Montrer que∀1≤j ≤n, ∀k1

ENS Lyon Syst`emes Dynamiques

M1 2007-2008

TD 2 : Th´eor`eme de Cauchy analytique - Isomorphismes hyperboliques

Exercice 1

On consid`ere le syst`eme autonome :

∀1≤j ≤n,

z_j⁰ =f_j(z₁, . . . , z_n)

z_j(0) = 0 (1)

o`u les inconnues z<sub>1</sub>, . . . , z<sub>n</sub> sont des fonctions de la variable complexe ζ, `a valeurs complexes. On suppose que les f_j sont analytiques dans un voisinage de Ω = {(z₁, . . . , z_n)/ ∀i,|z_i| ≤ρ}, uniform´ement born´ees par M sur Ω, et on note

∀1≤j ≤n, ∀z ∈Ω, f_j(z₁, . . . , z_n) = X

k1,...,kn≥0

a^(j)_k

1,...,knz₁^k1. . . z_n^kn.

1. Montrer que∀1≤j ≤n, ∀k₁, . . . , k_n, |a^(j)_k

1,...,kn| ≤ M ρ^k₁¹. . . ρ^k_nⁿ. 2. Montrer que la fonction d´efinie par G(z₁, . . . , z_n) = M

(1−z₁/ρ). . .(1−z_n/ρ) est une majorante de chacune des fj, et en d´eduire que

F : (z1, . . . , zn)7→ M 1−Pn

i=1 zi

ρ

est aussi une majorante de chacune des fj.

3. R´esoudre le syst`eme ∀1≤j ≤n, z⁰_j =F(z1, . . . , zn) avec la condition initiale z(0) = 0.

4. En d´eduire que l’unique solution de (1) est analytique sur le disque de centre 0 et de rayon ρ

2nM. Exercice 2

On consid`ere le syst`eme diff´erentiel

∀1≤j ≤n, z_j⁰ =f_j(z₁, . . . , z_n, ζ) o`u les f_j sont analytiques dans un voisinage de

Ω = {(z₁, . . . , z_n)/ ∀i,|z_i−z_i⁰| ≤ρ} × {ζ/|ζ−ζ₀| ≤r},

avec conditions initiales z_i(ζ₀) = z_i⁰ pour tout i. On suppose que les f_j sont uni- form´ement born´ees par M sur Ω. Montrer qu’il existe une solution analytique sur le disque de centreζ₀ et de rayon

r

1−e^{−2nM1 ρr} . 1

Exercice 3

On consid`ere le syst`eme diff´erentiel

x⁰ =x(x+ 2y) y⁰ =y(2x−y) avec condition initiale x(0) = 1, y(0) =−¹₂.

1. Trouver un minorant du rayon de convergence de la solution `a l’aide de la m´ethode des majorantes.

2. Donner une expression explicite de la solution et en d´eduire le rayon de con- vergence.

Exercice 4

Montrer que l’espace des applications uniform´ement continues et born´ees de R^N dans R^N est complet pour la normek · k∞.

Exercice 5

Un isomorphisme (lin´eaire)T deR^N est dithyperboliques’il existe une d´ecomposition E =E_s⊕E_u, o`u les sous-espacesE_s etE_u sont stables parT, et telle qu’en notant S:=T|Es etU :=T|Eu on ait

∃n≥1/

kSⁿk<1 kU⁻ⁿk<1 .

1. Soit T un isomorphisme de R^N. Montrer que T est hyperbolique si et seule- ment si T n’a pas de valeur propre de module 1. En d´eduire que la notion d’isomorphisme hyperbolique est ind´ependante du choix de la norme.

2. Montrer que dans ce cas, il existe unenorme adapt´ee`aT, c’est-`a-dire telle que

∀x_s ∈E_s, ∀x_u ∈E_u, kx_s+x_uk= Max(kx_sk,kx_uk) et kSk<1, kU⁻¹k<1. Une telle norme ´etant fix´ee, on note alors

ch(T) = Max(kSk,kU⁻¹k) la constante d’hyperbolicit´e deT.

Exercice 6

Soit E =R et 0< ε1.

1. V´erifier que T : x 7→ 2x est un isomorphisme hyperbolique de E et que la fonction f :x7→ −εsinx est born´ee et δ-lipschitzienne, avec

δ <min(1−ch(T),kT⁻¹k⁻¹).

2. Montrer que si H = id +h est un hom´eomorphisme de E avec h : E → E uniform´ement continue et born´ee, v´erifiant H◦T = (T +f)◦H, alors H n’est pas lipschitzienne.

Exercice 7Lemme de pistage

SoitT un isomorphisme hyperbolique de R^N,k · k une norme adapt´ee `aT etε >0.

Montrer que pour toute suite (yn)n∈Z de R^N telle que Sup

n∈Z

kyn+1 −T(yn)k ≤ ε, il existe un uniquey ∈R^N tel que

Sup

n∈Z

ky_n−Tⁿ(y)k ≤ ε 1−ch(T). 2