MAT2011 : Analyse II
Solutionnaire de l’Examen Pratique Final
Professeur : Steven Lu
(mardi, 6 decembre 2011)
1 [10 points] Soitf(θ) = tan(θ), π/2< θ < π/2.
(a) Montrer que f est injective et le codomaine (l’image ou le range) de f est R. (b) Soit arctan(v) =f−1(v). Trouver la d´eriv´ee de la fonction arccot(v).
(c) Justifier l’expression de arctan(v) par une s´erie enti`ere (s´erie de puissance) dans l’intervalle [−R, R] o`u R est le rayon de convergence de cette s´erie. Est-ce la convergence de cette s´erie y est uniforme ?
2 [10 points] Pour chaque suite de fonctions (fn) suivante, d´eterminer avec justification si la suite est uniform´ement convergente sur l’intervalle donn´e.
(a) fn(x) =
n
X
l=1
(−1)l x
x3+l3 sur l’intervalle [1,∞).
Sol’n : x ≥ 1 => x3 ≥ x2 => x3 + l3 ≥ x2 +l3 ≥ xlf rac32 (Inegalit´e Cauchy-Shwarz). Donc le l-`eme terme dans fn est domin´e par lf rac321 . Donc (fn) converge uniform´ement par le crit`ere de Weierstrass car P∞
l=1 1
lf rac32 <∞ par le test des p-series (ou alternativement par le test d’int´egral).
(b) fn(x) =x(1−xn) sur [0,1].
Pour x ∈ [0,1], si x 6= 1, alors xn → 0 lorsque n → ∞. Donc, fn(x) → x si x6= 1 lorsque n → ∞. Puisque fn(0) = 0 pour tout n, la fonction limite est x si x6= 1 et 0 si x= 1 et donc cette fonction limite n’est pas continue au point x= 1. Puisquefn sont des fonctions continues, la convergence ne peut pas ˆetre uniforme.
(c) fn(x) =√
nsin(x) cos2n(x) sur [0, π/2].
Calculons premi`erement f(x) = limn→∞fn(x) si la limite existe. Si x = 0 ou 1, alors fn(x) = 0 pour tout n et donc f(x) = 0. Sur l’intervalle donn´e, si x6= 0,1, alors 0<cos2(x)<1 et donc il existec >0 o`u cos2(x) =e−c. Dans ce
cas, 0 ≤ fn(x)≤ ncos2n(x) =ne−cn = n/ecn. Le dernier quotient, etant une forme ind´etermin´ee lorsquen → ∞, tend vers limn→∞ 1
cecn = 0. Donc f(x) = 0 partout.
Calculons maintenant dn =d∞(fn, f) = sup|fn| : Soit X = sin2(x). C’est une changement de variable car sin2(x) est injective sur l’intervalle avec l’image [0,1]. Donc fn(x) = Fn(X) = √
nX(1 − X)n et dn = maxX∈[0,1]|Fn(X)|.
Puisque dn ≥0 =Fn(0) =Fn(1) etFn est differentialbe, ce max est r´ealis´e au point o`u Fn0(X) = 0, X ∈ (0,1), i.e. 12(1−X)−nX = 0 ou bien X = 2n+11 . Donc
dn=
r n 2n+ 1
1− 1
2n+ 1 n
=
r n 2n+ 1
1− 1
2n+ 1
2n+1
1− 1
2n+ 1 −1
,
ce qui tend vers q1
2e−116= 0. Donc, la convergence n’est pas uniforme.
3 [12 points] Calculer la s´erie de Fourier de chaque fonctionf surR(2π-p´eriodique et continue par morceau) suivante et d´eterminer si la convergence est uniforme versf.
(a) f(x) = cos4(x) sin2(x).
(b) f(x) = x sur (−π, π) et f(π) = 0.
(c) f(x) = (π−x)2 sur [0,2π].
En utilisant le th´eor`eme de Parseval, d´eduire la valeur de
∞
X
n=1
1 n4.
4 [8 points] Soitf(x) = cos(γx) sur [−π, π) o`uγ ∈R\Z. Calculer la s´erie de Fourier de f et en deduire
cot(γπ) = 1 γπ +
∞
X
n=1
2γ π(γ2−n2).
