. (Indication : on pourra proc´eder comme suit, en utilisant les th´eor`emes de Sylow. Traiter d’abord le cas o`up < q. Ensuite, en supposantq < p, d´emontrer que siGest simple alorsGadmetq² p-sylows, et conclure en comptant les ´el´ements de chaque ordre).

Exercice 2 SoitG un groupe simple, de cardinal nsup´erieur ou ´egal `a 3.

1. Montrer que nest diff´erent de 40.

2. Pour tout facteur premier p de n, notons N_p le nombre dep-sylows de G. On suppose que nn’est pas premier. Montrer qu’on a n≤N_p! pour toutp, et en d´eduire que nest diff´erent de 24.

3. En consid´erant le nombre d’´el´ements de G ayant un ordre donn´e, montrer que n est diff´erent de 56.

4. On suppose quenest pair. D´emontrer quenest divisible par 4. (Indication : on pourra consid´erer l’action surGd’un 2-sylowS de G, par translation `a gauche. En explicitant la permutation de G ainsi associ´ee `a un ´eventuel g´en´erateur de S, d´emontrer queS ne peut pas ˆetre cyclique. En d´eduire le r´esultat.)

On peut d´emontrer, `a l’aide de cet exercice, que tout groupe simple d’ordrenstrictement inf´erieur `a 60 est cyclique, et que son ordre est premier. En effet, tout entiern <60qui n’est pas premier s’´ecrit p^k, pq, pq² ou 4k−2 (o`u pet q sont des nombres premiers distincts et k est un entier sup´erieur ou

´egal `a 2), except´e 24, 36, 40, 48 et 56. Pourn= 36et n= 48, un raisonnement analogue `a celui de la question 2. s’applique. Pourn= 60, on a le groupe altern´eA5qui est simple.

Exercice 3 SoientH etN deux groupes, φetψdeux morphismes deH dans Aut(N). On se propose de trouver des conditions suffisantes pour que les produits semi-directsNoφH et NoψH d´eduits de ces morphismes soient isomorphes.

1. Supposons qu’il existe un automorphisme α de H tel que ψ = φ◦α. Montrer que N oφH etN oψ H sont isomorphes.

2. Supposons qu’il existe un automorphisme u de N tel que, pour tout h ∈ H, on ait φ(h) =u◦ψ(h)◦u⁻¹. Montrer queN oφH etNoψH sont isomorphes.

Exercice 4 On pose V =Z/2Z×Z/2Z (ce groupe s’appelle le groupe de Klein). Montrer qu’il existe des produits semi-directs non triviauxV o Z/3Z, et qu’ils sont tous isomorphes.

Mˆeme question avec les produits semi-directsZ/3Z o Z/4ZetZ/3Z oV.

Exercice 5 Soit p un nombre premier impair. Combien y a-t-il de produits semi-directs (deux `a deux non isomorphes)Z/p²Z o Z/pZ? Mˆeme question pour les produits semi-directs

1

(Z/pZ)² o Z/pZ; dans ce deuxi`eme cas, on pourra utiliser les sous-groupes de Sylow pour

´etudier la structure de Aut((Z/pZ)²) = GL2(Z/pZ).

Exercice 6 Soit G un groupe simple d’ordre 60. Le but de cet exercice est de d´emontrer queGest isomorphe au groupe altern´e A₅.

1. D´emontrer queGadmet six 5-sylows.

2. En utilisant la question pr´ec´edente, trouver un sous-groupe G⁰ du groupe altern´e A₆, d’indice 6, qui soit isomorphe `aG.

3. En faisant agir G⁰ sur le quotientA₆/G⁰, plongerG⁰ dans le groupe sym´etriqueS₅. 4. Conclure.

Probl`eme 1 Soient H et N deux groupes. On suppose que N est ab´elien, et que H agit surN par automorphismes; cette action est not´ee (h, n)7→h·n. On note additivement la loi deN, et multiplicativement celle de H. On d´efinit des applications∂₀,∂₁ et∂₂ :

N −→^∂0 N^H −→^∂1 N^H×H −→^∂2 N^H×H×H

En g´en´eral, il ne s’agit pas d’une suite exacte. Les morphismes de groupes ab´eliens∂₀,∂₁ et

∂2 sont d´efinis comme suit, pourh0, h1, h2 ∈H,n∈N,ε∈N^H etz∈N^H×H : (∂₀(n))(h₀) = h₀·n−n

(∂₁(ε))(h₀, h₁) = h₀·ε(h₁)−ε(h₀h₁) +ε(h₀)

(∂₂(z))(h₀, h₁, h₂) = h₀·z(h₁, h₂)−z(h₀h₁, h₂) +z(h₀, h₁h₂)−z(h₀, h₁)

Pouri∈ {1,2}, on dit queφ∈N^Hi est uni-cocycle si∂i(φ) = 0; on dit queφest uni-cobord si il existeψ∈N^Hi−1 tel queφ=∂i−1(ψ). On dit qu’un cocycle φ∈N^Hi est trivial si, pour touth∈Hⁱ,φ(h) est l’´el´ement neutre de N.

1. V´erifier qu’on a∂₂◦∂₁= 0 et∂₁◦∂₀ = 0.

Ce r´esultat implique que tout i-cobord est un i-cocycle. On note Zⁱ le groupe (ab´elien) des i-cocycles, Bⁱ celui desi-cobords, etHⁱ =Zⁱ/Bⁱ leur quotient, qui s’appelle le i-`eme groupe de cohomologie pour l’action deH sur N.

Soit maintenantG un groupe admettant un sous-groupe distingu´e ab´elienN. En notant H =G/N, on dit Gest une extension deH parN car on a la suite exacte suivante:

1→N →G→H →1 (∗)

2. Montrer que la loi de G induit une action deH sur N par automorphismes (bien sˆur, l’hypoth`ese selon laquelleN est ab´elien est cruciale ici, puisqu’on ne s’est pas donn´e de section).

On peut alors parler des groupes de cohomologie H¹ etH² associ´es `a l’action deH sur N.

On fixe un syst`eme H de repr´esentants deH =G/N dansG. On ne suppose pas queH est un sous-groupe deG.

2

3. Constuire, `a partir de la loi de Get du choix de H, un 2-cocyclez qui soit trivial si, et seulement si,H est un sous-groupe de G.

4. Montrer que changer le choix de H correspond `a ajouter `a z un 2-cobord.

5. Montrer que la suite exacte (∗) admet une section si, et seulement si,zest un 2-cobord.

6. On suppose maintenant que z est un 2-cobord. Montrer que les sous-groupes H qui rel`eventH sont en bijection avec les ´el´ementsε∈N<sup>H</sup> tels que ∂<sub>1</sub>(ε) =z. Montrer que deux sous-groupes qui rel`eventH sont conjugu´es dansGsi, et seulement si, les ´el´ements de N^H associ´es diff`erent par un 1-cobord.

On consid`ere de nouveau, comme au d´ebut du probl`eme, deux groupesH etN (en supposant toujours que H agit surN par automorphismes et que N est ab´elien).

8. Montrer qu’`a tout 2-cocyclezon peut associer une loi de groupe sur le produit cart´esien (ensembliste) N ×H, de mani`ere `a d´efinir une r´eciproque de la construction de la question 3 (en choisissant H={1} ×H).

Pour tout entier naturel i, on peut d´efinir un morphisme de groupes ∂_i :N^Hi → N^Hi+1 en posant, pourφ∈N^Hi eth0, . . . , hi ∈H :

(∂_i(φ))(h₀, . . . , h_i) =h₀·φ(h₁, . . . , h_i) +

i−1

X

k=0

(−1)^k+1φ(h₀, . . . , hk−1, h_kh_k+1, h_k+2, . . . , h_i) + (−1)ⁱ⁺¹φ(h₀, . . . , hi−1) On d´efinit Zⁱ,Bⁱ etHⁱ pour touti≥1 comme pour i= 1 eti= 2.

9. On suppose que N etH finis, et que leurs ordres sont premiers entre eux. Montrer que Hⁱ ={0}pour touti≥1 (ce qui d´emontre que dans ce cas, toute extension deH parN est un produit semi-direct). Pour cela, ´etant donn´e uni-cocyclez, on pourra consid´erer λε pour λ∈Z bien choisi etεdonn´e par la formule suivante :

ε(h0, . . . , hi−1) = X

x∈H

z(h0, . . . , hi−1, x)

10. Consid´erons l’unique action non triviale de H = Z/2Z sur N =Z/4Z. Le groupe H² est-il r´eduit `a{0}? Quel est le cardinal du groupe H¹ ?

On dit que le groupeH² classifie les extensions deH parN; celles qui sont des produits semi-directs correspondent `a 0 dans le groupe H<sup>2</sup>. Quant au groupe H<sup>1</sup>, il classifie (`a conjugaison pr`es) les rel`evements deH en un sous-groupe de G, lorsque Gest un produit semi-direct.

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