  un , la suite définie par :

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Série n°8 sur « les suites numériques » 1ére Bac Sc.Exp

3 - Récurrence et variation d'une suite Exercice 1

Soit

  u

n , la suite définie par :

 

1

0

0 3 4

IN

n n

u u

n



u



 

 

 



1. Montrer que :



^{ n IN}



^;

⁰  u

n

 ⁴

2. En déduire le sens de variation de

 

un . Correction

1. Montrons par récurrence que:



^{ n IN}



^;

⁰  u

n

 ⁴

Pour n0

On a :

u

₀

 0

donc :

0  u

₀

 4

Ainsi, la propriété est vraie pourn0.

• Soit nIN, supposons que

0  u

_n

 4

et montrons que

0  u

_n1

 4

. On a :

0  u

_n

    4 0 4 3 u

_n

  4 3 4   4

¹

1 1

4 3 4 16

2 4

2 4

4 0

0

n n n

n

u u

u u













  

 













Ainsi, la propriété est vraie pourn1 , Conclusion :

On a montré par récurrence que :



^{ n IN}



^;

⁰  u

n

 ⁴

2. Sens de variation de la suite

 

un _:

Soit nIN,

on a :

  

 

1 1

1

1

n n n n

n n

n n

u u u u

u u

u u

 





 

 



 

 

 

 

2 2

1 1

2 2

1

1

1

3 4

3 4

2 4

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

n n

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u

u u











 



 

 

  



 



et comme :

u

_n

 0

alors



1



2 4

n

0

n n

u u

_

u

 



c'est-à-dire :

u

_n1

  u

_n

0

. Ainsi :

 

un est croissante.

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 1 Déterminer le terme général d'une suite géométrique

Exercice 2

Soit

 

un une suite géométrique non constante telle que :

u

₀

 5

et

3 u

₁

  u

₀

2 u

₂. Déterminer

u

_n en fonction de n.

Correction

Soit q la raison de cette suite.

Comme

  u

n n'est pas une suite constante, alors:

q  0

et

q  1

, et comme : u₂ q u² ₀et

u

₂

 q u .

₀, alors :

3 u

₁

  u

₀

2 u

₂s'écrit : 3 .q u₀ u₀ 2q u². ₀ ; en simplifiant par

u

₀en obtient :

3 q   1 2 q

² Soit ; ^{2q23q 1}



^2q1



^{q 1}



^0.

D'où :

q  1

ou

1

q  2

:- et comme

q  0

, alors :

1 q  2

.

Donc : ₀

1

₀

2

n n

u

n

 q u         u

^{pour tout nIN.}

2 Utiliser une suite géométrique Exercice 2

Soit

 

un la suite définie par :

 

1

0

1 2 +1

I

3 N

n n

u u

u



n



 

 

 



^.

On pose :

v

_n

  u

_n

3

; pour tout nIN.

1. Montrer que

 

vn est une suite géométrique de raison 3.

2. Déterminer

v

_n et un en fonction de n.

3. Calculer en fonction de n, la somme :

S

_n

     u

₀

u

₁

u

₂

... u

_n . Correction

1. Soit nIN, on a :

v

_n1

 u

_n1

 3

 

= 2 +1 3 3

= 2 2 3

= 2 3 3

= 2 3

n

n

n

n

u u u v







Donc

 

vn est une suite géométrique de raison

2

q  3

et de premier terme :

v

₀

    u

₀

3 2

. 2. On a:

1 0

2 2 2

3 2 3 3

n n n

v

n

v

     



           

     

pour tout nINet comme

v

_n

  u

_n

3

;alors :

2

1

3= 3

3

n

n n

u v

 



       

pour tout nIN. Conclusion :

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 pour tout nIN

2

1

3

n

v

n

 



    

^et

2

1

3 3

n

u

n

 



    

 

3. On a:

u

_n

  v

_n

3

pour tout nIN.

Donc :

S

_n

      u

₀

u

₁

u

₂

... u

_n

S

_n

         v

₀

3 v

₁

3 v

₂

3 ... v

_n

3

S_n      v0 v1 v2 ... v_n 3



n1



Comme

 

vn est une suite géométrique de raison

2

q  3

;alors :

1

1

0 1 2 0

1 2 3 2

... 6 1

2 3

1 3

n

n

v v v v

n

v



 



        

                  

D’où :

^{2 1 2}

¹

³  ¹ 

3

n

S

n

n

  





              