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Correction devoir surveillé n°8 Sujet A
Exercice 1
1) ; 0 , 0; et ; donc ; 2)
et donc : . ! " 0 donc les vecteurs et sont orthogonaux et les droites et sont perpendiculaires.
Exercice 2
#$. #% #$ & #% & cos$#% 6 & 4 & cos,- 24 &/ Donc #$. #% 12
#$. #1 #$. #% " %1 #$. #% " #$. %1 12 " #$ 12 " 6 Donc #$. #1 48
$%. $# $# " #%.$# $#" #%. $# 6! #%. #$ 36 ! 12 Donc $%. $# 24
Exercice 3
On considère un repère 4; 5; 6 tel que 4 5 et 47 46. Alors 40; 0, ; 0, 70; 4, ; 4 et 0; 8.
On cherche 8 tel que et 4 soient perpendiculaires, donc . 4 0. Or : !8 et 4 4 .
Donc . 4 ! & " 8 & 4.
On en déduit l’équation : !" 48 0 et donc, comme : 0, 8 ;.
Finalement, le point appartient au segment <47= et est tel que 4 >?; >@/A
Exercice 4
1) Plusieurs méthodes sont possibles : coordonnées dans un repère ou décomposition par la relation de Chasles. Cette dernière méthode donne :
4 .4B 4 " . 47 " 7B 4.47 " 4. 7B " . 47 " . 7B Or 4.47 0 car 47 est un carré et . 7B 0 car les vecteurs sont orthogonaux.
De plus, 4. 7B 4 & 7B car les vecteurs sont colinéaires et de même sens et . 47 & 47 pour la même raison. Finalement : 4 .4B &/ "/ & /"/ et donc 4 .4B
2) D’une autre manière : 4 .4B 4 & 4B & cosC
Or, on peut calculer 4 et 4B en utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles 4 et 47B. 4" 4 donc 4 " / D; et donc 4 √D . De même, on trouve 4B √D . D’
cosC
√52 &√5 2
5
4
& 4 5 4
5 On en déduit : C G 37°
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Correction devoir surveillé n°8 Sujet B
Exercice 1
3) ; 0 , 0; et J K;J K donc ; 4)
et 47 donc : .47 ! " 0 donc les vecteurs et 47 sont orthogonaux et les droites et 47 sont perpendiculaires.
Exercice 2
#$. #% #$ & #% & cos$#% 4 & 6 & cosL2M3 N 24 & L!1 2N Donc #$. #% !12
#$. #1 #$. #% " %1 #$. #% " #$. %1 !12 " #$ !12 " 4 Donc #$. #1 4
$%. $# $# " #%.$# $#" #%. $# 4! #%. #$ 16 " 12 Donc $%. $# 28
Exercice 3
1) Plusieurs méthodes sont possibles : coordonnées dans un repère ou décomposition par la relation de Chasles. Cette dernière méthode donne :
4 .4B 4 " . 47 " 7B 4.47 " 4. 7B " . 47 " . 7B Or 4.47 0 car 47 est un carré et . 7B 0 car les vecteurs sont orthogonaux.
De plus, 4. 7B 4 & 7B car les vecteurs sont colinéaires et de même sens et . 47 & 47 pour la même raison. Finalement : 4 .4B &/ "/ & /"/ et donc 4 .4B
2) D’une autre manière : 4 .4B 4 & 4B & cosC
Or, on peut calculer 4 et 4B en utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles 4 et 47B. 4" 4 donc 4 " / D; et donc 4 √D . De même, on trouve 4B √D . D’
cosC
√52 &√5 2
5
4
& 4 5 4
5
On en déduit : C G 37°
Exercice 4
On considère un repère 4; 5; 6 tel que 4 5 et 47 36. Alors 40; 0, ; 0, 70; 3, ; 3 et 0; 8.
On cherche 8 tel que et 4 soient perpendiculaires, donc . 4 0. Or : !8 et 4 3 .
Donc . 4 ! & " 8 & 3.
On en déduit l’équation : !" 38 0 et donc, comme : 0, 8 -.
Finalement, le point appartient au segment <47= et est tel que 4 >?- >@O
