Correction de l’interrogation écrite n◦3 – Sujet A Exercice 1. — Étant donné que 3−−→
AB +−−→
AC −4−−→
AD =−→
0 , on a, grâce à la relation de Chasles, 3−−→
AB +−−→
AB +−−→
BC −4(−−→
AB +−−→
BD ) =−→
0 donc −−→
BC −4−−→
BD =−→
0 . Finalement,−−→
BC = 4−−→
BD donc les vecteurs −−→
BC et−−→
BD sont colinéaires ce qui assure que les points B, C et D sont alignés . Exercice 2
1.
A B
C D
E
F G
2. Grâce à la relation de Chasles,−−→
BF =−−→
BA +−−→
AE +−−→
EF . Or, par hypothèse,−−→
AE = 12−−→
BG et, puisque ABCD est un parallélogramme,−−→
BA +−−→
BC =−−→
BD donc −−→
BF =−−→
BD + 12−−→
BG . 3. Ainsi, les vecteurs−−→
BF , −−→
BD et−−→
BG sont coplanaires donc les points B, D, F et G sont coplanaires.
Exercice 3
1. En utilisant la relation de Chasles et le fait que−−→
BF =−−→
EA , on a
−→ JI =−→
JB +−−→
BA +−→
AI =−1 4
−−→BF +−−→
BA + 1 2
−−→AE =−1 4
−−→BF +−−→
BA + 1 2
−−→BF
donc −→
JI = 14−−→
BF +−−→
BA . Par la relation de Chasles,−→
JC = −→
JB +−−→
BC donc −→
JC =−14−−→
BF +−−→
BC . Enfin, en utilisant la relation de Chasles et le fait que−−→
BH =−−→
BA +−−→
BC +−−→
BF ,
−−→
JK = −→
JB +−−→
BK =−1 4
−−→BF +1 4
−−→BH = −1 4
−−→BF +1 4(−−→
BA +−−→
BC +−−→
BF ) donc −−→
JK = 14−−→
BA + 14−−→
BC . 2. On constate que
1 4
−→ JI + 1
4
−→JC = 1 4
1
4
−−→BF +−−→
BA
+1 4
−1 4
−−→BF +−−→
BC
= 1 4
−−→BA + 1 4
−−→BC
donc 14−→
JI +14−→
JC = −−→ JK . Ainsi, les vecteurs −→
JI , −→
JC et −−→
JK sont coplanaires et, par suite, les points I, J, K et C sont coplanaires.
Correction de l’interrogation écrite n◦3 – Sujet B Exercice 1. — Étant donné que 2−−→
AB +−−→
AC −3−−→
AD =−→
0 , on a, grâce à la relation de Chasles, 2−−→
AB +−−→
AB +−−→
BC −3(−−→
AB +−−→
BD ) =−→
0 donc −−→
BC −3−−→
BD =−→
0 . Finalement,−−→
BC = 3−−→
BD donc les vecteurs −−→
BC et−−→
BD sont colinéaires ce qui assure que les points B, C et D sont alignés . Exercice 2
1.
A B
C D
M
N P
2. Grâce à la relation de Chasles,−−→
BN =−−→
BA +−−→
AM +−−→
MN . Or, par hypothèse,−−→
AM = 12−−→
BP et, puisque ABCD est un parallélogramme, −−→
BA +−−→
BC = −−→
BD donc −−→
BN = −−→
BD + 12−−→
BP . 3. Ainsi, les vecteurs−−→
BN , −−→
BD et−−→
BP sont coplanaires donc les points B, D, N et P sont coplanaires.
Exercice 3
1. En utilisant la relation de Chasles et le fait que−−→
BF =−−→
EA , on a
−−→NM =−−→
NB +−−→
BA +−−→
AM =−1 4
−−→BF +−−→
BA + 1 2
−−→AE =−1 4
−−→BF +−−→
BA + 1 2
−−→BF
donc −−→
NM = 14−−→
BF +−−→
BA . Par la relation de Chasles,−−→
NC = −−→
NB +−−→
BC donc −−→
NC =−14−−→
BF +−−→
BC . Enfin, en utilisant la relation de Chasles et le fait que−−→
BH =−−→
BA +−−→
BC +−−→
BF ,
−−→NP =−−→
NB +−−→
BP =−1 4
−−→BF +1 4
−−→BH =−1 4
−−→BF + 1 4(−−→
BA +−−→
BC +−−→
BF ) donc −−→
NP = 14−−→
BA + 14−−→
BC . 2. On constate que
1 4
−−→NM + 1 4
−−→NC = 1 4
1
4
−−→BF +−−→
BA
+1 4
−1 4
−−→BF +−−→
BC
= 1 4
−−→BA + 1 4
−−→BC
donc 14−−→
NM +14−−→
NC = −−→
NP . Ainsi, les vecteurs −−→
NM , −−→
NC et −−→
NP sont coplanaires et, par suite, les points M, N, P et C sont coplanaires.
