D2919. Le pentagone passe la main au parallélogramme MB
On considère un pentagone convexe ABCDE avec les égalités d’angles BCD = ADE d’une part et BDC = AED d’autre part.
Le cercle circonscrit au triangle CDE rencontre les droites [DA] et [DB] pour la deuxième fois aux points P et Q respectivement. Les droites [CP] et [EQ] se rencontrent au point X.
Démontrer que le quadrilatère ADBX est un parallélogramme.
Comme P,Q,C,D,E sont sur un même cercle, on suppose que ce cercle est le cercle unité. Leurs affixes sont les nombres complexes p,q,c,d,e, tous de module un. Les affixes de A,B,X sont a, b, x.
Les triangles BCD et ADE sont semblables, ce qui se traduit par (e-a)(c-b) = (d-a)(d-b) d'où on tire b = (a(c−d)−ce+d2)
(d−e) pareillement a = (b(c−d)−ce+d2) (d−e)
Le point symétrique de D par rapport au milieu de AB, appelons le X, a pour affixe x = a+b – d = a+ (a(c−d)−ce+d2)
(d−e) – d = (a(c−e)−e(c−d))
(d−c) ou encore x = a+b – d = (b(c−d)−ce+d2)
(d−e) + b – d = (b(c−e)+c(e−d)) (c−d)
On va montrer que ce point ( 4ième sommet du parallélogramme ADBX ) est à la fois sur CP et EQ P,A,D sont alignés donc (p−d)
(a−d) est réel : (p−d)
(a−d) = (1/p−1/d)
( ̄a−1/d) d'où p = (d−a) (d̄a−1) Q,B,D sont alignés donc (q−d)
(b−d) est réel d'où q = (d−b) (d̄b−1) On vérifie que C, P, X sont alignés, que (x−c)
(p−c) est réel c'est à dire égal à son conjugué.
(x−c)
(p−c) = [ (a(c−e)−e(c−d))
(d−c) – c ] / [ (d−a)
(d̄a−1) – c ] = ((1−d̄a)(c−e)(a−d)) ((a+c(d̄a−1)−d)(d−e)) Cette expression est invariante quand on remplace c, d, e par leurs inverses, a par̄a , et̄a par a , elle est bien réelle, C,P, X sont alignés.
On vérifie que E, Q, X sont alignés, que (x−e)
(q−e) est réel c'est à dire égal à son conjugué.
(x−e)
(q−e) = [ (b(c−e)+c(e−d))
(c−d) – e ] / [ (d−b)
(d̄b−1) – e ] = ((1−d̄b)(c−e)(b−d)) ((b+d(ēb−1)−e)(c−d)) Cette expression est invariante quand on remplace c, d, e par leurs inverses, b par̄b , et̄b par b , elle est bien réelle, E, Q, X sont alignés.
Le 4ème sommet X, du parallélogramme ADBX est bien confondu avec l'intersection des droites CP et QE
