de AB:..6 et

Leçon 27 Théorème de sinus

Activités

l.

Soit

ABC

un triangle rectangle en C

de AB:..6 et

AC

=l

On a: sin2:K sinB:K

---: BC =l\

sin

I

--- AC = l\

sin _^8

On considère un triangle

ABC

tel que centre O.

l"'

^cas

^:

^{Le centre O est à}

l'intérieur

du

Ona:

C

2.

BC: a, AC =b

et

triangle.

AII =c

^{et un cercle de}

a=2xBQ:2xKK a-=KK

sinl

2" cas : Le centre O est sur un côté du triangle.

On

a:

t

3" cas : Le centre O A

a=2xRF sin2 =KK

n

-

^

=KK sinl

est à

l'extériew

du triangle

a.

=2x BQ:2 ^xK K

f,

": _=KK

sin

I

MathématiqteC4-124

Conclusion : Pour tous les cas. on obtient

-!---: ^{K K}

srn

I

De même manière. on

obtient -!- ^=K K et -3 ":K ^K

sin

B

sin C

Donc o==KK=KK=2xR

:

sin ^,,4

Le

cours

Théorème de sinus

tout e 6L':a, AA'=b

et ---;

abc :

^---; ₌ ^---; ₌

_2x

R

snA sinB sinC

Où R

est le rayon du cercle circonscrit au

triangle

ABC ^.

=crOna:

A

Exemple

| : ABC

est un triangle rectangle en

A tel

que

AB:.,r8 et AC:l

^.

Montrer

^que

- '

_sin

^Bq I : ^sin.B n'^ :'Æ^

^{sin C}.

Solution:

. ABC

est rectangle en C, la propriété de Pyhagore permet

d'écrire

:

AB2 = ACz + BC2

e(..6l =

^{L'+ BC2}

BC

: _J3-l ^:.12

- D'après la relation trigonométrique dans un trianglerectangle, on a :

.^. BC JZ

^BC

.Sml=-=-=

_^

_=Ats:Jj AB Jl sinl

. sinÉ =AC :+= ^{AC^=AB:Jj}

AB Jf

^sinB

. sinô -AB _{AB J3} =+- ^{Æ^=tr3:Jj}

sinB On obtient donc ^:

AB

sinô

Exemple

2

: Sur le

triangle ABC

ci-dessous, calculer la

longueur BC

^et le rayon du cercle circonscrit à ce trianele.

Solution:

. Dans un triangle, on a

t

À+ Ê

+ô

₌

180'

À+75"+60o=180o 2=180"-135o=45o

. Calculer .BC

D'après le théorème de sinus, on a ^:

soit BC ^2J6

sin45" sin60"

BC= 2.,6xsin45" J6"Jî"z Ji"Jj"Ji"2 _:{

sin 60o

Donc BC:4

. Calculer le

rayon

R ^.

D'après le théorème de sinrrs, on

BC ^AC

_______: _____

sin

I ^sinB

^

BC

AB ---;

-

^---

sn A

^sinC

Ji

.f:t

u, ^{BC, '=2p}

Sin

I

4 _ 4 4Jt _at soit T =2R+R =---:=- : _tuT

sin45" ^ JZ _tr-

²

Donc R=2Ji

Exemple 3 : Sur la figure ci-dessous, on veut calculer la distance entre

A

et P située de l'autre côté du canyon. Pour cela on mesure la distance

A

et un point accessible

B.

On

trouve

AIJ = 80rn. On place un théodolite successivement en

A

et en

B pour

mesurer les angles

pLn et ,qÊp.on

trouve

: P2B =75"

^{et AÊP}

=45".

Calculer la distance AP.

Mathématique C4-126

A ^80m

Solution:

. Dans un triangle, on a

: À+

^Ê + F =18O"

75"+45"+.Ê=180'

^Ê=180"-

^120"

:ffiô

D'après le théorème de sinus,

on^, ^AP. - ^{Æ^}

sin^B sinP sort .AP

-

sin 45"

-

80 xsin 45"

A-It=-=

sin 60o

donc " À^Ê _{=l5o + A=15"} . ^" -15" + B--30"

et

t2

D'après le theorème de sinus, on

a:

AB -'---'-= = 2K

80 sin60o

BoxJi ^8oG Ji

' Donc AP:lo& *

3

Exemple

4: ABC

est un triangle tel

que À, Ê et ô

^sont proportionnels aux nombres

I,2 a ⁹

et le rayon du cercle circonsbrit à ce triangle est

l.

Calculer la longueur AB.

Solution:

^{- '}

Ona: À+Ê+C=180"

À, Ê el ô ssnt

les rapports .à

i:2:9 signifie onobtient t 7=B -Ô oÀ+Ê+Ô l29l+2+9 =180"=15o

¹²

-=-:- ABC | 2 ^g'

(- --l5o=C=135"

o

sinC

AB

sinC =2+ AB = 2xsinC

AB

=2xsin ô:2xsinl35o

₌

2xsin(90+45')

₌

2xcos

45"

=2r!! -l't

⁼

J-

Donc AB

: Ji

Exercices

I

. ^ABC

estun triangle tel que :

É

₌

30",

b

:3Jl et

c

='6.

^Calcuter

^ô.

2. ^ABC

^{estun triangle tel que :}

2:6O"

_, Ê

=45" et b: Ji.

^{Calculer a.}

3. ^ABC estuntriangletelque:Ô:45",b:Ji et c:J2.

^Calculer

Ê et

a.

4. ^ABC

^{estun triangle tel que :}

À:60" _,

Ô

:45" et

a

:3.

Calculer

c

et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

5. ABC

est un triangle tel que :

Ê :12O", _ô

_{= l5o}

et a: J6.

^{Calculer ô.}

6. ^ABC

^est un triangle tel que : c

:3Ji _,

À

=

^{60o et le rayon du cercle} circonscrit à ce triangle

R=3.Calculer a, Ô

"t

^Ê.

7. ^ABC

^{estun triangle tel que :}

À:45",

^É =

l05o et a:8.

^Calculer

c

et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

8. ^ABC

^{estun triangle tel que}

:b:3Ji

et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle R

:

3..Calculer B.

9- ^ABC

^{estun triangle tel que :} a

:

21, b

=15 et

^c

=9. ^Calculer sin2:sinÉ:sin ô.

Mathématique C4-128