Rayonnement dipolaire électrique

Rayonnement dipolaire électrique

Table des matières

I. Cadre de l’étude 2

I.1. Modèle du dipôle oscillant . . . 2

I.2. Approximations . . . 2

I.2.1. Approximation dipolaire . . . 2

I.2.2. Approximation non relativiste (ou ARQS) . . . 2

I.2.3. Approximation de la zone de rayonnement . . . 3

I.2.4. Bilan . . . 3

II. Rayonnement dipolaire électrique dans la zone de rayonnement 4 II.1. Champs rayonnés . . . 4

II.1.1. Expression des champs . . . 4

II.1.2. Interprétation . . . 4

II.1.3. Structure du champ rayonné . . . 5

II.2. Puissance rayonnée par le dipôle oscillant . . . 5

II.2.1. Puissance élémentaire rayonnée . . . 5

II.2.2. Diagramme de rayonnement - anisotropie . . . 5

II.2.3. Puissance totale rayonnée . . . 6

II.2.4. Généralisation : rayonnement d’accélération . . . 6

II.2.5. Applications . . . 6

III. Diffusion du rayonnement électromagnétique 8 III.1. Le phénomène de diffusion . . . 8

III.2. Le modèle de l’électron élastiquement lié . . . 8

III.3. Diffusion Rayleigh dans l’atmosphère . . . 10

Introduction

Dans les chapitres précédents, nous ne nous sommes préoccupés que de la propagation des champs, sans nous intéresser aux sources qui leur ont donné naissance. Ce chapitre étudie le champ électromagnétique engendré par une source, appelée dipôle électrique oscillant.

Nous verrons que ce modèle permet de décrire l’essentiel du rayonnement émis par les atomes et également le rayonnement des antennes radio.

Expérience introductive : On montre qu’on parvient à capter un signal composé d’une succession d’impul- sions rectangulaires, lors d’un appel téléphonique, à l’aide d’une antenne placée à proximité du téléphone.

L’antenne est constituée d’une simple tige de métal dont la taille (≃1cm) est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde utilisée pour la transmission des ondes GSM :

λ= c

ν = 3×10⁸

2×10⁹ ≃15 cm

On notera que la direction de l’antenne est importante pour la réception, ce qui illustre l’importance de la polarisation du phénomène.

Nous nous intéresserons au champ rayonné à grande distance ainsi qu’à la puissance rayonnée correspon- dante. Nous pourrons alors interpréter le phénomène de diffusion de la lumière par un ensemble de molécules et comprendre ainsi la couleur du ciel et la polarisation d’une onde par diffusion.

I. Cadre de l’étude

I.1. Modèle du dipôle oscillant

Le dipôle oscillant est constitué :

• d’une charge −q fixe placée à l’origine des coordonnées O;

• d’une charge+q oscillant linéairement selon l’axe ⃗uz de part et d’autre de −q avec une amplitudea et une pulsation ω.

Son moment dipolaire est noté −→p(t).

Définition

La position de la chargeq sur l’axe⃗uz est donnée par : z(t) =acosωt

On définit alors à chaque instant un moment dipolaire du sys- tème, de la même manière que pour le dipôle électrostatique, par :

−

→p(t) =q−−→

N P(t) =q z(t)⃗uz=qacosωt⃗uz=p0 cosωt⃗uz

Cette modélisation est généralisable grâce au théorème de Fourier pour la dépendance temporelle, et grâce au principe de superposition pour l’orientation spatiale.

Ce modèle permet ainsi de décrire les phénomènes liés à l’émission ou l’absorption d’ondes électromagné- tiques, notamment :

} pour les atomes, dans le domaine optique, en utilisant le modèle de l’électon élastiquement lié (voir partie III). La charge fixe est assimilée au noyau et la charge mobile à un électron (dans ce cas,q =−e) ;

~ pour les antennes émettrices dans le domaine hertzien. En effet, une antenne est un conducteur parcouru par un courant correspondant, dans le modèle du dipôle oscillant, au mouvement de la charge q (la charge−q fixe représentant dans ce cas les cations fixes du réseau cristallin).

I.2. Approximations

Le calcul complet de l’onde électromagnétique émise par le dipôle oscillant est complexe. Nous admettrons donc l’expression des champs rayonnés, mais nous allons tout d’abord présenter les hypothèses qui permettent d’y aboutir.

I.2.1. Approximation dipolaire

Similairement au cas du dipôle électrostatique, on se place dans le cadre de l’approximation dipolaire, c’est-à-dire :

r =OM ≫a Approximation dipolaire (1)

où a est la taille du dipôle. En d’autres termes, on considère un pointM suffisamment éloigné pour que le dipôle soit vu sous un petit angle.

I.2.2. Approximation non relativiste (ou ARQS)

On rappelle que l’ARQS correspond à se placer dans un cadre qui permet de négliger le temps de propa- gation à l’échelle du système considéré devant le temps caractéristique d’observation. Cette approximation s’écrit donc ici :

a

c=τpropag≪T a≪cT =λ ARQS ou Approximation non-relativiste (2) oùλest la longueur d’onde associée à la pulsation ω, pour une onde électromagnétique dans le vide.

Cette approximation peut se comprendre d’une autre manière : en multipliant les deux membres de l’équation 2 par la pulsation, on obtient :

aω≪λω=λ2π T = 2πc

Or, aωcorrespond à la vitesse maximale atteinte par la charge q donc l’équation 2 se réécrit : v≪c

L’approximation précédente est donc vérifiée puisque les mouvements des charges sont effectivement non relativistes dans les atomes ou les antennes¹. On notera que ce n’est en revanche pas le cas dans les accélé- rateurs de particules.

I.2.3. Approximation de la zone de rayonnement

Concernant la distancer depuis laquelle le dipôle est observé, deux zones extrêmes sont envisageables :

• sir ≪λ, le temps mis par l’onde pour atteindre le point M est très petit devant la période d’oscillation : on peut considérer qu’il n’intervient pas et que dans cette zone, le dipôle se comporte « à chaque instant

» comme un dipôle permanent : le champ électrique serait alors le champ classique d’un dipôle , variant en _r¹3. Cette zone est appelée zone statique puisqu’on néglige le temps de propagation à l’échelle d’observation.

• si r ≫λ au contraire, la propagation devient l’aspect essentiel du phénomène : on parle de zone de rayonnement. Concrètement, pour une antenne radio émettant des ondes dont la longueur d’onde est de l’ordre du mètre,r sera de l’ordre du kilomètre.

I.2.4. Bilan

Finalement, les différentes approximations conduisent à :

a≪λ≪r









r≫a Approximation dipolaire

a≪λ Approximation non-relativiste (ARQS) r≫λ Zone de rayonnement (champ lointain)

P

M

dipôle oscillant

point d'observation

O +q r

-q

v

a

λ Approximations

Vérifions dans différents cas dans quelle mesure ces approximations sont bien justifiées :

a λ ν r a≪λ≪r vérifié ?

Ondes émises par des atomes (visible) 10⁻¹⁰ m 600nm ≃10¹⁴Hz 10 cm Oui Ondes hertziennes dans la bande FM 1 m 3 m ≃100M Hz 1 km Pas tout à fait

Téléphonie mobile GSM 900 5 cm 30 cm ≃1GHz 1 km Pas tout à fait

1. On vérifie bien qu’aveca= 10⁻¹⁰metω= 10¹⁵rad.s⁻¹pour un rayonnement dans le visible,aω= 10⁵m.s⁻¹≪2πc.

II. Rayonnement dipolaire électrique dans la zone de rayonnement

II.1. Champs rayonnés II.1.1. Expression des champs

Une forme approchée du champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant dans la zone de rayonnement est :

−

→E(M, t) = µ0sinθ 4πr p¨

( t−r

c )−→u_θ

−

→B(M, t) = µ₀sinθ 4πrc p¨

( t−r

c )−→u_φ

Propriété

II.1.2. Interprétation

M

Figure 1:Onde localement plane produite par un dipôle dans la zone de rayonnement(pour r≫λ).

On peut faire plusieurs remarques sur les expressions précédentes :

• Invariance: Le dipôle est invariant par rotation autour de⃗uz, c’est pourquoi les champs ne dépendent pas deφmais il n’est pas invariant par rotation d’angleθ.

• Direction des champs : le plan contenant le dipôle et le pointM, c’est à dire le plan (M,−→ur, −→u_θ), est un plan de symétrie pour les charges et les courants.

Il est donc logique d’observer que le champ électrique est contenu dans ce plan et que le champ magné- tique est orthogonal à ce plan.

• Direction et vitesse de propagation: comme p(t) varie sinusoïdalement à la pulsation ω : p

( t−r

c )

=qacos [

ω (

t−r c

)]

=qacos(ωt−kr) avec k= ω c

On remarque que l’onde émise par le dipôle se propage radialement à la vitesse de la lumière, selon la direction−→ur. Le terme(t−^r_c)traduit le retard dû à la propagation de l’onde entre le dipôle et le point d’observation, qui n’est pas négligeable sir ≫λ.

• Anisotropie: cette onde n’est pas isotrope car son amplitude sur une sphère de centre O dépend de l’angle θ. Dans la direction du dipôle, les champs rayonnés sont nuls alors qu’ils ont une amplitude maximale dans le plan médian du dipôle.

• Décroissance : La décroissance est ici en 1/r, caractéristique des ondes sphériques, au lieu d’une dé- croissance en 1/r³dans le cas statique (on rappelle que−→

Edipôle électrostatique= _4πϵ^p

0 (2cosθ−→u_r+sinθ−→u_θ)).

La lente décroissance des champs (en 1/r) leur permet d’être prépondérants devant des champs élec- tromagnétiques statiques. Ceci est à la base des communications hertziennes sur de longues distances.

• Amplitudes : Comme pour une onde plane dans le vide, on retrouve||−→

E||=c||−→ B||.

II.1.3. Structure du champ rayonné

Dans la zone de rayonnement, le champ électromagnétique engendré par un dipôle oscil- lant :

• décroît en 1 r ;

• est proportionnel àω²;

• se propage radialement à partir du dipôle, avec un vecteur d’onde −→ k = ω

c⃗ur

• présente localement une structure d’onde plane progressive dans le vide se propageant radialement à partir du dipôle. En effet, le trièdre (−→

E, −→

B, −→ur) est direct avec :

−

→B(M, t) =

−

→ur∧−→ E(M, t)

c

Dans la direction du dipôle, les champs rayonnés sont nuls alors qu’ils ont une amplitude maximale dans le plan médian du dipôle.

Propriété

II.2. Puissance rayonnée par le dipôle oscillant II.2.1. Puissance élémentaire rayonnée

Calculons le vecteur de Poynting :

−

→Π =

−

→E ∧−→ B µ0

= µ₀sin²θ 16π²r²c p¨²

( t−r

c )−→ur

On remarque que l’énergie se propage dans la même direction que l’onde rayonnée (−→ur).

II.2.2. Diagramme de rayonnement - anisotropie Comme −→

Π varie sinusoïdalement, on prend sa valeur moyenne sur une période :

⟨−→

Π⟩= µ0ω⁴(qa)²sin²θ 32π²r²c

−

→u_r ∝ sin²θ

On peut alors tracer la courbe, appelée indicatrice de rayon- nement, donnant le module H du vecteur de Poynting moyen en fonction deθ, à r fixé.

On remarque que l’énergie rayonnée est nulle dans la direction du dipôle et maximale dans le lobe centré sur le plan xOy. On dit que l’émission estanisotrope.

Le diagramme de rayonnement permet de comprendre une raison pour laquelle la réception des radios émises par les antennes de la tour Eiffel sont si difficiles à capter juste à proches de la tour. La raison principale reste cependant le fait que la tour soit métallique - ce qui perturbe la propagation des ondes à sa proximité - et qu’elle émette de nombreux signaux à toutes les fréquences - ce qui peut créer des interférences.

Remarque

II.2.3. Puissance totale rayonnée

Calculons la puissance moyenne rayonnée par le dipôle à travers une sphère de rayon r :

P = x

S

⟨−→ Π⟩ ·−−→

d²S= µ₀ω⁴(qa)² 32π²c

x

S

sin³θdθdφ= µ₀ω⁴(qa)² 16πc

∫ _π

0

(1−cos²θ)d(−cosθ)

| {z }

=4/3

= µ₀(qa)²ω⁴ 12πc

La puissance moyenne rayonnée par un dipôle oscillant à travers une sphère est indépen- dante du rayon de la sphère^a :

P = µ0p²₀ω⁴

12πc = µ0⟨p¨²⟩ 6πc

Elle est proportionnelle au carré de l’amplitude du moment dipolaire et à la puissance quatrième de la pulsation.

a. Cela traduit tout simplement la conservation de l’énergie.

Propriété

II.2.4. Généralisation : rayonnement d’accélération

Comme−→p =qz(t)−→uz,⟨p¨²⟩=q²⟨z¨²⟩, donc en généralisant à toute charge accélérée avec une accélération

−

→a :

P = µ0q²⟨||−→a||²⟩

6πc formule de Larmor Cette expression est valable pour toute particule chargée non relativiste.

II.2.5. Applications

D’après ce qui précède on retiendra que :

Toute particule chargée accélérée rayonne de l’énergie électromagnétique. La puissance moyenne est proportionnelle au carré de sa charge et à la moyenne du carré de son accélération.

Propriété

Ceci trouve un grand nombre de conséquences et applications listées ci-dessous :

• Antennes dipolaires : les plus courantes sont des antennes dont la longueur correspond à la moitié de la longueur d’onde λdu rayonnement utilisé ; ce sont des antennes demi-onde :l=λ/2. Comme le montre la figure ci-dessous, les charges dans l’antenne sont accélérées verticalement. Étant donnée la symétrie du dipôle, le rayonnement s’effectue radialement par rapport à l’antenne. Le rayonnement est nul dans la direction de cette dernière.

En réalité, plus l’antenne est longue, mieux se fait l’émission, mais le gain augmente relativement peu rapidement avec la taille (une taille de λ/4peut également suffire). On retiendra simplement que :

L(taille antenne)≃λ

• Rayonnement thermique : toutes les particules chargées constituant la matière sont accélérées du fait de l’agitation thermique et rayonnent de l’énergie : c’est l’origine du rayonnement thermique².

2. Nous reverrons ce rayonnement dans la partie thermodynamique.

câble coaxial

partie isolante I

I I

I générateur

variable

énergie rayonnée

a) b)

Figure 2:a) Principe de fonctionnement d’une antenne demi-onde et photo d’une antenne émettrice FM (λ/2 =c/2f = 3.10⁸/2.100.10⁶ = 1.5m). b) Le pourtour métallique de certains téléphones tient directement lieu d’antenne (λ/2 =c/2f = 3.10⁸/2.10⁹ = 15cm).

• Production de rayons X : lorsque des électrons subissent une accélération ou une décélération im- portante, ils produisent un rayonnement très énergétique : les rayons X. Ceci est réalisé de deux façons : dans les tubes à rayons X : des électrons, extraits d’une cathode par chauffage et accélérés par une tension électrique dans un tube sous vide, bombardent une cible métallique (anode) ; le ralentissement brutal des électrons par les atomes de la cible provoque un rayonnement continu dans le domaine X appelé Bremsstrahlung (rayonnement de freinage).

dans les ondulateurs : des faisceaux de protons ou d’électrons stockés dans des accélérateurs de particules sont localement soumis à un champ magnétique périodique intense. Les particules étant chargées, elles vont effectuer des oscillations de très faible rayon de courbure ; le rayonnement émis lors de ces accélérations intenses est le rayonnement synchrotron. Ce type de source de rayons X est utilisé pour sonder la matière (biologie, chimie). En France, un tel dispositif a été construit sur le plateau de Saclay en 2006 : le synchrotron SOLEIL.

a) b)

c)

Figure3: Production de rayons X : a) tubes à rayons X, b) ondulateur et c) Synchrotron SOLEIL.

• Perte d’énergie dans les accélérateurs:

Dans les accélérateurs circulaires, les par- ticules sont nécessairement accélérées et perdent donc de l’énergie. Pour réaliser des expériences de très haute énergie dans des ac- célérateurs circulaires, il faut donc minimiser l’accélération des particules en augmentant le rayon de leur trajectoire. Ainsi, le Large Hadron Collider (L.H.C) du C.E.R.N. a une circonférence d’environ 27 km.

• Critique du modèle de Bohr : dans le modèle classique de l’atome de Bohr, l’électron en orbite circulaire est nécessairement accéléré et doit rayonner de l’énergie. Il devrait donc perdre de l’énergie au cours du temps et s’écraser sur le noyau. C’est le modèle quantique de l’atome qui a permis de lever ce paradoxe.

• Diffusion du rayonnement : voir section suivante.

III. Diffusion du rayonnement électromagnétique

La diffusion de la lumière est le processus qui gouverne presque tous les phénomène lumineux qui nous entourent ; c’est notamment elle qui nous permet de voir les objets qui ne sont pas des sources primaires.

III.1. Le phénomène de diffusion

Le champ d’une onde électromagnétique peut interagir avec un atome ou une molécule qui absorbe une partie du rayonnement incident. Les dipôles électriques atomiques induits (les électrons représentant la charge négative et les protons la charge positive) sont mis en mouvement (absorption) et réemettent des ondes électromagnétiques dans des directions pouvant différer de celle de l’éclairage incident (réémission) ; il y a diffusion du rayon- nement.

absorption réémission diffusion

lumière incidente

lumière non diffuséee lumière

diffuséee

Ceci permet d’interpréter qualitativement la couleur des objets jouant le rôle de source secondaire de lumière : un objet vert mat (on néglige ici le phénomène de réflexion sur l’objet) absorbe par exemple toutes les longueurs d’onde, et ne réémet que le vert^a.

La diffusion étant un processus non directif, on perçoit l’ob- jet vert même si les lois de Descartes de la réflexion ne sont pas vérifiées par rapport à la source.

a. Notons qu’un objet rouge éclairé en lumière verte apparaît donc noir.

C’est ce qui explique que le vin rouge apparaisse pratiquement noir dans les bouteilles en verre vertes.

rayons diffusés verts lumière incidente

blanche

objet vert

III.2. Le modèle de l’électron élastiquement lié

Nous décrivons ici un modèle qui permet de comprendre, dans le cadre de la mécanique classique, l’inter- action entre un atome et le champ d’une onde électromagnétique incidente, et notamment de l’existence de raies d’absorption dans un gaz.

Lorsqu’une onde électromagnétique arrive sur un atome, son champ interagit avec les charges de l’atome.

On peut alors faire les approximationssuivantes :

• Influence de −→

B négligeable: le champ B est de l’ordre de E/c donc son influence est négligeable par rapport à celle du champ électrique.

• Protons fixes: les électrons étant beaucoup plus légers que les protons (mp/me≃2000), l’onde induit un mouvement beaucoup plus important pour les électrons que pour les protons.

• Champ électrique −→

E uniforme : la longueur d’onde du rayonnement incident est très supérieure à la taille caractéristique d’un atome (λ≫a: approximation non relativiste) : le champ pourra donc être considéré comme uniforme à l’échelle d’un atome. Il sera noté :−→

E =−→

E0 cosωt.

atome a

λ >> a

Faisons un bilan des forces exercées sur un électron dans un atome soumis à une onde électromagnétique : poids négligeable ;

force électrique−→

Fe=q−→ E ;

force de frottement fluide (dûe aux chocs avec les autres atomes - cf modèle de Drude) :−→

f =−λ−→v ; force de rappel due à l’attraction du noyau (cf modèle de Thomson, dit "de l’électron élastiquement

lié") :−→

F_r=−k−→r

Le principe fondamental de la dynamique donne alors :

m−→¨r =−k−→r −λ−→r˙ +q−→

E ⇒−→¨r + λ m

−˙

→r + k m

−

→r = q−→ E m soit en notations canoniques

−¨

→r +ω₀ Q

−˙

→r +ω₀²−→r = q−→ E m En régime sinusoïdal forcé, on obtient donc :

−

→r = − _mω^q2 0

1 +j _Qω^ω

0 −^ω_ω²2 0

−

→E0e^jωt

L’énergie électromagnétique de l’onde incidente est convertie en un mouvement de l’électron ; il s’agit donc d’absorption (cf puissance des forces de Lorentz).

D’après l’expression ci-dessus qui correspond à la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du second ordre, l’absorption d’une onde électromagnétique par un atome est donc particulièrement efficace lorsque la fréquence de l’onde incidente est proche de l’une des fréquences propres f₀ =ω₀/2π de l’atome (fréquence de son spectre de raies).

Ce modèle très grossier permet de comprendre l’existence d’une raie d’absorption. Cependant, il ne prend en compte ni l’existence de plusieurs fréquences de résonance ni leurs importances relatives. Une étude convenable de l’interaction matière-rayonnement nécessite l’utilisation de la mécanique quantique.

Remarque

III.3. Diffusion Rayleigh dans l’atmosphère

Comme le montre le spectre d’absorption ci- contre, de nombreux atomes ou molécules de l’atmosphère ont une absorption essentiellement située dans l’ultraviolet. C’est par exemple en grande partie grâce à l’absorption de l’ozone de l’atmosphère que nous sommes protégés des rayonnements UV-B et UV-C émis par le soleil.

La lumière du spectre visible correspond donc à λ≫λ₀. En passant aux pulsations, on en déduit que :ω ≪ω0.

absorption

Visible

λ (en nm)

UV

O3

O2

N2

Ainsi, dans le visible, on peut simplifier l’accélération d’un électron excité par l’onde incidente en :

−

→r = − _mω^q2 0

1 +j _Qω^ω

0 −^ω_ω²2 0

−

→E₀e^jωt _ω≪ω⇒

0

−

→r =− q mω₀²

−

→E₀e^jωt donc −→a =−ω²−→r ≃ qω² mω²₀

−

→E₀e^jωt

Or, nous avons vu que la puissance rayonnée était pro- portionnelle au carré de l’accélération donc :

Préémise∝ ⟨||−→a||²⟩ ∝ω⁴ diffusion Rayleigh (ω≪ω₀) La diffusion atmosphérique est qualifiée de diffusion Ray- leigh élastique^a. Ainsi, dans le spectre de longueurs d’onde visibles, l’atmosphère diffuse beaucoup plus le bleu que le rouge (λrouge> λbleu, doncωrouge< ωbleu).

a. On utilise le qualificatifélastiquecar toute la puissance absorbée est réémise. Ceci correspond à une simple conservation de l’énergie.

Bleu

Rouge

Conclusion

Le rayonnement du dipôle électrique permet modéliser le phénomène de diffusion de la lumière dont les nombreuses applications sont décrites dans l’approche documentaire sur la couleur du ciel et les phénomènes lumineux dans l’atmosphérique.

La diffusion thermique, que nous étudierons plus tard dans l’année, est un phénomène tout à fait distinct. En anglais, la distinction est bien faite entre les deux : la diffusion de la lumière fait partie des "scattering processes" alors que la diffusion thermique fait partie des "diffusion phenomena".

Remarque