J. 4784
CONCOURS ESIM Entrepreneur Industrie - Session 2003
Filière MP
EPREUVE DE MATHEMATIQUES 1 (algèbre)
Durée : 3 heures Calculatrices interdites
Mn(%) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n.
O(n) désigne le groupe orthogonal d'ordre n et fn l'application de Mn(%) dans % définie par : t/ M = (mij)l<ij- E Mn(%), fn(M) =
On désigne par
II II
la norme définie sur Mn(%) par llMll= M m Imijl.1 G j S n
(dl,d2,
....,
dk,....
dn) étant un Clément de %n, on désigne par Diag(dk) la matrice diagonale dont la diagonale est (dl,d2,....,
dk,....
dn).Résultats préliminaires :
1) Démontrer que fn est une forme linéaire sur Mn(%).
Est-elle continue ?
2) a) Démontrer que : b' M E O(n), IlMll I 1.
c m i j
.
1 < i l j l n
b) Montrer que O(n) est un fermé dans l'espace vectoriel normé (Mn(%),ll
II).
3) Justifier l'existence d'une matrice An appartenant à O(n) telle que : b' M E O(n), fn(M) 5 fn(An).
Le but du problème est de déterminer un équivalent de fn(An) quand n tend vers l'infini.
1) Dans cette partie n est fixé.
On désigne par A,,, An2, ..., A,, les colonnes de la matrice A, et on note :
On fixe deux indices i et j tels que 1 5 i < j 5 n, et on désigne par Bn la matrice carrée d'ordre n dont les colonnes sont égales à Bn1, B a ,
...
B, , avec :B k = A& si k est différent de i et j A, = [A,,, A,,, - - - Y A,,].
Bni = (COS(t))Ani
-
(sin(t))Anj Bnj = (sin(t))Ani+
(COS(t))Anj.1) Démontrer que la matrice Bn appartient à O(n).
page 113 Tournez la page S.V.P.
2) Déterminer deux réels h et p tels que : fn(An)
-
fn(Bn) = h( 1 -cos(t))+
psin(t).3 ) En considérant un équivalent de l'expression précédente quand t tend vers O, démontrer que p =
o.
1 j
Endéduireque
C%j
= c a k i.
Pour toute la suite du problème, le nombre réel précédent est noté Oij.
k=l k=l
II) On désigne par C, la matrice carrée d'ordre n telle que : Cij = O si j>i, CU = 1 si jri.
On désigne par Jn la matrice carrée d'ordre n dont la sous-diagonale est formée de 1 et tous les autres coefficients sont nuls.
1) a) Exprimer Cn sous la forme d'un polynôme en Jm
b) Montrer que Cn est inversible et que (CJ-1 = In
-
Jn,
où In désigne la matrice identité d'ordre n.2 ) a) Montrer que pour tout M E Mn(%), fn(M) = Trwe(CnM).
b) Montrer que CnAn = (Oij)l<ija
.
En déduire que CnAn est une matrice symétrique.
3 ) On pose Un = f((Cn)-')An
.
a) Démontrer que la matrice Un est symétrique.
b) Montrer que fn(An) = Trace((U3-l).
4) On pose V, =
la diagonale est formée de 2, sauf le dernier Clément qui est égal à 1, la sur-diagonale et la sous-diagonale sont formées de -1 et les autres coefficients sont nuls.
Montrer que V, est la matrice carrée d'ordre n telle que :
Vn =
.
O -1 2 -1.
. O - 1 1page 213
III) 1) On désigne par P, le polynôme caractéristique de V,.
On pose P o o = 1, Pl(X) = 1
-
X pour tout X réel.Montrer que : Pn(X) = (2
-
X)Pn,lO<)-
Pna(X), pour tout X réel et tout entier naturel n supérieur ou égal à 2.cos(2n+1)8 2) On pose x = 4sin28
.
Montrer que Pn(X) =cos(e) .
3) En déduire les zéros du polynôme Pn, puis les valeurs absolues des valeurs propres de la matrice (Un>-'.
4) a) Justifier que (Un)-' est diagonalisable et que (Un)-l= PDP-1 où P est une matrice orthogonale et D = Diag(dk).
b) On suppose que certains dk sont négatifs.
Soit D = diag()dk)). On définit une matrice A' par CnA' = PD'P-l.
i) Vérifier que Trace (C,A')
>
Trace (C,A,).ii) Montrer que A' est orthogonale.
iii) Conclure.
n-1 1
1 1
5 ) En déduire que fn(An) =
5
2k+l It.
k=O
sin(=?)1 It
IV) o n pose
+(O
=sin(t)
et h = 2pn+1)-
n-1 k=O
1) Montrer que 2fn(An) = C+((2k+l)h)
.
2) Montrer que :
(2n+ 1 )h (2n-l)h
h h
l+(t)dt I4hfn(An) I2h+(h)
+
j+(t)dt.
3) Déterminer un équivalent quand h tend vers O de
/-
dt.
h4) Déterminer un équivalent de fn(An) quand n tend vers l'infini.
Fin de l'énoncé
page 313
