MAT2011 : Analyse II
Devoir 2
Professeur : Steven Lu
( `A remettre le 6 decembre, jusqu’`a 17h. Aucun retard ne sera tol´er´e.)
1 [10 points] Soitf(θ) = cot(θ), 0< θ < π.
(a) Montrer que f est injective et le codomaine (l’image ou le range) de f est R. (b) Soit arccot(v) =f−1(v). Trouver la d´eriv´ee de la fonction arccot(v).
(c) Justifier l’expression de la d´eriv´ee de arccot(v) par sa s´erie de Taylor dans l’intervalle (−R, R) o`u R est le rayon de convergence de cette s´erie. Est-ce la convergence de cette s´erie y est uniforme ?
(d) Justifier l’expression de arccot(v) par une s´erie enti`ere (s´erie de puissance) dans l’intervalle [−R, R]. Est-ce la convergence de cette s´erie y est uniforme ? (e) Exprimer π/4 par une s´erie num´erique.
2 [10 points] Pour chaque suite de fonctions (fn) suivante, d´eterminer avec justification si la suite est uniform´ement convergente sur l’intervalle donn´e.
(a) fn(x) =
n
X
l=1
(−1)l x
x2+l3 sur l’intervalle [0,∞).
(b) fn(x) =x(1−x2)n sur [0,1].
(c) fn(x) =nx2e−n2x2 sur [0,1].
(d) fn(x) =
n
X
l=1
(−1)l x
x2+l2 sur l’intervalle [0,∞).
Piste : |Pn
l=m(−1)lx2x+l2| ≤ x2+mx 2.
3 [15 points] Calculer la s´erie de Fourier de chaque fonctionf surR(2π-p´eriodique et continue par morceau) suivante et d´eterminer si la convergence est uniforme versf.
(a) f(x) = cos4(x).
(b) f(x) = sin3(x) (c) f(x) = x sur [−π, π)
(d) f(x) = 1− x2
π2 sur [−π, π].
(Remarque : (a) et (b) sont des polynˆomes trignom´etriques qui s’obtiennent direc- tement de l’identit´es trignom´etriques.)
Evaluer (d) pour´ x= 0, π et en d´eduire les valeurs de
∞
X
n=1
1 n2,
∞
X
n=1
(−1)n n2 ,
∞
X
n=1
1 (2n−1)2. En utilisant le th´eor`eme de Parseval, d´eduire la valeur de
∞
X
n=1
1 n4.
4 [5 points] Soitf une fonction 2π-p´eriodique de classe C1 telle que R2π
0 f(x)dx = 0.
Montrer que
Z 2π
0
|f(x)|2dx≤ Z 2π
0
|f0(x)|2dx, et caract´eriser l’´egalit´e.
