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3 “Avoir plus d’éléments”

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

3 “Avoir plus d’éléments”

Comment faire maintenant pour comparer des en-

sembles infinis dont les cardinalités ne sont pas égales ?

(2)

3.1 À la recherche d’une définition

Notre définition d’égalité des cardinalités pour les ensembles infinis n’est qu’une généralisation du cas fini.

Comment faire pour l’inégalité des cardinalités ?

Des suggestions ?

(3)
(4)

Théorème I.10 Soient A et B, deux ensembles non vides. Alors,

application injective f : A −→ B ssi application surjective g : B −→ A.

(5)

Démonstration

⇒: Supposons qu’il existe une application injective de A vers B et démontrons qu’il existe une ap- plication surjective de B vers A.

Soit f : A −→ B, une application injective.

Soit a0 A.

h Un tel a0 existe car A est un ensemble non vide par hypothèse. i

Soit g = {hf(a), ai|a A}∪{hb, a0i|b 6∈ Ima.f} Montrons que g est une application surjective.

(6)

g B × A est total. C’est-à-dire

(∀b : B |: (∃a : A |: bga))

Soit b : B.

Alors, il y a deux cas à considérer : Cas 1 : b Ima.f.

Soit a : A choisis tel que f(a) = b

h Un tel a existe – définition de Ima.f. i

Alors on a bien que hf(a), ai ∈ g c’est-à-dire que hb, ai ∈ g

(7)

Cas 2 : b 6∈ Ima.f. Soit a = a0.

h Bien sûr, un tel a existe et est dans A i

Et on a bien que hb, a0i ∈ g

h Définition de g.i

Donc g est total.

(8)

g B × A est déterministe. C’est-à-dire (∀b : B, a, a0 : A | bga bga0 : a = a0)

Soient b : B et a, a0 : A choisis tels que bga bga0.

Ici aussi, il y a deux cas à considérer :

(9)

Cas 1 : b Ima.f. Alors, comme on a bga, on a donc hb, ai ∈ {hf(a), ai|a A}.

Ce qui implique que b = f(a).

D’autre part, comme on a bga0,

on a donc hb, a0i ∈ {hf(a), ai|a A}.

Ce qui implique que b = f(a0).

Par la transitivité de =, de b = f(a) et b = f(a0), on obtient que f(a) = f(a0).

Ce qui implique que a = a0. h Car f est injectif.i

(10)

Cas 2 : b 6∈ Ima.f.

Alors, comme on a bga,

on a donc hb, ai ∈ {hb, a0i|b 6∈ Ima.f}.

et hb, a0i ∈ {hb, a0i|b 6∈ Ima.f}.

Ce qui implique que a = a0 et a0 = a0. On a donc que a = a0.

h Transitivité de =.i

g est donc déterministe.

g est donc une application de B vers A.

(11)

g : B −→ A est surjectif. C’est-à-dire

(∀a : A |: (∃b : B |: bga))

Soit a : A.

Soit b := f(a).

h Un tel b existe et appartient à B, car f est total.i

Et on a bien bga.

h Définition de g dans le cas où b Ima.f. i

(12)

⇐: Supposons qu’il existe une application surjec- tive de B vers A et démontrons qu’il existe une application injective de A vers B.

(13)

Soit g : B −→ A, une application surjective.

Nous avons donc que pour tout a : A, il existe un b : B tel que g(b) = a.

h Car g est surjectif. i

Pour chacun des a : A, nous allons choisir un tel b : B que nous noterons ba.

Alors on a que pour tout a : A, (?) g(ba) = a et que

(??) ba : B.

Soit f : A −→ B défini par la règle de corres- pondance f(a) = ba.

(14)

Alors, clairement cette application est bien dé- finie, car (?) et (??) impliquent que pour tout a : A, il existe un et un seul élément qui est en f- relation avec a, c’est ba. Et ce ba appartient bien à B, l’ensemble d’arrivée de f. La relation f est donc bien total et déterministe.

Il ne reste qu’à démontrer que f est injectif, c’est- à-dire que

(∀a, a0 : A | f(a) = f(a0) : a = a0)

(15)

Soient a, a0 : A choisis tel que f(a) = f(a0).

Alors on a que ba = ba0.

h Définition de f. i

Et donc que g(ba) = g(ba0).

h Car g est une application. i

Et donc que a = a0.

h Voir (?). i

f est bien une application injective.

C.Q.F.D.

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