Partie B : Rayonnement dipolaire et applications

(1)

Partie B : Rayonnement dipolaire et applications

Diffusion d’une onde électromagnétique par un atome

3.1.1

α ) λ

<<

re

r : cette hypothèse permet de considérer que le champ électromagnétique incident est uniforme dans toutes la zone où l’électron est susceptible de se mouvoir.

β)

Le modèle de THOMSON suppose que l’électron est plongé dans une sphère de densité volumique de charge uniforme. Dans ces conditions, le champ électrostatique est nul au centre et maximum à la périphérie. Un électron plongé dans un tel milieu est « rappelé » en permanence vers le centre de la sphère, quelle que soit sa position.

Le mouvement de l’électron est oscillant : sa vitesse est maximum lorsqu’il passe au centre de la sphère et devient nulle en fin de trajectoire : son énergie est alors constituée uniquement d’énergie potentielle. Ce mouvement est donc en permanence un mouvement accéléré : l’électron rayonne une énergie électromagnétique qui va diminuer son énergie totale. Cette diminution d’énergie peut être modélisée par un amortissement visqueux.

γ )

L’action du champ électromagnétique sur l’électron en mouvement à la vitesse v se manifeste par une force de LORENTZ :

(

^E ^v ^B

)

q F

r r r

r = + Λ (1)

Pour une onde plane, les champs électrique et magnétiques sont liés par la relation :

( )

^e ^E

c B 1 _r

r r

r = Λ (2)

D’où, en posant Er qEer_e

= :

(

^E ¹_c^v

( )

^e^r ^E

)

^qE

(

^e^e ¹_c^v

⁽

ê^r êê

⁾ )

q

Fr r r r r r r r r

Λ Λ +

= Λ Λ +

= (3)

Le terme relatif au champ magnétique est négligeable devant celui relatif au champ électrique lorsque v/c <<1, ce qui est une hypothèse raisonnable pour le mouvement de l’électron.

3.1.2

Le moment dipolaire induit à un instant t par l’onde électromagnétique incidente correspond au produit de la charge de l’électron par la position de l’électron par rapport à l’origine à cet instant t. Avec les notations de l’énoncé :

(2)

) t ( r e ) t ( r q ) t (

pr r_e r_e

−

=

= (4)

Pour déterminer le mouvement de l’électron, on applique la relation fondamentale de la dynamique en écrivant que la somme des forces qui s’appliquent sur l’électron est égale au produit de sa masse par son accélération :

2 e 2 e in e

e e 2 0

e dt

r m d E dt q

r d r m

m

r r r r

= τ +

− ω

− (5)

in e

2 0 e e e 2

e 2

e m r qE

dt r d m dt

r m d

r r r

r

−

= ω τ −

−

− (6)

in e in

e in

e e 2 0 e 2

e 2

m E E e

m ) e E (

m r q dt

r 1 d dt

r

d r r r r r r

−

− =

=

= ω τ +

+ (7)

En régime forcé, le mouvement oscillant est imposé à la pulsation ω de l’excitateur E_in, et après passage à la notation complexe (soulignée), on obtient :

in e e

2 0 e e

2 E

m r e

r j r

r r r

r + ωτ +ω = −

ω

− ⁽⁸⁾

2 in 2 e 0

e E

j 1 m

r e r r

















ωτ + ω

−

− ω

= (9)

et donc :

( ^t ^kx)

j 2 0

2 e 0 2

e E e

j 1 m

r e e ) t (

p ^ω⁻

















ωτ + ω

−

= ω

−

= r

(10)

L’amplitude complexe est donnée par le terme :

















ωτ + ω

−

ω j

E 1 m

e

2 2 0 0 e 2

(11)

3.1.3

Nous avons obtenu en 1.3.1 (équation34) :

[ ( ) ]

²

⁽ ⁾

²

2 0 0

2 2

c sin t r c p c 16

E r d

dP − θ

π

= µ

Ω &&

r

(12)

(3)

Du moment dipolaire induit complexe (10), nous pouvons déduire le moment dipolaire réel et physique :

(

^ω ⁻ ^ω

)

⁺

( )

^ω_τ

⁽

^ω ⁻ ⁺ ^φ

⁾

= E cos t kx

m ) e t (

p 2 2 2 2

0 0 e

2

(13)

où φ représente le déphasage introduit par l’amplitude complexe. On en déduit :

(

^ω ⁻ ^ω

)

⁺

( )

^ω_τ

⁽

^ω ⁻ ⁺ ^φ

⁾

−ω

= E cos t kx

m ) e

t (

p 2 2 2 2

0 0 e

2 2

&

& ₍₁₄₎

(

^ω ⁻^ω

)

⁺

( )

^ω_τ

⁽

^ω ⁻ ⁺ ^φ

⁾

= ω E cos t kx

m ) e t (

p ₂ ²

2 2 2 0

2 0 2

e 4 2 4

&

& ₍₁₅₎

La valeur moyenne du cos² étant égale à ½ , on a :

(

²⁰ ²

)

²⁰²

( )

²

2 e 4

2 4 E

m 2 ) e t ( p

ωτ + ω

− ω

>= ω

< && ₍₁₇₎

En introduisant cette valeur moyenne dans la relation (12), on obtient l’expression de la puissance moyenne rayonnée par unité d’angle solide :

(

^E

) ( )

¹⁶^sin^c

m 2

e d

dP

2 2 0 2 2

2 2 0

2 0 2

e 4 r 4

π θ µ

ωτ + ω

− ω

= ω

Ω ⁽¹⁸⁾

On peut, à partir de là, faire le calcul (qui n’était pas demandé), de la puissance totale rayonnée :

( ) ( )

∫ ∫

^π ^π ^µ _π ^θ ^θ ^θ

ωτ + ω

− ω ϕ ω

= ²

0 0

2 2 0 2 2

2 2 0

2 0 2

e 4 4

r sin d

c 16

sin E

m 2 d e

P (19)

(

^ω ⁻ ^ω

)

⁺

( )

^ω_τ ^µ^π

^∫

^π ^θ ^θ

= ω

0 0 3 2 2

2 2 0

2 0 2

e 4 4

r sin d

c 8 E

m 2

P e (20)

(

²⁰ ²

)

⁰²²

( )

² ⁰

⁽

⁰² ²

⁾

²

( )

² ⁰ ²⁰ ⁴²^e⁴

2 e 4 4

r 12 cm

e 1 E

3 4 c 8 E

m 2 P e

π ω µ ωτ + ω

−

= ω µπ ωτ + ω

− ω

= ω (21)

3.1.4

(4)

Pour une onde plane, la densité surfacique de puissance est donnée par le module du vecteur de POYNTING :

= η Λ

= ^* E²

2 H 1 2 E P 1

r r

r où η représente l’impédance d’onde : (22)

0c

0

0 = µ

µε

=

η (23)

soit donc avec la notation de l’énoncé :

0 2 0

in 2c

I = Eµ (24)

3.1.5

α )

L’énergie rayonnée par l’électron correspond à une fraction de l’énergie incidente.

Cette fraction peut s’exprimer comme le produit de la densité surfacique de puissance de l’onde incidente, multipliée par une surface qui constitue précisément la surface efficace de diffusion.

En d’autres termes, la surface efficace de diffusion est la surface sur laquelle il faut intégrer le module du vecteur de POYNTING de l’onde plane incidente (= sa densité surfacique de puissance) pour obtenir la puissance diffusée.

β )

2 e 4 2 0 2 e 2

4 2 0

T 6 m

e m

16 e 3

8 π

= µ π π µ

=

σ (25)

( )( )

(

³¹

)

²

19 4 7 2

2 e 4 2 0

T 6 9,1.10

10 . 6 , 1 10 . 4 m 6

e

−

π

= π π

= µ

σ =6,63 10^-29 m² (26)

γ )

(

²⁰ ²

)

²

( )

² ²⁰ ⁴^e²⁴

2 0 0 r in

r

m 6 1 e

c E 2

P I ) P

( π

ω µ ωτ + ω

−

= ω µ

=

= ω

σ (27)

(

²⁰ ²

)

⁴²

( )

²

) T

(

ωτ + ω

− ω σ ω

= ω

σ (28)

δ )

(5)

(

²⁰ ²

)

⁴²

( )

² ⁰⁴ ⁴ ²⁴² ²⁰

( )

²

) ( f

ωτ + ω ω

− ω + ω

= ω ωτ + ω

− ω

= ω

ω (29)

L’hypothèse ω0τ >> 1 se traduit par :

2 2 2

0 2

ωτ

>>

ω

ω d’où on déduit :

( )

²

2 2 0 2 2

2 0

4

1 ) 1

( f



 



 −

ω

= ω ω

− ω ω

≈

ω (30)

3.2.1

z

Ein⊥⊥⊥⊥

Ein//

y α

M

x

On a obtenu en 3.1.3 :

(

^ω ⁻^ω

)

⁺

( )

^ω_τ ^µ ^π ^θ ⁼ ^θ

= ω

Ω ² ²

2 0 2 2

2 2 0

2 0 2

e 4 r 4

sin c K

16 sin E

m 2

e d

dP (31)

En se referant à la figure ci-dessus, le point M appartient au plan d’incidence xOy, et par rapport à E_in⊥ , la densité stéérique de puissance rayonnée est maximum (elle correspond à θ = π/2 dans 31) et à symétrie cylindrique (indépendante de α). On a donc :

d K dP_r  =



 





Ω _⊥ (32)

3.2.2

(6)

En se referant à la figure ci-dessus, le point M appartient au plan d’incidence xOy, et par rapport à E_in// , la densité stéérique de puissance rayonnée a une dépendance en sin²(θ) avec θ = α +π/2 et donc une dépendance en cos²(α).

) ( cos d K

dP 2

//

r  = α



 



 Ω (33)

3.2.3

α )

Lorsque les quantités relatives aux polarisations parallèles et orthogonales sont égales, on a un taux de polarisation égal à 0 : les deux ondes étant incohérentes dans ces deux directions, cela signifie qu’il est impossible de déterminer la polarisation résultante qui sera par nature aléatoire.

Si par contre, l’une des polarisations est nulle (dans le plan d’incidence xOy, ce ne peut être que la polarisation parallèle), la polarisation diffusée sera rectiligne et le taux de polarisation sera égal à 1.

Le taux de polarisation apparaît comme une grandeur quantitative qui caractérise le degré de cohérence de la polarisation de l’onde diffusée :

τp = 0 : polarisation aléatoire

τp = 1 : polarisation rectiligne parfaitement définie.

β)

) ( cos 1

) ( cos 1 ) ( cos K K

) ( cos K K

2 2 2

2

p + α

α

= − α +

α

= − τ

(34)

γ )

Dans le plan xOy, pour α = ±π/2, on a τp = 1 la polarisation est linéaire et parallèle à l’axe Oz.

Pour α =0 ou α = π, la polarisation est incohérente.

3.3.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

(7)

domaine du visible : 400 nm < λ <800 nm 4.10¹⁴ Hz < f <7.5.10¹⁴ Hz

2,51.10¹⁵ rd/s < ω < 4,71.10¹⁵ rd/s

(

²⁰ ²

)

⁴²

( )

² ^T ⁴⁰ ⁴ ⁴²⁰ ²

( )

²

T

2 )

(

ωτ + ω ω

− ω + ω σ ω

= ωτ + ω

− ω σ ω

= ω

σ (35)

La condition 1/τ << ω < ω0 permet de négliger le terme en (ω/τ)² au dénominateur :

2 2 0 4 2

0 4 T

1 )

(



 



 ωω

− ω σ ω

≈ ω

σ (36)

Pour la pulsation la plus élevée on a :

14 . 10 0

. 25 , 1

10 . 471 ,

0 ²

16 2 16

0

=



 



= 



 



 ωω

−

(37)

qui peut être considéré, en première approximation, comme négligeable devant 1.

3.3.2

dx S

x x + dx

La puissance incidente sur la surface S à l’abscisse x s’écrit : P(x) = I_in(x) S

La puissance rayonnée Pr par diffusion dans le volume S.dx est donnée par : P_r = n₀σ I_in(x) S dx = P(x) – P(x + dx)

On en déduit :

I_in(x + dx).S - I_in(x).S = - n₀σ I_in(x) S dx

[ ]

_n _dx

) x ( I

) x ( I d

0 in

in = − σ

[

^I ⁽^x⁾

]

ⁿ ^x

Ln _in = − ₀σ + cte

(8)

− λ

σ

− =

= in ^D^x

x n in

in(x) I (0)e I (0)e

I ⁰

avec D_λ = 1 /n₀ σ(λ)

3.3.3

λ = 450 nm - ω = 4,2. 10¹⁵ rd/s (bleu)

σ(λ) = 6,63 10^-29 (4,2.10¹⁵/1,25.10¹⁶)⁴= 8,36.10^-31 m^-2 D_λ = 1 /(2,27.10²⁵ .8,36.10^-31) = 44 300 m

Exp(- 8.10³ / 44 300) = 0,83

λ =650 nm - ω = 2,9. 10¹⁵ rd/s (rouge)

σ(λ) = 6,63 10^-29 (2,9.10¹⁵/1,25.10¹⁶)⁴= 1,92.10^-31 m^-2 D_λ = 1 /(2,27.10²⁵ .1,92.10^-31) = 192 846 m

Exp(- 8.10³ / 192 846) = 0,96

Puisque la radiation de couleur bleue s’atténue plus vite que la radiation de couleur rouge, c’est qu’elle est mieux diffusée, et c’est donc elle qui est dominante dans la couleur du ciel en journée.

Lorsqu’on regarde directement le soleil, en particulier le soir, les valeur numériques précédentes indiquent que c’est la couleur rouge qui est la mieux transmise.

soleil

atome