EXERCICE1 4 points Commun à tous les candidats
Le tableau suivant donne l’évolution de la vente de pots de plantes vertes en milliers de pots en France, de 1999 à 2004.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangxide l’année 1 2 3 4 5 6
Nombreyi de pots de plantes (en milliers de pots) 5 702 5 490 5 400 5 319 5 200 5 180
8,50 8,55 8,60 8,65
0 1 2 3 4 5 6 7
x z
r r r r r r
1. On posezi=lnyi. a. Voir l’annexe.
b. Voir ci-dessus.
2. a. La calculatrice livrez=8,66−0,02x.
b. Voir ci-dessus.
c. On az=lny=8,66−0,02x ⇐⇒ y=e8,66−0,02x=e8,66×e−0,02x. Or e8,66≈5745. Doncz≈5768e−0,02x.
3. a. 2006 correspond àx=8, d’oùy=≈5768e−0,02×8≈4915 (en milliers de pots vendus).
b. La différence est de 5085−4915=170.
La différence en pourcentage est donc de : 170
4915×100≈3,46 %.
EXERCICE2 5 points
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On considère la suite numérique (un) définie par :
( u1 = 12 et
un+1 = 1
3un+5 pour tout entier natureln>1 1. Voir la construction sur l’annexe.
La suite semble décroître vers 7,5.
2. a. Pour tout entier natureln>1, vn+1=un+1−15 2 =1
3un+5−15 2 =1
3un−5 2=1
3 µ
un−15 2
¶
= 1
3vn.
Cette égalité montre que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 1
3 de premier
15 15 9
b. On sait qu’alorsvn=v1× µ1
3
¶n
=9 2×
µ1 3
¶n
. c. On sait puisque−1<1
3<1, que lim
n→+∞
µ1 3
¶n
=0 et par suite que lim
n→+∞vn=0.
On a donc lim
n→+∞un−15
2 =0, c’est-à-dire que lim
n→+∞un=15 2. 3. a. un−15
2 610−6⇐⇒ vn610−6 ⇐⇒ 9 2×
µ1 3
¶n
610−6⇐⇒
µ1 3
¶n
62
9×10−6 ⇐⇒nln µ1
3
¶ 6 ln
·2 9×10−6
¸
⇐⇒n>ln
£2
9×10−6¤ ln¡1
3
¢ . Orln£2
9×10−6¤ ln¡1
3
¢ ≈13,9.
Doncu14approche 7,5 à moins d’un millionième.
b. Le premier terme est égal à 12 et la suite est décroissante, doncunne peut approcher 106 quel que soit le natureln.
EXERCICE2 5 points
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Partie A
1.
A
169
0,08 D
D
R
164 0,05 D
D
N
3
16 0,002 5 D
D 2. On ap(R∩D)=p(R)×pR(D)= 4
16×0,05=0,0125 à 10−4près.
3. On a de même :
p(A∩D)=p(A)×pA(D)= 9
16×0,08=0,045.
p(N∩D)=p(N)×pN(D)= 3
16×0,025≈0,000468, soit≈0,0005 à 10−4près.
D’après la formule des probabilités totales :
p(D)=p(R∩D)+p(A∩D)+p(N∩D)≈0,05796 soit 0,058 0 à 10−4près.
4. Il faut calculerpD(N)=p(D∩N p(D) =
163 ×0,9975
1−0,0005 ≈0,1985 à 10−4près.
Partie B
1. La probabilité que les trois camions « neufs » soient indisponibles est égale à (0, 01)3=0,000001≈ 0 à 10−3près.
2. La probabilité que les trois camions « neufs » soient disponibles est égale à (0,99)3.
Donc la probabilité que un camion « neuf » au moins soit indisponible est égale à 1−(0,99)3≈ 0,030.
3. Chacun des trois camions peut être indisponibles, les deux autres étant disponibles.
La probabilité cherchée est donc égale à 3×(0,99)2×0,01=0,029403, soit 0,029 au millième près.
EXERCICE3 6 points
Commun à tous les candidats
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
0 1
0 1
b b
b
A
B C
Γ
1. On lit (et on sait que)g(0)=0, g(2)=2, g′(1)=0, g′(2)= −1 car le coefficient directeur de la tangente est celui de la droite (AB).
2. La fonctiongest croissante pourx61, donc sa dérivée est positive sur cet intervalle ; la seule vérifiant ce critère est la courbe 2.
La fonctiongest négative pourx60, puis croissante sur [0 ;+∞[, donc toutes ses primitives sont décroissantes pourx60, puis croissante.
La seule fonction vérifiant ce critère est celle qui est représentée par la courbe 1.
3. On suppose que la fonctiongest de la forme :g(x)=(x+a)ebx+coùa,betcsont des nombres réels.
a. On ag(0)=0, g(2)=2 etg′(1)=0.
Org′(x)=ebx+c+b(x+a)ebx+c. Ces trois conditions se traduisent par le système :
0 = aec 2 = (2+a)e2b+c 0 = (1+b+a)eb+c
⇐⇒
0 = a
2 = 2e2b+c 0 = (1+b)eb+c
⇐⇒
0 = a
1 = e2b+c 0 = 1+b
⇐⇒
0 = a
0 = 2b+c
−1 = b
⇐⇒
0 = a
2 = c
b.
c. On a doncg(x)=xe−x+2.
4. On aG′(x)= −e−x+2+(x+1)e−x+2=e−x+2(−1+x+1)=xe−x+2=g(x).
Ceci montre queGest une primitive degsurR.
5. g étant positive sur l’intervalle [2; 3], on sait que l’aireK, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbeΓet les droites d’équationsx=2 etx=3 est égale à l’intégrale :
Z3
2 g(x) dx=[G(x)]32=G(3)−G(2)= −(3+1)e2−3+(2+1)e2−2=3−4e−1≈1,5 unité d’aire ce que l’on peut voir sur le graphique.
EXERCICE4 5 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule ré- ponse exacte. On portera la réponse dans le tableau prévu en annexe (Annexe 1).
Barème : une bonne réponse rapporte0,5point ; une mauvaise réponse enlève0,25point. L’absence de réponse n’apporte, ni n’enlève de point. Si le total de point est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est ramenée à0.
1. f(x)=x(1+e−x)+1=x+xe−x+1=ln e+e−x(x+xex) : réponse a.
2. u(−1)=2etg(2) = - 1,doncg[u(- 1)] = - 1 : réponse a.
3. Réponse c. car lim
x→+∞u(x)= +∞et lim
x→+∞g(x)= +∞, donc lim
x→+∞g[u(x)]= +∞.
4. Réponse b. : sur l’intervalle [2 ; +∞[ la fonctiongcontinue strictement croissante est supé- rieure à−1 prend une seule fois la valeur 3
5. C’est la réponse c.
6. On ag′(x)= −2xe−x2+1: réponse b.
7. On aF′(x)=f(x)et onsai t quesur[3 ; 5], 16f(x)61+e, donc f est positive sur [3; 5] : la fonctionFest donc croissante sur cet intervalle : réponse c.
8. Les réponses b. et c. sont bien entendu fausses et f(x)−(x+1)= 5
x−4 et lim
x→+∞
=0, donc la droite dont une équation esty=x+1 est asymptote àC au voisinage de plus l’infini.
9. Réponse b. (cours)
10. La réponse a. est fausse (cours), la réponse c. aussi.
Réponse b.
ANNEXE 1 à rendre avec la copie
Exercice 1 (question 1. a.)
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangxi 1 2 3 4 5 6
Nombre (en mil- liers) yi de pots de plantes
5 702 5 490 5 400 5 319 5 200 5 180
zi=lnyi 8,65 8,61 8,59 8,58 8,56 8,55
Exercice 4
Pour chaque question du Q.C.M., cocher la case correspondant à la bonne réponse Questions Réponse a. Réponse b. Réponse c.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ANNEXE 2 : cette feuille n’est pas à rendre avec la copie Courbes de l’exercice 3 - question 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
−1
−2 O
Courbe 1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
−1 O
Courbe 2
O
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
−1
Courbe 3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6
−1
−2 O
Courbe 4
ANNEXE 3 : Exercice 2 - Spécialité
À rendre avec la copie
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y=x
y=13x+5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 2 3 4 5 6 7 u4u83 u92 10 11 12 13 14 15 16u1
