EXERCICE 1
Questions Elements de reponse notes
1 On sait que si z = a + ib ∈ CC avec b ≥ 0 alors z possede exactement deux racines carrees
z1= p 2(|z| + a) 2 + i p 2(|z| − a) 2 et z2= −z1= − p 2(|z| + a) 2 − i p 2(|z| − a) 2 en appliquant ceci à Z = √ 3 2 + i i 2 on obtient z1= p 2 +√3 2 + i p 2 −√3 2 et z2= −z1= − p 2 +√3 2 − i p 2 −√3 2
2i Puisque u2= Z alors u est une racine carree de Z
2ii Vu que Z possede exactement deux racines carrées Vu que z1, z2, u sont des racines carrées de Z Vu que Re(z1)  0, Re(u  0 et R(z2=) ≺ 0alors
u = z1= √ 2+√3 2 + i √ 2−√3 2
3 De 2ii on on deduit cos(π
12) = √ 2+√3 2 et sin(12π) = √ 2−√3 2
4 Les solutions de l'equation sont
x1= (1 + p 2 +√3) + i(1 +p2 −√3) et x1= (1 − p 2 +√3) + i(1 −p2 −√3) EXERCICE 2
Questions Eléments de réponse notes
1 On a P (X) = 2X4− 10X3+ 12X2+ 8X − 16 et P (2) = 0 donc 2 est une racine de P (X)
2 2 -10 12 8 -16 2 4 -12 0 16 2 -6 0 8 0 2 4 -4 -8 2 -2 -4 0 2 4 4 2 2 0 2 4 2 6 6= 0
donc l'ordre de multiplicité de 2 est 3.
3 En utilisant le tableau ci-dessus on a
Q(X) = 2X + 2est le quotient de P (X) par (X − 2)3
4 D'apres 3,
P (X) = (X − 2)3· Q(X) = (X − 2)3(2X + 2) = 2(X − 2)3(X + 1)
EXERCICE 3
Questtions Elements de reponse notes
1 La division suivant les puissances croissantes à l'ordre 2 de Y + 1 par Y + 3 est
(Y + 1) = (Y + 3) · 1 3 + 2 9· Y − 2 27· Y 2 ¸ + 2 27Y 3
2 En posant Y = X − 2 et en substituant X par Y + 2, F s'écrit
F = Y + 1 Y3(Y + 3) = (3 + Y )£1 3+29Y −272Y2 ¤ + 2 27Y3 Y3(Y + 3) = 1 3Y3 + 2 9Y2 − 2 27Y + 2 27(Y + 3) En revenant a X, on a F = 1 3(X − 2)3 + 2 9(X − 2)2 − 2 27(X − 2)+ 2 27(X + 1) Exercice 4
Questions Elements de reponse notes
1 On a par exemple F = {(y + 2z, y, z)/y, z ∈ IR} = V ect ((1, 1, 0), (2, 0, 1)) donc F est un sous-espace vectoriel de IR3
2 Puisque F = V ect((1, 1, 0), (2, 0, 1)) alors ((1, 1, 0), (2, 0, 1)) est systeme generateur de F ,
de plus ((1, 1, 0), (2, 0, 1)) est libre donc, c'est une base F et par conséquuent; dimension de F est egale a 2.
3i uet v appartiennent a F car ils satisfont l'equation: x − y − 2z = 0
3ii On a λ1u + λ2v = (λ1, λ1+ λ2, −λ2) = (0, 0, 0) =⇒ (λ1= λ2= 0) c'est-a-dire le systeme (u, v) est libre.
3iii Puisque le systeme S = (u, v) est, forme de deux vecteurs de F et dimF = 2 alors S est une base de F .
3iv On a
λ1u + λ2v = w = (1, 1, 1) =⇒ λ1= 1et λ2= −1qui sont les composantes de w dans la base S.
4i Le vecteur (0, 1, 1) est non nul et engendre le sous-espace G, donc c'est une base de G et par consequent la dimension de G est 1.
4ii On a vu que (u, v) est une base de F , ((0, 1, 1)) est une base de G. Puisque les deux sysyteme ne contient aucun vecteur en commun et on peut veri er que le systeme : (u, v, (0, 1, 1)) est une base de IR3
alors F et G sont supplementaires.
