Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef

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Nom ………. Prénom :………. N° :…………

Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef

3h 4

Sc-tec3

DEVOIR DE SYNTHESE N°3

Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie NB :Le sujet comporte trois pages

EXERCICE N°1(3pts)

Cocher la bonne réponse aucune justification n’est demandée

1) Cf désigne la courbe représentative de la fonction ( )f x =x² -1

²

1 ( )

A f x dx

=

∫

∫

∫

2) Soit f la fonction définie sur IR par : ( ) f x = e^x - x

L'aire du domaine du plan limité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives : x = 0 et x = 1 est : ¹

0

( ) 3

2 A =

∫

3) ^{1 1}

0 0

(ln( 1) 3) ln( 1 ) 3

x dx 1dx

+ + + x =

∫ ∫

Vrai Faux

4) Soit

0 ( ^x cos ² )

I =

∫

∫

Gebr@Tic

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Lycée Rue A.Amara Hichem Khazri Le Kef

3h 4

Sc-tec3

DEVOIR DE SYNTHESE N°3

Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie NB :Le sujet comporte trois pages

EXERCICE N°2(5pts)

I) Soit g la fonction définie sur IR par : ( )g x =e^x − −x 1

1. Etudier les variations de la fonction g sur IR. En déduire le signe de g sur IR 2. Justifier que :∀ ∈x IR, e^x − >x 0

II) On considère la fonction f définie sur IR par : ( ) _xx f x =e x

−

On note Cf sa courbe représentative dans le plan rapporté a un repère orthogonal ( , , )O i j r r

. L’unité graphique est 2cm sur l’axe des abscisses et 5cm sur l’axe des ordonnées

1. a) Montrer que lim ( ) 0

x f x

→+∞ = et lim ( ) 1

x f x

→−∞ = −

b) Interpréter graphiquement les résultats 2. a) Montrer que pour tout x : (1 )

'( ) ( )²

x x

f x x e

e x

= −

− ^.

b) Etudier le sens des variations de f puis dresser son tableau de variations 3. a) Déterminer une équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 0 b) A l’aide de la partie I), étudier la position relative de Cf et T

4. Tracer la droite T , les asymptotes et la courbe Cf.

EXERCICE N°3(4pts)

On considère la suite u définie sur IN par :

0

1

3 2

2 ;

n 3

n

u

u n IN

+ u

 =

 −

 = ∈

 −

1) a) Montrer par récurrence que n∀ ∈IN ; 1<u_n <2 b) Montrer que : ₁ ( 1)( 2)

3)

n n

n n

n

u u

u u

+ u

− − −

− =

− c) En déduire que la suite u est décroissante

d) Montrer que u est convergente et calculer sa limite l 2) On considère la suite v définie sur IN par : 2

1

n n

n

v u u

= −

−

a) Montrer que v est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme v₀ = −1 b) Exprimer v_nen fonction de n

c) En déduire que : 1

1 1 2

n n

u = +

+ . Retrouver lim _n

n u

→+∞

Gebr@Tic

3 EXERCICE N°4(3pts)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , , )O i j k r r r

. On considère les points A(2, 0, 0) ;B(0, 3, 0) et (0,1, 3)

C

1) a) Déterminer le vecteur ABuuur∧ACuuuur

b) En déduire que les points A, B et C déterminent un plan

c) Montrer que le plan (ABC) à) pour équation cartésienne : 9x +6y +4z − =18 0 2) Calculer le volume du tétraèdre OABC.

3) Calculer l’aire du triangle ABC EXERCICE N°5(5pts)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , , )O i j k r r r

.

Soit S l’ensemble des points M x y z tels que : ²( , , ) x +y²+z²−2x +4y +4z + =5 0 1) Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre C et le rayon R 2) Soit P le plan dont une équation cartésienne est :x −2y +2z + =2 0

a. Montrer que S ∩P est un cercle Γ

b. Déterminer les coordonnées du centre A et le rayon r de Γ

3) Soit le point B a b( , , 1)− un point de la sphère S où a et b sont deux réels et soit Q le plan d’équation :Q: (a−1)x + +(b 2)y + − +z a 2b+ =3 0

a. Montrer que B∈Q

b. Montrer que S et Q sont tangents en B

Bon Travail Bon Travail Bon Travail Bon Travail

Gebr@Tic

4 Représentation graphique de l’

EXERCICE N°2

4. Tracer la droite T , les asymptotes et la courbe Cf.

Gebr@Tic