Université de Rouen L2 IBIOM
Année 2009-2010
Mathématiques.
Contrôle continu du 17 décembre 2009, durée 1h30
DOCUMENTS ET CALCULATRICES INTERDITS
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1. On se place dans l’espace vectorielR2. Établir si les ensembles suivants sont des sous- espaces vectoriels –ou non– deR2.
(a) l’ensemble des couples (x,y) tels quex2−y2=0.
(b) l’ensemble des couples (x,y) tels quex−y=0.
(c) l’ensemble des couples (a+b,a−b), les réelsa etbdécrivantR. (d) l’ensemble des couples (1+x,x) oùxdécritR.
Exercice 2. Soit la matriceA=
1 2 1 0 2 4 1 3 3
.
(a) Donner le rang deA.
(b) Donner la dimension de Ker(A), une base de Ker(A) et une base de Im(A).
(c) CalculerA2et A3et vérifier que A3−6A2−2A=0.
Exercice 3. Inverser par la méthode de Gauss-Jordan la matrice A=
0 1 −2
1 2 −1
−1 2 0
. Exercice 4. Dans l’espace vectorielR4on considère les vecteurs
u1=
3 0 4 1
, u2=
0 1 2 1
, u3=
−5 0
−2 3
, u4=
2 2 2
−2
.
On poseF=Vect(u1,u2,u3,u4).
(a) Trouver une combinaison linéaire non triviale des vecteursuiégale au vecteur nul. La famille des vecteursu1,u2,u3,u4est-elle libre ?
(b) Extraire de (u1,u2,u3,u4) une base deF et donner la dimension deF. Exercice 5. Calculer
det
−1 1 2 3
2 0 −5 0
4 0 0 −1
3 −3 1 4
.
Exercice 6. Dans le cadre des matrices carrées de taille 2, donner pour chacun des cas -i- AetBtelles queAB6=B A
-ii- AetB(non égales à la matrice identité ou un multiple de la matrice identité, non égales à la matrice nulle) telles queAB=B A
-iii- AetB(non égales à la matrice nulle) telles que AB=0.
1
2
Solution de l’exercice 1.
(a) Non. Par exemple (1,−1) et (1, 1) sont éléments de l’ensemble {(x,y) ;x2−y2=0} alors que (1,−1)+(1, 1)=(2, 0) ne l’est pas.
(b) Oui, on vérifie.
(c) Oui, on vérifie.
(d) Non. Par exemple (1+2, 2)=(3, 2) et (1+1, 1)=(2, 1) sont deux éléments du type (1+x,x).
Cependant la somme des deux (5, 3) n’est pas de la forme (1+x,x).
Solution de l’exercice 2.
(a) L’algorithme de Gauss :
1 2 1 0 2 4 1 3 3
←−
−1
+
,
1 2 1 0 2 4 0 1 2
←−
−1/2
+
,
1 2 1 0 2 4 0 0 0
.
La matriceAest de rang 2.
(b) D’après le cours, on en déduit que dim Ker(A)=1 et dim Im(A)=2. Comme KerA est de di- mension 1 il suffit de trouver un vecteur non nul,x, vérifiant Ax =0. Par exemple (3,−2, 1) convient.
(c) On calcule !
A2=
2 9 12
4 16 20 4 17 22
, A3=
14 58 74
24 100 128 26 108 138
.
Solution de l’exercice 3.On calcule !
0 1 −2 1 2 −1
−1 2 0
←−
←−
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 2 −1 0 1 −2
−1 2 0
←−
1
+
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 2 −1 0 1 −2 0 4 −1
←−
−2
+
←−−−−−
−4
+
0 1 0 1 0 0 0 1 1
1 0 3
0 1 −2
0 0 7
←−
2/7
+
←−−−−−
−3/7
+
−2 1 0
1 0 0
−4 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 7
| ×1/7
−2/7 4/7 −3/7
−1/7 2/7 2/7
−4 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
−2/7 4/7 −3/7
−1/7 2/7 2/7
−4/7 1/7 1/7
Solution de l’exercice 4.
(a) On chercheα,β,γetδnon tous nuls tels queαu1+βu2+γu3+δu4=0. On pose le système, on résout et on trouve par exemple queu1−2u2+u3+u4=0. La famille de ces quatre vecteurs n’est donc pas libre.
(b) Comme la famille (u1,u2,u3,u4) est liée, d’après le cours il est possible d’extraire de cette famille une base de F =Vect(u1,u2,u3,u4). On démontre que les vecteurs (u1,u2,u3) sont libres, c’est donc une base deF. Ainsi dim(F)=3.
3
Solution de l’exercice 5.On calcule !
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
y y
−1 1 2 3
2 0 −5 0
4 0 0 −1
3 −3 1 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 −1 2 3
0 2 −5 0
0 4 0 −1
−3 3 1 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ←−
3
+
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 −1 2 3
0 2 −5 0
0 4 0 −1
0 0 7 13
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
←−
−2
+
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 −1 2 3
0 2 −5 0
0 0 10 −1
0 0 7 13
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ←−
−7/10
+
= −
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 −1 2 3
0 2 −5 0
0 0 10 −1
0 0 0 137/10
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −1×2×10×137
10 = −274.
Solution de l’exercice 6.
(a) Par exemple
A= µ1 2
3 4
¶
et B=
µ−1 3
4 1
¶ (b) Il n’est pas préciserA6=B! Par exemple
A=B= µ1 2
3 4
¶ ou encore
A= µ1 1
1 1
¶
et B= µ1 2
3 4
¶ . (c) Par exemple
A= µ0 0
1 0
¶
et B= µ0 0
0 1
¶ .
