-espace vectoriel

(1)

Chapitre 1

Compléments d’algèbre linéaire

1.1 Algèbre linéaire

1.1.1 Bases et dimension d’un

^K

-espace vectoriel

Exercice 1.1.1 ⋆⋆ Mines PC 2011

Soitn∈N. Montrer que la famille (fi)i∈0,n où pour touti ∈ 0,n, fi:x7→cosⁱx est libre dans^F(R,R).

Exercice 1.1.2 ⋆

SoitE=M_n₍K)le^K-espace vectoriel des matrices carrées de taillen et soit^Dn(K)le sous- espace vectoriel des matrices diagonales de taillen. On poseD=Diag(1, 2, . . . ,n). Montrer que (1, D, D², . . . , Dⁿ⁻¹)est une base de^Dn(K).

Exercice 1.1.3 ⋆

SoitEun^K-espace vectoriel et(u1, . . . ,un)une famille libre. Les familles S=(u1−u2,u2−u3, . . . ,un−1−un,un−u1)

T=(u1+u2, . . . ,un−1+un,un+u1) sont-elles libres ?

Exercice 1.1.4 ^⋆⋆ Mines PC 2003

Dans l’espaceE=F(R,R), on considère les fonctions définies par_∀k∈N∗, fk:

½ R −→ R

x 7−→ sin(kx) Montrer que_∀n_∈^N^∗, la familleS=(f1, . . . ,fn)est libre.

Exercice 1.1.5 ⋆⋆⋆ X PC 2017

Soienta0<a1<. . .<an−1<an tels quea0=0eta1=1une subdivision de[0, 1]. On note V l’ensemble des fonctions de[0, 1] à valeurs dans ^Rqui sont affines sur chaque intervalle ]ak,ak+1[etWl’ensemble des fonctions deVcontinues sur[0, 1]. CalculerdimVetdim W.

Exercice 1.1.6 ⋆ X PC 2017

SoientEetFdeux sous-espaces vectoriels de^R⁶chacun de dimension4. Le sous-espaceE∩F peut-il être une droite vectorielle ?

Soit E un^K-espace vectoriel de dimension finienÊ1 et soientv1, . . . ,vn n vecteurs deE. Montrer que

Vect³¡

vi−vj¢

(i,j)∈1,n²

´

est de dimension au plus égale àn−1.

1.1.2 Applications linéaires, noyau, image

Exercice 1.1.8 ⋆⋆

SoitEl’espace vectoriel des fonctions continues sur^R. On définit

ϕ:

½ E −→ E

f 7−→ ϕ(f) oùϕ(f) :









R −→ R x 7−→



 shx

x f(x) six6=0 f(0) six=0 1. Montrer queϕest bien définie et queϕ∈L(E).

2. DéterminerKerϕetImϕ.

Exercice 1.1.9 ^⋆ Formule d’Euler-Poincaré Une suite d’applications linéaires

{0} ^u⁰ //_E₁

u1

//_E₂

u3

//_E₃_{. . .}

u_n−1

//_E_n

un

//_{0}

(2)

est exacte si et seulement si_∀i∈ 0,n−1, Imui=Kerui+1. Montrer que si tous lesEisont de dimension finie alors on a la formule d’Euler-Poincaré :

Xn k=1

(−1)^kdimEk=0.

Exercice 1.1.10 ^⋆ exo_inclusion_noyaux

SoientE, F, Gtrois^K-espace vectoriel, etf ∈L(E, F)etg∈L(F, G). Montrer que : 1. Ker(g o f)=f⁽⁻¹⁾(Kerg)

2. Kerf ⊂Ker(g◦f) 3. Img◦f ⊂Img

Exercice 1.1.11 ^⋆

SoitEun^K-espace vectoriel etu∈L(E)un endomorphisme. On pose P={x∈E|u(x)=x}

1. Montrer quePest un sous-espace vectoriel deE. 2. Montrer que la sommeKeru+Pest directe.

Soientf etgdeux endomorphismes d’un^K-espace vectorielE. 1. Montrer queImf ⊂Kerg⇐⇒g o f=0.

2. Montrer quef og=g o f =⇒ Kergest stable par f. 3. Montrer queg o f=id =⇒ f injective.

Exercice 1.1.13 ^⋆⋆

SoientEetFdeux^K-espaces vectoriels et f ∈L(E, F). Montrer que pour toute partieAdeE, f(Vect(A))=Vect^¡f(A)¢.

On considère troisK-espaces vectorielsE,F,Get deux applicationsE−→^u F−→^v Gtelles que : 1. l’applicationuest linéaire et surjective ;

2. l’applicationvouest linéaire deEversG. Montrer que l’applicationvest linéaire.

Soient trois^K-espaces vectorielsE,F,Get deux applications linéairesf ∈L(E, F),g∈L(F, G). Montrer que :

1. Ker(g o f)=Kerf ⇐⇒Kerg∩Imf ={OE}; 2. Im(g o f)=Img⇐⇒Kerg+Imf =F.

SoientEun^K-espace vectoriel etuun endomorphisme deE. 1. On suppose dans cette question queu²=0.

(a) Montrer queImu⊂Keru.

(b) Montrer queidE+uest un automorphisme deE. 2. (a) Montrer que :Imu∩Keru={0}⇐⇒Keru²=Keru.

(b) Montrer que :Keru+Imu=E⇐⇒Imu²=Imu. Exercice 1.1.17 ^⋆⋆

Soit un^Kespace vectorielEet deux endomorphismes(u,v)∈(L(E))²qui commutent : u◦v=v◦u

1. Montrer queImuetKerusont stables parv, c’est-à-dire v(Keru)⊂Keruetv(Imu)⊂Imu.

2. Si l’on suppose de plus queE=Keru⊕Kerv, montrer que Imu⊂KervetImv⊂Keru Exercice 1.1.18 ^⋆⋆⋆

Soit un K-espace vectorielE et un endomorphismeu∈L(E)tel que _∀x_∈E, le système de vecteurs(x,u(x))est lié. Montrer que l’applicationuest une homothétie.

Soitf ∈L_{(E, F)}avecEetFdeux^K-espaces vectoriels tels quedimE=netdim F=p. Dire et démontrer, pour chacune des phrases suivantes, si elle caractérise l’injectivité, la surjectivité ou la bijectivité def :

1. L’image de toute famille libre deEpar f est libre

2. Imf =F

3. L’image d’une base deEparf est gé- nératrice deF.

4. rgf =n.

5. L’image d’une base de E par f est libre.

6. rgf =p.

7. L’image d’une base deEparf est une base deF.

8. L’image de toute famille génératrice deEparf est génératrice deF. 9. _∃g∈L_{(F, E) ,} _g_◦_f ₌_id_E 10. ∃g∈L_{(F, E) ,} _f_◦_g₌_id_F Exercice 1.1.20 ^⋆

Soit

ϕ:

½ R[X −→ R[X

P 7−→ P(X+1)+P(X−1)−2P(X) . 1. Montrer queϕest linéaire ;

2. Montrer queϕn’est pas injective et déterminer son noyau ;

3. Montrer que pour toutnÊ0,ϕn induit un isomorphisme entreX²R_n[X]et^Rn[X];

(3)

4. En déduire queϕest surjective.

Exercice 1.1.21 ^⋆⋆⋆

SoitEun^K-espace vectorielf ∈L(E)un endomorphisme. On définit ϕf :

½ L(E) −→ L(E) u −→ f◦u−u◦f 1. Montrer queϕf ∈L₍L_(E)).

2. Montrer que sif est nilpotent, alorsϕf est aussi nilpotent.

Exercice 1.1.22 ⋆⋆ X PC 2016

SoitVun espace vectoriel de dimensionnetf ∈L_(V). Montrer l’équivalence entre : 1. il existe(g,h)∈(L_(V))²tel que0=h◦getf =g◦h.

2. f²=0.

1.1.3 Rang d’un endomorphisme

SoitEun^K-espace vectoriel de dimensionnet soitf ∈L_(E). Montrer que Kerf =Imf ⇐⇒£

f²=0 et n=2 rg(f)¤ . Exercice 1.1.24 ^⋆⋆

Soitf ∈L₍Rⁿ)tel quefⁿ⁻¹6=0etfⁿ=0. Quel est le rang def ? Exercice 1.1.25 ^⋆⋆⋆ X PC 2003

Soientn∈N∗etA, B∈M_n₍K). Montrer que :

rg(A)+rg(B)−nÉrg(AB).

Exercice 1.1.26 ⋆ Mines 2003, CCP 2001, Centrale 1999

Soientn∈N∗etA, B∈M_n₍K)telles queAB=0etA+Best inversible. Montrer que : rg(A)+rg(B)=n.

Exercice 1.1.27 ⋆⋆⋆ X PC 2009-2017 1. SoientAetBdeux matrices de^Mn,p(R). Montrer que :

¯¯rg A−rgB¯¯Érg(A+B)Érg A+rgB.

2. SoientV1, . . . , Vn∈M_n,1₍R). On suppose que Xk i=1

ViViT

=In. Montrer quekÊn.

Exercice 1.1.28 ^⋆⋆ Centrale PC 2016 SoientA∈M_3,2₍R)etB∈M_2,3₍R)telles queAB=





0 0 0

0 1 0

0 0 1



. 1. Montrer queABest un projecteur.

2. Déterminer les rangs deAetB. 3. Montrer queBA=I2.

1.1.4 Produit, sommes, sommes directes de sous-espaces vectoriels

Déterminer un supplémentaire deF=Vect(u,v)oùu=(1, 0, 1)etv=(1, 1, 0)dans^R³ Exercice 1.1.30 ⋆

On considère le^R-espace vectorielE=R³etu=(1, 1, 1)∈R³; Posons : F=©¡

x,y,z¢

∈R³|x+y−z=0ª

et G=Vect(u) Prouver queFetGsont des sous-espaces supplémentaires deE.

Exercice 1.1.31 ⋆ DansE=R⁴, on considère l’ensemble

F={(x,y,z,t)∈E|x=yetx−y+t=0}

1. Montrer queFest un sous-espace vectoriel deE, et déterminer une base deF. 2. Déterminer un supplémentaire deFdansE.

3. Le supplémentaire trouvé est-il unique ? Exercice 1.1.32 ⋆

Soit l’espace vectorielEdes polynômes à coefficients réels de degré_É4. On considère l’ensemble

F={P∈E|P(0)=P^′(0)=P^′(1)=0}

1. Montrer queFest un^K-espace vectoriel, déterminer une base deFet préciser sa dimension.

2. Montrer que le sous-espace vectorielG=Vect(1, X, 1+X+X²)est un supplémentaire de FdansE.

Exercice 1.1.33 ⋆

Dans l’espace vectoriel^R⁴, on considère les sous-espaces vectoriels F=Vect((1, 2, 1, 3), (2, 0, 0, 1)) etG=©

(x,y,z,t)∈R⁴|2x+y+z=0,x=yª 1. Déterminer les dimensions des sous-espaces vectorielsFetG.

2. Montrer queF∩G={0}.

(4)

3. En déduire que^R⁴₌F⊕G. Exercice 1.1.34 ⋆⋆⋆

SoitEun^K-espace vectoriel etf ∈L_(E)tel quef³=id. Montrer que Ker¡

f−id¢

⊕Im¡ f −id¢

=E.

Soientn∈NetE=R_n[X]. Pour touti∈ 0,n, on pose Fi=©

P∈E| ∀j∈ 0,n\ {i}, P(j)=0ª . Montrer queE=F0⊕. . .⊕Fn.

Exercice 1.1.36 ⋆

Soientu1, . . . ,un∈L_(E)des endomorphismes d’un^K-espace vectorielEtels queu1+. . .+un= idet tels que

∀i,j∈ 1,n, i6=j =⇒ ui◦uj=0.

1. Montrer que pour touti∈ 1,n,ui est un projecteur.

2. Montrer que^Lⁿ_i₌₁Imui=E. 3. Montrer que(u1, . . . ,un)est libre.

4. Soienta1, . . . ,an∈Kdes scalaires distincts etu=Pn k=1aiui. (a) Soitp∈N. Exprimeru^p en fonction dep, desai et desui.

(b) Montrer que^¡idE,u,u², . . . ,uⁿ⁻¹¢est libre et que^¡idE,u,u², . . . ,uⁿ¢est liée.

Indication 1.0 : Pour la dernière question, on pourra s’intéresser au sevFde^L(E)donné par F=Vect(u1, . . . ,un), montrer que pour toutk∈N,u^k∈Fet utiliser une base deF.

SoientEun^K-espace vectoriel de dimension finie etp1, . . . ,pmdes projecteurs deEtels que p1+. . .+pm=id. Montrer que

E= Mm i=1

Impi. Exercice 1.1.38 ^⋆

SoitE un ^K-espace vectoriel de dimension finie et soientF1, . . . , Fm des sevs deE tels que E=Pm

i=1Fi. Montrer qu’il existe des sevsG1, . . . , GmdeEtels que

∀i∈ 1,m, Gi⊂Fi et E= Mm i=1

Gi.

Exercice 1.1.39 ⋆⋆⋆ Un grand classique

Soitf un endomorphisme d’un^K-espace vectorielEde dimensionn. Pour toutp∈N, on note : Kp=Kerf^p et Ip=Imf^p.

1. Montrer que :

∀p∈N, Kp⊂Kp+1 et Ip+1⊂Ip.

2. Prouver qu’il existe un plus petit entier naturelrÉntel que :_∀iÊr, Ki=Ki+1. 3. Montrer de même que :

∀iÊr, Ii=Ii+1. 4. Montrer que :E=Kr⊕Ir.

Exercice 1.1.40 ⋆

SoientEun^K₋espace vectoriel etE1, E2, E3trois sevs deEtels queE=E1⊕(E2⊕E3). Montrer queE=E1⊕E2⊕E3.

Exercice 1.1.41 ⋆

SoientEun^K-espace vectoriel etF, F^′, G, G^′des sevs deEtels que : 1. E=F⊕G,

2. E=F^′⊕G^′, 3. F^′⊂G

Montrer queE=F⊕F^′⊕¡ G∩G^′¢. Exercice 1.1.42 ⋆

SoientEun^K-espace vectoriel etu∈L_(E)un endomorphisme deEtel queu³=u. 1. Que peut-on dire deuet deEquanduest bijective ?

2. On supposeu non bijective. Montrer l’équivalenceE=E1⊕E2⊕E3 ⇐⇒u³=u où E1=Keru,E2=Ker (u−id),E3=Ker (u+id).

Exercice 1.1.43 ⋆

SoitEun^K-espace vectoriel de dimension finie et soitu∈L_(E). 1. Montrer l’équivalence :

Keru=Keru²⇐⇒E=Keru⊕Imu.

Est-ce vrai en dimension infinie ?

2. On suppose queKeru=Keru². Montrer que :∀nÊ2, Keruⁿ=Keru. 3.

1.1.5 Hyperplans, formes linéaires

1. Montrer que deux supplémentaires dans un ^K-espace vectoriel E d’un même sous- espace vectoriel sont isomorphes.

2. SoientE=C⁰(R,R),a∈RetFa=©

f ∈E|f(a)=0ª. (a) Que peut-on dire deFa?

(5)

(b) Déterminer tous les supplémentaires deFadansE. Exercice 1.1.45 ^⋆

Dans le^C-espace vectorielE=M_n₍C), on considère un hyperplanHstable pour le produit.

Montrer queIn∈H.

Indication 1.0 : On pourra raisonner par l’absurde et montrer l’implicationM²∈H=⇒ M∈H. Exercice 1.1.46 ⋆

SoitEun^K-espace vectoriel de dimension finie et soitFun sev deEtel queF6=E. 1. Montrer qu’il existe un hyperplanHdeEcontenantF.

2. Montrer queFest égal à l’intersection des hyperplans le contenant.

Exercice 1.1.47 ⋆ À savoir retrouver

Montrer que deux formes linéaires non nulles sont proportionnelles si et seulement si elles ont le même noyau.

SoientHetKdeux hyperplans d’un espace vectorielEde dimensionn. Que peut-on dire de la dimension deH∩K?

Exercice 1.1.49 ^⋆ Centrale 2012

Soitf un endomorphisme de^R³tel quef²=0. Montrer qu’il existe un vecteuru∈R³etϕune forme linéaire sur^R³tels que :

∀x∈R³, f(x)=ϕ(x)u.

1.1.6 Endomorphismes commutants

Exercice 1.1.50 ^⋆⋆⋆ Endomorphisme commutant avec tous les autres exo_homotheties_commutent_avec_endoms

SoientEun^K-espace vectoriel de dimension finienÊ2.

1. Démontrer que les homothéties sont les seuls endomorphismesf deEtels que :

∀x∈E, ¡ x,f(x)¢

est une famille liée.

2. En déduire que les homothéties sont les seuls endomorphismes deE qui commutent avec tout autre endomorphisme.

Indication 1.0 : Pour toutx∈E, on pourra considérer une projection surVect(x)).

Exercice 1.1.51 ^⋆ ENS PC 99 exo_endom_commutent_polynome_28_05_14

SoientE un^K-espace vectoriel de dimensionn etu∈L_(E). On suppose qu’il existex0∈E tel quee =¡

x0,u(x0), . . . ,uⁿ⁻¹(x0)¢ soit libre. Montrer que les seuls endomorphismes deE commutant avecusont les polynômes enu.

Exercice 1.1.52 ⋆

SoitEun^K-espace vectoriel de dimensionnÊ2et soitu∈L_(E)un endomorphisme deEtel queuⁿ=0etuⁿ⁻¹6=0(On dit queuest nilpotent d’indicen).

1. Montrer queun’est pas bijective.

2. Montrer que l’ensemble^C(u)={v∈L_(E)_|_u_◦_v₌_v_◦_u}des endomorphismes deEqui commutent avecuest une sous-algèbre de^L(u).

3. Déterminer le rang deu.

4. Déterminer la dimension de^C(u). Exercice 1.1.53 ^⋆⋆ X PC 2017

On noteΩl’ensemble des endomorphismes de^Mn(R)qui commutent avec la transposition.

Montrer queΩest un^R-espace vectoriel et calculer sa dimension.

1.1.7 Sous-espaces stables

Exercice 1.1.54 ⋆

Soientuetvdeux endomorphismes d’un^K-espace vectorielE.

On suppose queuetvcommutent, montrer queImuetKerusont stables parv. Que dire de la réciproque ?

Montrer qu’un endomorphismef d’un^K-espace vectorielEcommute avec un projecteurpsi, et seulement si, les espacesImpetKerpsont stables par f.

Soituun endomorphisme d’un^K-espace vectorielEde dimension finie.

On pose

N= [∞ p=0

Keru^p et I=

\∞ p=0

Imu^p.

1. Montrer qu’il existen∈Ntel queN=Keruⁿ etI=Imuⁿ.

2. Établir queNetIsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables paruet tels que les restrictions deuàNetIsoient respectivement nilpotente et bijective.

3. Réciproquement on supposeE=F⊕GavecFetGsous-espaces vectoriels stables par u tels que les restrictions deu àFetGsoient respectivement nilpotente et bijective.

ÉtablirF=NetG=I. Exercice 1.1.57 ^⋆

SoientEun^R-espace vectoriel de dimension finiennon nulle etf ∈L_(E)vérifiantf²= −idE. 1. Soita∈Enon nul. Montrer que la famille(a,f(a))est libre.

On poseF(a)=Vect¡

a,f(a)¢.

2. Montrer qu’il existe des vecteurs deEa1, . . . ,ap non nuls tels que E=F(a1)⊕ ··· ⊕F(ap).

3. En déduire que la dimension deEest paire et justifier l’existence d’une base deEdans laquelle la matrice def est simple.

(6)

Soientuetvdeux endomorphismes d’un^K-espace vectoriel de dimensionn∈N∗. On supposeu◦v=v◦uetvnilpotent.

On désire montrer

det(u+v)=detu en raisonnant par récurrence sur la dimensionnÊ1.

1. Traiter le casn=1et le casv=0.

2. PournÊ2etv6=0, former les matrices deuetvdans une base adaptée àImv. 3. Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions deu etvau départ

deImv.

Exercice 1.1.59 ^⋆ Mines-Pont PC 2017

SoitEun^R-espace vectoriel de dimension finie etu un endomorphisme deE vérifiantu²=

−idE.

1. Montrer quenest pair.

2. Montrer queune laisse stable aucun hyperplan deE.

1.1.8 Projecteurs

SoitEun^K-espace vectoriel de dimension finie et soituun endomorphisme deE. 1. On suppose qu’il existep∈L_(E)un projecteur tel queu=p◦u−u◦p.

(a) Montrer queu¡ Kerp¢

⊂Impet queImp⊂Keru. (b) En déduite queu²=0.

2. Réciproquement, montrer que siu²=0alors il existep∈L_(E) un projecteur tel que u=p◦u−u◦p.

On définit surE=C_n[X]l’applicationu: P7→¹₂¡

P(X)+XⁿP¡1 X

¢¢.

1. Montrer queuest un projecteur et détermines sa matrice dans la base canonique.

2. Déterminer son noyau, son image.

Exercice 1.1.62 ^⋆ SoitEun^K-espace vectoriel.

1. Soientp,q∈L_(E)deux projecteurs deEtels quep+q=0. Montrer quep=q=0. 2. On suppose E de dimension finien. Soitk Ê2 et soit ^¡pi¢

i∈1,k une famille dek projecteurs deEde somme nulle. Montrer que :_∀i∈ 1,k, pi=0.

Exercice 1.1.63 ⋆⋆ X PC 2016

SoitEest un^K-espace vectoriel de dimension finie. On considèree∈L_(E),i∈L_{(Im(e), E)}et p∈L_{(E, Im(e))}des applications linéaires telles quei◦p=eetp◦i=id.

1. Montrer quei est injective et quepest surjective.

2. Montrer que sie◦e=ealorsi etpexistent.

3. Que dire de la réciproque ? 4. Y a t-il unicité du couple(i,p)?

Exercice 1.1.64 ^⋆ X PC 2016

SoientA∈M_n₍C)une matrice antisymétrique. Soitk∈N∗et soientP1, . . . , Pkdes matrices de M_n₍C)vérifiantP_i²=Pi pour touti ∈ 1,k. On suppose queA=P1+. . .+Pk. Montrer que A=0.

Exercice 1.1.65 ⋆⋆ X PC 2017

Soit un entiernÊ2et soitΦun automorphisme de^Mn(C)tel que :

∀A, B∈M_n₍C), Φ(A)Φ(B)=0.

1. CalculerΦ(In);

2. Soiti∈ 1,n. Montrer queΦ(Ei,i)est un projecteur de rang1; 3. SoitUi∈Im¡

Φ(Ei,i¢

\ {0}. Montrer que(U1, . . . , Un)est une base de^Cⁿ.

1.2 Matrices

1.2.1 Calcul matriciel

Exercice 1.2.1 ^⋆

On munit E=M_n₍C)de sa base canoniquee =¡ Ei j¢

1ÉiÉn

1ÉjÉn . Reconnaître les application définies, pouri,j∈ 1,npar

fi,j:

½ E −→ E

M 7−→ EiiMEj j et g:

½ E −→ E

M 7−→ Pn

i=1EiiMEii . Exercice 1.2.2 ⋆⋆ X PC 2017

SoientAetBdeux matrices de^Mn(C)telles querg(AB−BA)=1. Montrer queA (ImB)⊂ImB ouA (Ker B)⊂Ker B.

1.2.2 Matrices inversibles

Exercice 1.2.3 ^⋆ SoitA=







1 0 1

−1 0 2

0 1 −1







1. Montrer que le polynôme queP=X³−3X+3est un polynôme annulateur deA. 2. En déduire queAest inversible et calculer son inverse.

(7)

3. Retrouver ce résultat par un calcul direct.

Déterminer l’inverse de la matrice carréeA=







1 O

a . ..

. .. ...

O a 1





 Exercice 1.2.5 ⋆⋆ X PC 2007

SoitA∈GLn(C). Montrer queA⁻¹peut s’écrire comme un polynôme deA. Exercice 1.2.6 ^⋆⋆ X PC 2013

SoitA=(ai,j)∈M_n₍K)telle que

∀i∈ 1,n, ¯¯ai,i

¯¯> X

j∈1,n,j6=i

¯¯ai,j

¯¯.

Montrer queAest inversible.

Exercice 1.2.7 ⋆⋆⋆ CCP PC 1992

SoientA, B∈M_n₍K)telles queAB=A+B. Montrer queAB=BA.

1.2.3 Puissances d’une matrice

Exercice 1.2.8 ⋆ SoitA=





1 2 −1

0 1 1

0 0 1





1. Montrer queA−I3est nilpotente d’ordre3(c’est-à-dire que(A−I3)²6=0et que(A−I3)³= 0

2. En déduire, en utilisant la formule du binôme de NewtonAⁿpour toutn∈N. Exercice 1.2.9 ^⋆

CalculerAⁿ pourA=



 1 −1 0

0 1 −1

0 0 1



de deux manières différentes.

Exercice 1.2.10 ⋆⋆⋆ X PC 2011

SoientA, B∈M_n₍C). On pose pour toutz∈C,M(z)=A+zB. On suppose queM(z)est nilpotente pourn+1valeurs distinctes dez. Montrer queAetBsont aussi nilpotentes.

On considère la matriceA=

Ã 2 −1

−2 3

!

1. Montrer que le polynômeX²−5X+4est un polynôme annulateur deA. 2. En déduire queAest inversible et calculer son inverse.

3. PournÊ2, déterminer le reste de la division euclidienne deXⁿparX²−5X+4.

4. En déduire l’expression deAⁿ pour toutn∈N. Exercice 1.2.12 ⋆⋆

On considère la matriceJ∈M_n₍R)remplie de1:

J=





1 . . . 1 ... 1 ... 1 . . . 1





1. CalculerJ²puis pourk∈N,J^k. 2. Jest-elle inversible ?

3. On considère la matrice

A=





1 −1 −1

−1 1 −1

−1 −1 1





Calculer les puissances successives deA.

1.2.4 Trace

Exercice 1.2.13 ⋆⋆ Un produit scalaire sur l’espace des matrices carrées exo_tr_produit_scalaire

Soient deux matricesA, B∈M_n₍R). On note

<A, B>=Tr (AB^T) 1. Calculer_<A, B>en fonction des coefficients deAetB. 2. Vérifier que_<A, B>=<B, A>

3. On note_kA_{k =}^p_<A, A>. Montrer que_kA_{k Ê}0. 4. Montrer que_kA_{k =}0⇐⇒A=0.

5. Montrer queA7→<A, B>etB7→<A, B>sont des formes linéaires sur^Mn(R). 6. Montrer que_|<A, B>| É kAkkBk.

On a prouvé que_<,>est un produit scalaire sur^Mn(R), voir le chapitre??. L’inégalité prouvée dans la dernière question n’est autre que celle de Cauchy-Schwarz. Voir le théorème??page

??.

Exercice 1.2.14 ⋆ TPE PC 2011

1. Existe-t-il deux matrices(A, B)∈M_n₍R)²vérifiantAB−BA=In?

2. Montrer que s’il existeA, B∈M_n₍R)telles queAB−BA=AalorsAn’est pas inversible.

3. Montrer que siTr (A^TA)=0alorsA=0

(8)

Soit(A, B)∈M_n₍R)²vérifiant_AB−BA=B. Démontrer que∀k∈N∗, Tr (B^k)=0.

Exercice 1.2.16 ⋆

Soit deux matricesA, B∈M_n₍K). On suppose que

∀X∈M_n₍K) Tr (AX)=Tr (BX) Montrer queA=B.

Exercice 1.2.17 ⋆ Mines-Pont PC 2016

Dans le^C-espace vectorielE=M_n₍C), on considère A, B∈E. Discuter et résoudre dansE l’équation

M+Tr (M)A=B.

Exercice 1.2.18 ⋆ TPE PC 2009

Déterminer toutes les formes linéairesϕsurE=M_n₍C)vérifiant :

∀A, B∈M_n₍C), ϕ(AB)=ϕ(BA).

Exercice 1.2.19 ⋆

1. SoitA=(ai,j)∈M_n₍R). CalculerTr¡ A^TA¢.

2. On note^An(R)l’ensemble des matrices antisymétriques de taillen. SoitM∈A_n(R). Montrer queTr (M⁴)Ê0puis montrer l’implicationTr (M⁴)=0 =⇒ M=0.

Montrer que siA∈M_n₍C)vérifierg(A)=Tr (A)=1alorsAest la matrice d’un projecteur.

Exercice 1.2.21 ⋆

DansE=M_n₍R), on considèreA∈Ede trace non nulle. Pourα∈R, on considère l’application f :

½ E −→ E

M 7−→ Tr (A)M+αTr(M)A .

Montrer quef est un endomorphisme puis déterminer son noyau, son rang, son image et sa trace.

Exercice 1.2.22 ⋆ SoitH∈M_n₍C)une matrice de rang1.

1. Montrer qu’il existe des matricesU, V∈M_n_,1₍C)telles queH=UV^T. 2. En déduire

H²=Tr (H)H.

3. On supposeTr (H)6= −1. Montrer queIn+Hest inversible et (In+H)⁻¹=In− ¹

1+Tr(H)H.

4. SoientA∈GLn(C)telle queTr (HA⁻¹)6= −1. Montrer queA+Hest inversible et (A+H)⁻¹=A⁻¹− ¹

1+Tr (HA⁻¹)A⁻¹HA⁻¹. Exercice 1.2.23 ^⋆⋆⋆

1. Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d’un projecteur est-il égal à sa trace ?

2. SoitA∈M_n₍K)vérifiantA^q=In. Montrer

dim Ker(A−In)=¹

q qX−1 k=0

Tr (A^k)

Exercice 1.2.24 ⋆⋆ Mines MP 1. Soitf une forme linéaire sur^Mn(R)vérifiant

∀A, B∈M_n₍R),f(AB)=f(BA) montrer quef est proportionnelle à la trace.

2. Soitgun endomorphisme de l’espace vectoriel^Mn(R)vérifiant g(AB)=g(BA)

pour toutesA, B∈M_n₍R)etg(In)=In. Montrer quegconserve la trace.

Exercice 1.2.25 ^⋆⋆⋆ X MP SoientA1, . . . , Ak∈M_n₍R)vérifiant

A1+. . .+Ak=In et _∀1ÉiÉk, A²_i=Ai. Montrer

∀1Éi6=jÉk, AiAj=0n. Exercice 1.2.26 ^⋆⋆ X, Mines-Pont PC 2017,2019 SoitA∈M_n₍R). Résoudre dans^Mn(R)l’équation

X+X^T=Tr (X)A.

1.2.5 Changements de base

On considèreE=R³etF=R²tous deux munis de leurs bases canoniques respectives qu’on noterae=(e1,e2,e3)etf =¡

f1,f2¢. Soitu:

½ R³ −→ R²

¡x,y,z¢

7−→ ¡

x+y,y−z¢ .