EPFL 7 mai 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 22
L’exercice 5 est à rendre le 14 mai au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Déterminer l’ensemble des isométries auto-adjointes de R2, de R3 et de C2.
Exercice 2 Soient B la base canonique de R3, T ∈ L(R3) et S ∈ L(R3) tel que [T]B = A et [S]B =B où
A= 1 4
3 1 √
6
1 3 −√
6
−√ 6 √
6 2
et
B =−1 3
−2 −1 2 2 −2 1
1 2 2
Montrer que T et S sont des isométries dont on déterminera la nature et les caractériser géométriquement. (Ex : pour une rotation on déterminera l’axe et l’angle, etc.)
Exercice 3 SoitS ∈ L(Fn)et {u1, . . . , un} une base orthonormée deFn. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1. S est une isométrie ;
2. {[S(u1)]B, . . . ,[S(un)]B} est une base orthonormée de Fn; 3. {[S∗(u1)]B, . . . ,[S∗(un)]B} est une base orthonormée de Fn.
Exercice 4 Soit S ∈ L(R3) une isométrie. Montrer qu’il existe un vecteur ~v ∈ R3 tel que S2~v =~v.
Exercice 5 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n etT ∈ L(E) commutant avec toute isométrie. Montrer que T est une homothétie. (i.e. ∃λ tel que T =λId.)
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