CORRIGE DES EXERCICES – GEOMETRIE REPEREE

CORRIGE DES EXERCICES – GEOMETRIE REPEREE

Exercice 1 :

1) Déterminer un vecteur normal à chacune des droites dont on donne les équations cartésiennes suivantes :

a) 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 b) −3𝑥 + 5𝑦 = 0 c) 5𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 d) −2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0

2) Déterminer un vecteur normal à chacune des droites dont on donne les équations réduites suivantes :

a) 𝑦 = 2𝑥 − 3 b) 𝑦 = 4𝑥 c) 𝑦 = −3𝑥 + 1 d) 𝑦 = −7𝑥 − 2

Corrigé : 1) a) 𝑛////⃗ 12_.

12 b) 𝑛////⃗ 1−3_.

5 2 c) 𝑛////⃗ 1 5₃

−32 d) 𝑛////⃗ 1−2_.

−42

2) a) 𝑦 = 2𝑥 − 3 ⟺ 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 donc 𝑛////⃗ 1 2. −12 est normal à cette droite.

b) 𝑦 = 4𝑥 ⟺ 4𝑥 − 𝑦 = 0 donc 𝑛////⃗ 1 4₅ −12 est normal à cette droite.

c) 𝑦 = −3𝑥 + 1 ⟺ −3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 donc 𝑛////⃗ 1−3₃

−12 est normal à cette droite.

d) 𝑦 = −7𝑥 − 2 ⟺ −7𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 donc 𝑛////⃗ 1−7₆

−12 est normal à cette droite.

Exercice 2 : déterminer un vecteur normal à chacune des droites définies par les deux points donnés : a) 𝐵(−3; 2) et 𝐶(1; −2) b) 𝐹(1; 0) et 𝐺(−3; 4)

c) 𝑀(0; −2) et 𝑁(5; 4) d) 𝐻(−2; 3) et 𝐾(−1; −5) Corrigé :

a) 𝐵𝐶/////⃗ 1𝑥_B − 𝑥_C

𝑦_B − 𝑦_C2 donc 𝐵𝐶/////⃗ 11 − (−3)

−2 − 2 2 d’où 𝐵𝐶/////⃗ 1 4−42 On cherche donc un vecteur 𝑛////⃗ orthogonal à 𝐵𝐶_. /////⃗. On a donc 𝐵𝐶/////⃗ ⊥ 𝑛////⃗ ou encore 𝐵𝐶_. /////⃗. 𝑛////⃗ = 0. Choisissons 𝑛_. ////⃗ G. 1

𝑦H et trouvons 𝑦.

On a 4 × 1 + (−4) × 𝑦 = 0 ⟺ 4 − 4𝑦 = 0 ⟺ 4𝑦 = 4 ⟺ 𝑦 = 1 donc 𝒏////⃗ 1𝟏_𝟏 𝟏2.

Remarque : j’ai pris 1 comme abscisse de 𝑛////⃗ parce que 1 est une coordonnée très simple mais on peut _. prendre autre chose et on trouvera un vecteur colinéaire à 𝑛////⃗. _.

b) 𝐹𝐺/////⃗ 1−44 2. On cherche donc un vecteur 𝑛////⃗ orthogonal à 𝐹𝐺5 /////⃗. On a donc 𝐹𝐺/////⃗. 𝑛////⃗ = 0. Choisissons 𝑛₅ ////⃗ G5 1

𝑦H et trouvons 𝑦.

On a −4 × 1 + 4 × 𝑦 = 0 ⟺ −4 + 4𝑦 = 0 ⟺ 4𝑦 = 4 ⟺ 𝑦 = 1 donc 𝒏////⃗ 1𝟏_𝟐 𝟏2.

c) 𝑀𝑁///////⃗ 1562. On cherche donc un vecteur 𝑛////⃗ orthogonal à 𝑀𝑁3 ///////⃗. On a donc 𝑀𝑁///////⃗. 𝑛////⃗ = 0. Choisissons 𝑛₃ ////⃗ G₃ 1

𝑦H et trouvons 𝑦.

On a 5 × 1 + 6 × 𝑦 = 0 ⟺ 5 + 6𝑦 = 0 ⟺ 6𝑦 = −5 ⟺ 𝑦 = −^N_O donc 𝒏////⃗ Q_𝟑 𝟏

−^𝟓_𝟔T.

Remarque : si on veut un vecteur aux coordonnées entières, on prend un vecteur colinéaire à 𝒏////⃗ en _𝟑 multipliant tout par 6 et on trouve 1 6−52.

d) 𝐻𝐾//////⃗ 1 1−82. On cherche donc un vecteur 𝑛////⃗ orthogonal à 𝐻𝐾6 //////⃗. On a donc 𝐻𝐾//////⃗. 𝑛////⃗ = 0. Choisissons 𝑛₆ ////⃗ G₆ 1

𝑦H et trouvons 𝑦.

On a 1 × 1 + (−8) × 𝑦 = 0 ⟺ 1 − 8𝑦 = 0 ⟺ 8𝑦 = 1 ⟺ 𝑦 =^._V donc 𝒏////⃗ Q_𝟒 𝟏

𝟏 𝟖

T.

Remarque : si on veut un vecteur aux coordonnées entières, on prend un vecteur colinéaire à 𝒏////⃗ en _𝟒 multipliant tout par 8 et on trouve 1812.

Exercice 3 : on considère les points 𝐴 et 𝐵 de coordonnées respectives (1; 3) et (−2; 4).

1) Calculer les coordonnées de 𝐴𝐵/////⃗.

2) a) Considérons le vecteur 𝑛////⃗(1; 𝛼). Déterminer 𝛼 pour que 𝐴𝐵_. /////⃗. 𝑛////⃗ = 0 _. b) Que représente 𝑛/⃗_. pour le vecteur 𝐴𝐵/////⃗.

3) Soit 𝑛////⃗(2; 𝛽). De la même manière, déterminer 𝛽 pour que 𝑛₅ ////⃗ soit un vecteur normal à 𝐴𝐵₅ /////⃗. Corrigé :

1) 𝐴𝐵/////⃗ 1𝑥_C− 𝑥_\

𝑦_C− 𝑦_\2 donc 𝐴𝐵/////⃗ 1−2 − 14 − 3 2 d’où 𝐴𝐵/////⃗ 1−31 2

2) a) 𝐴𝐵/////⃗. 𝑛////⃗ = 0 ⟺ −3 × 1 + 1 × 𝛼 = 0 ⟺ −3 + 𝛼 = 0 ⟺ 𝛼 = 3 donc 𝑛_. ////⃗ 11_. 32.

b) 𝑛////⃗ est un vecteur orthogonal au vecteur 𝐴𝐵_. /////⃗ (ou encore un vecteur normal à la droite (𝐴𝐵))

3) 𝐴𝐵/////⃗. 𝑛////⃗ = 0 ⟺ −3 × 2 + 1 × 𝛽 = 0 ⟺ −6 + 𝛽 = 0 ⟺ 𝛽 = 6 donc 𝑛₅ ////⃗ 12₅ 62.

Exercice 4 :

1) Soit (𝑑) la droite passant par 𝐴(1; −1) et de vecteur directeur 𝑢/⃗(−4; −3).

Déterminer une équation cartésienne de (𝑑).

2) Soit (𝑑^_) la droite d’équation réduite 𝑦 = −2𝑥 + 1.

a) Déterminer un vecteur directeur 𝑣⃗ de (𝑑^_).

b) Était-ce prévisible ? Corrigé :

1) (𝑑): −3𝑥 + 4𝑦 + 𝑐 = 0

Or 𝐴(1; −1) ∈ (𝑑) ⟺ −3 × 1 + 4 × (−1) + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = 7 Donc (𝑑): −3𝑥 + 4𝑦 + 7 = 0

2) a) 𝑦 = −2𝑥 + 1 ⟺ 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

Donc un vecteur directeur 𝑢/⃗ aura pour coordonnées 𝑢/⃗(−1; 2).

b) Oui, c’était prévisible car un autre vecteur directeur 𝑣⃗ a aussi pour coordonnées (1; −2) (colinéaire donc) en considérant le décalage de 1 unité vers la gauche et de −2 vers le bas quand on observe le coefficient directeur de la droite dans son équation réduite.

Exercice 5 : dans chacun des cas, donner une équation cartésienne de la droite passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝑛/⃗.

a) 𝐴(4; 1) et 𝑛/⃗ 1 1−32 b) 𝐴(2; 3) et 𝑛/⃗ 1422 c) 𝐴(−2; −1) et 𝑛/⃗ 1−3−12 d) 𝐴(0; 5) et 𝑛/⃗ 1532

Corrigé :

a) La droite aura pour équation cartésienne 1𝑥 − 3𝑦 + 𝑐 = 0

Or 𝐴(4; 1) appartient à cette droite donc 1 × 4 − 3 × 1 + 𝑐 = 0 ⟺ 4 − 3 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −1 Donc la droite a pour équation cartésienne 𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0

Remarque : autre méthode, considérer un point 𝑀(𝑥 ; 𝑦) sur cette droite. Alors 𝐴𝑀//////⃗ ⊥ 𝑛/⃗ ce qui signifie que 𝐴𝑀//////⃗. 𝑛/⃗ = 0 avec 𝐴𝑀//////⃗ G𝑥 − 4𝑦 − 1H et 𝑛/⃗ 1 1−32

Donc 1 × (𝑥 − 4) + (−3) × (𝑦 − 1) = 0 ⟺ 𝑥 − 3𝑦 = 1 = 0 b) La droite aura pour équation cartésienne 4𝑥 + 2𝑦 + 𝑐 = 0

Or 𝐴(2; 3) appartient à cette droite donc 4 × 2 + 2 × 3 + 𝑐 = 0 ⟺ 8 + 6 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −14 Donc la droite a pour équation cartésienne 4𝑥 + 2𝑦 − 14 = 0

c) La droite aura pour équation cartésienne −3𝑥 − 1𝑦 + 𝑐 = 0 Or 𝐴(−2; −1) appartient à cette droite

Donc −3 × (−2) − 1 × (−1) + 𝑐 = 0 ⟺ 6 + 1 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −7 Donc la droite a pour équation cartésienne −3𝑥 − 𝑦 − 7 = 0

d) La droite aura pour équation cartésienne 5𝑥 + 3𝑦 + 𝑐 = 0

Or 𝐴(0; 5) appartient à cette droite donc 5 × 0 + 3 × 5 + 𝑐 = 0 ⟺ 0 + 15 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −15 Donc la droite a pour équation cartésienne 5𝑥 + 3𝑦 − 15 = 0

Exercice 6 : on considère la droite 𝑑 d’équation réduite 𝑦 = −4𝑥 + 5.

1. Donner un vecteur directeur de 𝑑.

2. En déduire un vecteur normal de 𝑑.

3. Donner une équation cartésienne de la droite 𝑑′ perpendiculaire à 𝑑 pasant par le point 𝐴(1; 1).

4. Donner une équation réduite de la droite 𝑑′.

Corrigé :

1. Un vecteur 𝑢/⃗ directeur de 𝑑 a pour coordonnées 1 1−42 ; −4 étant le coefficient directeur de 𝑑.

2. 𝑦 = −4𝑥 + 5 ⟺ 4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 donc un vecteur 𝑛/⃗ normal à 𝑑 a pour coordonnées 1412.

3. 𝑑^_ sera dirigée par 𝑛/⃗

Rappelons qu’une droite dirigée par un vecteur 1−𝑏𝑎 2 a pour équation cartésienne 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 Donc 𝑑^_ aura pour équation cartésienne 𝑥 − 4𝑦 + 𝑐 = 0

Or 𝐴(1; 1) ∈ 𝑑^_ ⟺ 1 − 4 × 1 + 𝑐 = 0 ⟺ −3 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = 3 donc (𝑑^_) ∶ 𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 4. 𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 ⟺ 4𝑦 = 𝑥 + 3 ⟺ 𝑦 =^.₆𝑥 +³₆

Exercice 7 : on considère la droite 𝑑 d’équation cartésienne 3𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 et le point 𝐵(2; −3).

1. Donner un vecteur normal à la droite 𝑑.

2. En déduire une équation de la droite perpendiculaire à la droite 𝑑 passant par 𝐵.

3. En déduire les coordonnées du point 𝐾, projeté orthogonal du point 𝐵 sur la droite 𝑑 donnée.

Corrigé :

1. Un vecteur 𝑛/⃗ normal à 𝑑 a pour coordonnées 1312.

2. Ce vecteur 𝑛/⃗ va diriger la perpendiculaire à 𝑑 passant par 𝐵. Appelons ∆ cette perpendiculaire.

Ainsi, ∆ ∶ 1𝑥 − 3𝑦 + 𝑐 = 0.

Or 𝐵(2 ; −3) ∈ ∆⟺ 1 × 2 − 3 × (−3) + 𝑐 = 0 ⟺ 2 + 9 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −11 D’où ∆ ∶ 𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0

3. 𝐾(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑑 ∩ ∆ ⟺ k3𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 (𝐿_.) 𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0 (𝐿₅) ⟺ k

3𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 (𝐿_.) 3𝑥 − 9𝑦 − 33 = 0 (3𝐿₅) ⟺ k10𝑦 + 29 = 0 (𝐿_.− 3𝐿₅)

𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0 (𝐿₅) ⟺ m

𝑦 = −⁵ⁿ_.o= −2,9 𝑥 = 11 + 3 × (−2,9) = 2,3 Donc 𝑆 = {(2,3; −2,9)} Conclusion : 𝐾(2,3; −2,9)

Exercice 8 :

a) Donner une équation du cercle de centre 𝐴(−1; −2) et de rayon 2.

b) Donner une équation du cercle de centre 𝐵(2; 0) et de rayon √3.

c) Donner une équation cartésienne du cercle de centre 𝐶(3; 1) et de rayon 4.

d) Donner une équation cartésienne du cercle de centre 𝐷(−³₅;^.₆) et de rayon ^N₅. Corrigé :

a) (𝑥 − (−1))⁵ + (𝑦 − (−2))⁵ = 2⁵ ⟺ (𝑥 + 1)⁵+ (𝑦 + 2)⁵ = 4 b) (𝑥 − 2)⁵+ (𝑦 − 0)⁵ = √3⁵ ⟺ (𝑥 − 2)⁵+ 𝑦⁵ = 3

c) (𝑥 − 3)⁵+ (𝑦 − 1)⁵ = 16 d) 1𝑥 − (−³

5)2⁵+ 1𝑦 −^.

62⁵ = 1^N

52⁵ ⟺ 1𝑥 +³

52⁵+ 1𝑦 −^.

62⁵ = ^5N

6

Exercice 9 : déterminer une équation de cercle de diamètre [𝐴𝐵] dans chacun des cas suivants : a) 𝐴(1; −2) et 𝐵(3; 0) b) 𝐴(3; −1) et 𝐵(0; 2)

c) 𝐴(−1; −2) et 𝐵(1; 3) d) 𝐴(−2; 4) et 𝐵(−1; −3) Corrigé :

a) 1^ère méthode : le milieu de [𝐴𝐵] est également le centre du cercle et a pour coordonnées (2; −1).

Le diamètre est 𝐴𝐵 = x(3 − 1)⁵+ y0 − (−2)z⁵ = √4 + 4 = √8 = 2√2 donc le rayon vaut √2.

Ainsi, l’équation de ce cercle est (𝑥 − 2)⁵+ (𝑦 + 1)⁵ = 2 ou encore 𝑥⁵− 4𝑥 + 𝑦⁵+ 2𝑦 + 3 = 0 Autre méthode : soit 𝑀(𝑥; 𝑦) sur ce cercle. Alors 𝑀𝐴//////⃗. 𝑀𝐵//////⃗ = 0. Or 𝑀𝐴//////⃗ G 1 − 𝑥−2 − 𝑦H et 𝑀𝐵//////⃗ G3 − 𝑥−𝑦 H. Ainsi 𝑀𝐴//////⃗. 𝑀𝐵//////⃗ = 0 ⟺ (1 − 𝑥)(3 − 𝑥) + (−2 − 𝑦)(−𝑦) = 0 ⟺ 3 − 4𝑥 + 𝑥⁵+ 2𝑦 + 𝑦⁵ = 0 b) Le milieu de [𝐴𝐵] est également le centre du cercle et a pour coordonnées (1,5; 0,5).

Le diamètre est 𝐴𝐵 = x(0 − 3)⁵+ y2 − (−1)z⁵ = √9 + 9 = √18 donc le rayon vaut ^√.V₅ . Ainsi, l’équation de ce cercle est (𝑥 − 1,5)⁵+ (𝑦 − 0,5)⁵ =^.V₆ = 4,5

c) Le milieu de [𝐴𝐵] est également le centre du cercle et a pour coordonnées (0; 0,5).

Le diamètre est 𝐴𝐵 = x(1 − (−1))⁵+ y3 − (−2)z⁵ = √4 + 25 = √29 donc le rayon vaut ^√5n₅ . Ainsi, l’équation de ce cercle est 𝑥⁵+ (𝑦 − 0,5)⁵ = ⁵ⁿ₆ = 7,25

d) Le milieu de [𝐴𝐵] est également le centre du cercle et a pour coordonnées (−1,5; 0,5).

Le diamètre est 𝐴𝐵 = {(−1 − (−2))⁵+ (−3 − 4)⁵ = √1 + 49 = √50 donc le rayon vaut ^√No₅ . Ainsi, l’équation de ce cercle est (𝑥 + 1,5)⁵+ (𝑦 − 0,5)⁵ =^No₆ = 12,5

Exercice 10 : on considère les points 𝐴(−3; 1) et 𝐵(2; 5).

1. Déterminer les coordonnées du milieu 𝐺 du segment [𝐴𝐵].

2. Calculer la longueur 𝐴𝐺.

3. Donner une équation du cercle de diamètre [𝐴𝐵].

Corrigé :

1. 𝐺 1^|}~|₅ ^•;^€}~€₅ ^•2 donc 𝐺(−0,5; 3)

2. 𝐴𝐺 = {(𝑥_C− 𝑥_\)⁵+ (𝑦_C− 𝑦_\)⁵ = {(2 − (−3))⁵+ (5 − 1)⁵ = √25 + 16 = √41 3. Le rayon du cercle est ^\•₅ = ^√6.₅ et son centre est 𝐺(−0,5; 3) donc l’équation du cercle est

(𝑥 − (−0,5))⁵+ (𝑦 − 3)⁵ = 1^√6.₅ 2⁵ ⟺ (𝑥 + 0,5)⁵+ (𝑦 − 3)⁵ =^6.₆ = 10,25 .

Exercice 11 : montrer que ces ensembles sont des cercles dont on donnera le centre et le rayon.

a) On considère l’ensemble des points vérifiant l’équation 𝑥⁵− 4𝑥 + 𝑦⁵− 3𝑦 = 2.

b) On considère l’ensemble des points vérifiant l’équation 𝑥⁵+ 𝑥 + 𝑦⁵− 𝑦 − 4 = 0.

Corrigé :

a) 𝑥⁵− 4𝑥 + 𝑦⁵ − 3𝑦 = 2 ⟺ (𝑥 − 2)⁵ − 4 + (𝑦 − 1,5)⁵− 2,25 = 2 ⟺ (𝑥 − 2)⁵+ (𝑦 − 1,5)⁵ = 8,25 Donc l’ensemble cherché est le cercle de centre le point de coordonnées (2; 1,5) et de rayon {8,25 ≈ 2,87

b) 𝑥⁵+ 𝑥 + 𝑦⁵− 𝑦 − 4 = 0 ⟺ (𝑥 + 0,5)⁵ − 0,25 + (𝑦 − 0,5)⁵ − 0,25 − 4 = 0

⟺ (𝑥 + 0,5)⁵+ (𝑦 − 0,5)⁵ = 4,5. Ainsi l’ensemble cherché est le cercle de centre le point de coordonnées (−0,5; 0,5) et de rayon {4,5 ≈ 2,12

Exercice 12 :

a) Compléter à l’aide des identités remarquables :

𝑥⁵− 6𝑥 + 9 = ( − )⁵ donc 𝑥⁵− 6𝑥 = ( − )⁵− 9 𝑥⁵+ 2𝑥 + 1 = ( + )⁵ donc 𝑥⁵ + 2𝑥 = ( + )⁵− 1 𝑥⁵+ 𝑥 + = (𝑥 + )⁵ donc 𝑥⁵+ 𝑥 = (𝑥 + )⁵−

b) Expliquer pourquoi 𝑥⁵− 5𝑥 + 9 n’est pas factorisable grâce à une identité remarquable.

Corrigé :

a) 𝑥⁵− 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)⁵ donc 𝑥⁵− 6𝑥 =(𝑥 − 3)⁵− 9 𝑥⁵+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)⁵ donc 𝑥⁵+ 2𝑥 =(𝑥 + 1)⁵− 1

𝑥⁵+ 𝑥 + 0,25= (𝑥 +0,5)⁵ donc 𝑥⁵+ 𝑥 = (𝑥 +0,5)⁵−2,25 b) 𝑥⁵− 5𝑥 est le début de l’identité (𝑥 − 2,5)⁵ qui vaut 𝑥⁵− 5𝑥 + 6,25.

Ainsi, 𝑥⁵− 5𝑥 + 6,25 est factorisable, mais pas 𝑥⁵− 5𝑥 + 9.

Remarque : 𝑥⁵− 5𝑥 + 9 ressemble également à (𝑥 − 3)⁵ = 𝑥⁵ − 6𝑥 + 9 mais le double produit ne

convient pas.

Exercice 13 : on considère l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation : 𝑥⁵+ 𝑦⁵− 6𝑦 = 0.

1. a) Justifier que l’équation de cet ensemble est celle d’un cercle.

b) Préciser son rayon et les coordonnées de son centre.

2. Déterminer si les points 𝑀(2; 1) et 𝑁(−3; 3) appartiennent à ce cercle.

Corrigé :

1. a) 𝑥⁵+ 𝑦⁵− 6𝑦 = 0 ⟺ (𝑥 − 0)⁵+ (𝑦 − 3)⁵− 9 = 0 ⟺ (𝑥 − 0)⁵+ (𝑦 − 3)⁵ = 9

b) C’est l’équation du cercle de centre le point de coordonnées (0; 3) et de rayon √9 = 3.

2. 2⁵+ 1⁵− 6 × 1 = 2 + 1 − 6 = −3 ≠ 0 donc 𝑀 n’appartient pas à ce cercle.

(−3)⁵+ 3⁵− 6 × 3 = 9 + 9 − 18 = 0 donc 𝑁 appartient à ce cercle.

Exercice 14 : on donne les points 𝐼(−2; −2), 𝐽(5; −4) et 𝐾(1; 2).

1. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [𝐼𝐽].

2. Le point 𝐾 appartient-il à cette droite ?

3. Déterminer une équation de la hauteur issue de 𝐾 dans le triangle 𝐼𝐽𝐾.

4. Déterminer les coordonnées de 𝐾′, projeté orthogonal de 𝐾 sur la droite (𝐼𝐽).

5. Calculer l’aire du triangle 𝐼𝐽𝐾.

Corrigé :

1. 𝐼𝐽///⃗ 1 7−22 dirige (𝐼𝐽) et est donc un vecteur normal à la médiatrice de [𝐼𝐽] : cette médiatrice a donc une équation cartésienne de la forme 7𝑥 − 2𝑦 + 𝑐 = 0.

Or le milieu de [𝐼𝐽], qui a pour coordonnées (1,5; −3), appartient à cette médiatrice, ce qui implique que : 7 × 1,5 − 2 × (−3) + 𝑐 = 0 ⟺ 16,5 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −16,5

Donc la médiatrice de [𝐼𝐽] a pour équation 7𝑥 − 2𝑦 − 16,5 = 0

2. 7 × 1 − 2 × 2 − 16,5 ≠ 0 donc 𝐾 n’appartient pas à cette médiatrice.

3. Cette droite admet également comme vecteur normal le vecteur 𝐼𝐽///⃗ donc son équation est de la forme 7𝑥 − 2𝑦 + 𝑐 = 0. Or 𝐾(1; 2) appartient à cette droite ce qui implique

7 × 1 − 2 × 2 + 𝑐 = 0 ⟺ 3 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −3 Donc cette perpendiculaire à (𝐼𝐽) passant par 𝐾 a pour équation 7𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0.

4. 𝐾′(𝑥; 𝑦) appartient à la droite précédente d’équation 7𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 et à la droite (𝐼𝐽) : déterminons l’équation de cette dernière.

𝐼𝐽///⃗ 1 7−22 dirige (𝐼𝐽) donc (𝐼𝐽) a une équation de la forme −2𝑥 − 7𝑦 + 𝑐 = 0.

Or 𝐼(−2; −2) ∈ (𝐼𝐽) ⟺ −2 × (−2) − 7 × (−2) + 𝑐 = 0 ⟺ 18 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = −18 D’où (𝐼𝐽): −2𝑥 − 7𝑦 − 18 = 0.

Ainsi, 𝐾^_(𝑥 ; 𝑦) vérifie : k−2𝑥 − 7𝑦 − 18 = 0(𝐿_.) 7𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 (𝐿₅) ⟺ k

−14𝑥 − 49𝑦 − 126 = 0(7𝐿_.) 14𝑥 − 4𝑦 − 6 = 0(2𝐿₅)

⟺ k−53𝑦 − 132 = 0(7𝐿_.+ 2𝐿₅)

−2𝑥 − 7𝑦 − 18 = 0(𝐿_.) ⟺ ‹ 𝑦 = −132 53

−2𝑥 = 18 + 7 × G−132

53H = 30 53

⟺ ‹𝑦 = −132 53 𝑥 = −15 53 Donc 𝐾^_1−^.N

N3 ; −^.35

N32 5. 𝐴Œ•Ž = ^Œ•×ŽŽ_₅

Or 𝐼𝐽 = xy5 − (−2)z⁵+ y−4 − (−2)z⁵ = √49 + 4 = √53 et 𝐾𝐾^_ = x1−^.N_N3− 12⁵+ 1−^.35_N3 − 22⁵ =√6O56~NOO66

N3 =^√O.5OV_N3 = ^36√N3_N3 =_√N3³⁶ Donc 𝐴_Œ•Ž = ^.₅√53 ×_√N3³⁶ =³⁶₅ = 17

Exercice 15 : dans chacun des cas suivants, déterminer le centre et le rayon du cercle si l’équation donnée correspond bien à un cercle.

a) 𝑥⁵+ 3𝑥 + 𝑦⁵ − 4𝑦 = 0 b) 𝑥⁵− 𝑥 + 𝑦⁵− 3𝑦 + 1 = 0 c) 𝑥⁵+ 6𝑥 + 𝑦⁵− 4𝑦 + 14 = 0 Corrigé :

a) 𝑥⁵+ 3𝑥 + 𝑦⁵ − 4𝑦 = 0 ⟺ (𝑥 + 1,5)⁵− 1,5⁵+ (𝑦 − 2)⁵− 2⁵ = 0 ⟺ (𝑥 + 1,5)⁵ + (𝑦 − 2)⁵ = 2,25 + 4 = 6,25

Donc c’est l’équation du cercle de centre le point de coordonnées (−1,5; 2) et de rayon {6,25.

b) 𝑥⁵− 𝑥 + 𝑦⁵− 3𝑦 + 1 = 0 ⟺ (𝑥 − 0,5)⁵ − 0,5⁵+ (𝑦 − 1,5)⁵− 1,5⁵+ 1 = 0 ⟺ (𝑥 − 0,5)⁵+ (𝑦 − 1,5)⁵ = −1 + 0,25 + 2,25 = 1,5

Donc c’est l’équation du cercle de centre le point de coordonnées (0,5; 1,5) et de rayon {1,5.

c) 𝑥⁵+ 6𝑥 + 𝑦⁵ − 4𝑦 + 14 = 0 ⟺ (𝑥 + 3)⁵− 3⁵+ (𝑦 − 2)⁵− 2⁵+ 14 = 0

⟺ (𝑥 + 3)⁵+ (𝑦 − 2)⁵ = −14 + 9 + 4 = −1 < 0

Donc cette équation ne correspond pas à celle d’un cercle (la somme de deux positifs est positive).

Exercice 16 : on considère l’ensemble des points 𝑀(𝑥; 𝑦) tels que 𝑥⁵− 2𝑎𝑥 + 𝑦⁵+ 4𝑦 + 8 = 0.

1. Montrer que l’équation de cet ensemble s’écrit aussi : (𝑥 − 𝑎)⁵+ (𝑦 + 2)⁵ = 𝑎⁵− 4.

2. a) Pour quelles valeurs de 𝑎 cette équation est-elle celle d’un cercle ? b) Préciser alors les coordonnées de son centre et son rayon.

Corrigé :

1. 𝑥⁵− 2𝑎𝑥 + 𝑦⁵+ 4𝑦 + 8 = 0 ⟺ (𝑥 − 𝑎)⁵− 𝑎⁵+ (𝑦 + 2)⁵− 4 + 8 = 0 ⟺ (𝑥 − 𝑎)⁵+ (𝑦 + 2)⁵ = 𝑎⁵− 4

2. a) Cette équation est celle d’un cercle ssi 𝑎⁵− 4 ≥ 0 (si 𝑎⁵− 4 = 0, le cercle aura un rayon nul donc sera réduit à un point). Autrement dit, considérons 𝑎⁵− 4 > 0.

C’est une inéquation du 2^nd degré. Les racines de 𝑎⁵− 4 sont 2 et −2.

Or un polynôme est du signe de 1 > 0 à l’extérieur. Donc 𝑎⁵− 4 > 0 ⟺ 𝑎⁵ > 4 ⟺ 𝑎 < −2 ou 𝑎 > 2.

Ce sera donc l’équation d’un cercle ssi 𝑎 ∈ ]−∞; −2[ ∪ ]2; +∞[.

b) Dans ce cas-là, le centre aura pour coordonnées (𝑎; −2) et le rayon sera de √𝑎⁵− 4.