Université Bordeaux 1 MHT631 - Licence
Mathématiques Année 2009-2010
Devoir Surveillé, 09 mars 2010 Durée 1h20. Notes de cours autorisées.
Exercice 1 – [Normes]
Soient n > 2 et K = R ou C. On définit sur Mn,n(K) l’application N de la façon suivante : si A∈Mn,n(K), alors
N(A) =
n
X
i=1
maxj |ai,j|.
1)Montrer que N est une norme de Mn,n(K).
2)Est-ce une norme matricielle ? 3)Est-ce une norme induite ?
Exercice 2 – [Suites de matrices] Soit A=
2 1 0 1 2 0 0 1 2
.
1)CalculerAk pourk>0.
2)CalculerexpA.
Exercice 3 – [Pivot de Gauss - Conditionnement] Soit A=
3 1 1 6 2 3 9 1 2
.
1) La matrice A admet-elle une décomposition LU? Si oui, l’expliciter. Sinon exhiber une décompositionP A=LU.
2)En déduire detA etA−1.
3)CalculerCond1(A) etCond∞(A).
4)Indiquer comment faire pour déterminerCond2(A). Il n’est pas demandé de le faire explicitement.
Exercice 4 – [Méthodes itératives] On considère la matrice A=
2 −1 1
2 2 2
−1 −1 2
.
1)Quelles sont les matrices de Jacobi et Gauss-Seidel associées à A? 2)La méthode de Jacobi appliquée àA converge-t-elle ?
3)Même question avec la méthode de Gauss-Seidel.
NB. On rappelle que si une matrice M se décompose sous la forme M =D+L+U où D est diagonale,L etU triangulaires à diagonale nulle respectivement inférieure et supérieure, la matrice de Jacobi J et la matrice de Gauss-Seidel Gassociées à M sont données par
J =−D−1(L+U) et G=−(D+L)−1U.
