Partie B : Rayonnement dipolaire et applications

Partie B : Rayonnement dipolaire et applications

Antenne élémentaire 2.1.1

L’intensité correspondant à un élément de courant ayant pour densité linéique de charge ρ, les charges se déplaçant à la vitesse V s’écrit :

V I

r

r = ρ (37)

Dans le cas présent, il y a une seule charge q qui se déplace sur une longueur 2a (de –a à + a) : on a donc :

a 2

= q

ρ (38)

La vitesse de déplacement des charges est donnée par :



 



=  q p dt

V d (39)

On obtient donc :

dt dp a 2

1 dt dp q 1 a 2 ) q t (

I = = (40)

2.1.2

De la question précédente, on déduit : ) t cos(

I ) t 2 cos(

) q t cos(

aqa 2 ) 1 t (

I = ω ω = ω ω = ₀ ω (41)

La question 1.3.3 a montré que la puissance instantanée rayonnée par le dipôle avait pour expression :

[

^p

( )

^t _c^r

]

₆ ^q_c^{a sin}

( ( )

^t _c^r

)

c ) 6 t (

P ²

2 2 4 0 2

0 − = µ ωπ ω −

µπ

= && (42)

La puissance moyenne s’obtient en prenant la moyenne de P(t) sur une période :

c 3

a I c

12 a P q

2 2 2 0 0 2 2 4 0

r = µ ωπ = µ π ω (43)

2.1.3

( )

^2a _{6 c} ^I₂ ^{R I}₂

c 3

a P I

2 0 r 2 0 2 2 0 2

2 2 0 0

r = µ π ω = µπω = (44)

d’où l’expression de la résistance de rayonnement :

( )

2 2 2 0 2 2 0

r 6 c

h 2 c

6 R h

λ π

π

= µ ωπ

= µ (45)

La résistance de rayonnement représente la résistance qui absorberait exactement la puissance rayonnée si elle était parcourue par le courant I(t) : elle peut donc être introduite comme élément de circuit, dans la modélisation du fonctionnement de l’antenne.

2.1.4

λ = c/f = 3 10α ) ⁸ / 9 10⁸ = 0.33 m = 33 cm

h = 2 cm

On peut considérer qu’on se situe dans l’approximation h << λ.

β )

Si on ne prend en compte que l’hypothèse : r

1 r

1

2 << (46)

cela conduit à r>>1, soit donc à partir de 10m si on adopte la règle du 1/10^ème pour la partie négligeable.

En toute rigueur, il faudrait s’assurer que chaque élément de l’antenne rayonne un champ EM qui parvient à un point d’observation situé sur une droite orthogonale au fil avec un écart de phase négligeable.

γ )

( )

2 2 2 0 2 2 0

r 6

c h 2 c

6 R h

πλ π

= µ ωπ

= µ (47)

( )( )

8

2 2 8 2

7

r 6 3.10

10 . 2 10 . 9 . 2 10 . R 4

π π

= π ^{− −} = 2,84 Ω

D’où on déduit I0 :

84 , 2

4 R

P I 2

r

0 = = = 1,18 A (48)

δ ) D’après la question 1.2.2, l’amplitude maximum A du champ électrique est donnée par la relation :

3 . 4

10 . 9 . . 2 . 10 . 2 . 10 . 5 , 47 . 10 . . 4 r 4

h I r

4 A qa

8 2

3 7

0 0 2

0 πω = µ πω = π π π

= µ ^{− − −} = 0,18 V/m (49)

Antenne demi-onde 2.2.1

Le courant est maximum au milieu de l’antenne : c’est à cet endroit que doit être connecté le générateur.

Physiquement, le courant doit être nul aux extrémités de l’antenne, ce qui est bien réalisé par la distribution de courant proposée.

Cette configuration de courant correspond à un des modes stationnaires qui sont susceptibles de s’établir.

2.2.2

α )

Si on suppose le point M situé à l’infini, les rayons PM et OM=r sont parallèles. On en déduit :

PM = OM – z cos (θ) = r – z cos (θ) (50)

On en déduit que le rayonnement d’un élément de courant situé au point P par vient au point d’observation M avec une avance de phase de k z cos (θ).

β )

D’après la question B2.1.1, on peut poser:

( )

^{2 z q}₂

cos I ) z ( I

I₀ = = ₁ πλ = ω et h = 2a = dz (51)

et donc substituer qωa par I(z) dz.

Le rayonnement global s’obtient en sommant les contributions au point d’observation M de chaque dipôle de dimension dz, situé à l’abscisse z, et parcouru par une intensité I(z).

Chaque contribution doit prendre en compte l’avance de phase mentionnée à la question α ) précédente :

De B1.2.2, on écrit donc successivement :

( ) _{( ( ) )}

r r z

0 e e e

r c t r p

Er 4 && r r r

Λ

 Λ













 −

µπ

= (52)

Passage à la notation complexe et évaluation du double produit vectoriel :

(

θ θ

)















 ω

µπ

=



 



 − ω

e r sin

je aq E 4

c t r 2 j

0 r

r

(53) Substitution qωa par I(z) dz, avec prise en compte de l’état de phase k z cos (θ) :

( ) ( ) _{( )}

dz e r sin

e j ze

cos 2 I dz 4

e r sin

e j ) z ( I E 4

d

c t r cos j

jkz 0 1

c t r j 0

θ

θ θ















 λπ ω

µπ

=

 θ













 ω

µπ

=



 



 − θ ω



 



 −

ω r r

r

(54)

Sommation sur la longueur de l’antenne qui s’étend de –l à +l :

( ) _{( )}

dz e r sin

e j ze

cos2 I E 4

l

l

c t r cos j

jkz 0 1

+

∫

−



 



 − θ ω

θ θ















 λπ ω

µπ

= r

r

(55)

Sortie du signe intégrale de tous les éléments qui ne dépendent pas de z :

( )

^θ

+

∫

−

 θ





 − ω

λπ π θ

= ωµ sin e I cos2 z e dze r

4 E j

l

l

cos jkz 1

c t r

0 j r

r

(56)

γ )

( )

^{e E}

c B 1 _r

r r

r = Λ ⁽⁵⁷⁾

( )

_λ^π

⁽

^{Λ θ}

⁾

π θ

= ωµ ⁺

∫

−

 θ



 



 −

ω I cos2 ze dze e

e rc sin 4

B j _r

l

l

cos jkz 1

c t r

0 j r r

r

(58)

2.2.2

α )

Le vecteur de POYNTING complexe s’écrit :

r 0 2

0

*

c e E 2 1 B E 2

P 1 r

r r r r

= µ µΛ

= (59)

et sa norme représente la densité surfacique de puissance moyenne rayonnée. La puissance totale rayonnée s’obtient en intégrant la norme de ce vecteur sur une sphère entourant la source de rayonnement :

( ) ( )

_{θ θ}

θ π θ π

ϕ µ θ =

π θ π

=

∫ ∫

^{π π1}₂ µ₄ ^cI_r ^cos_sin^{2cos ds}

∫ ∫

^{πd π} ₂¹ ₄ ^cI_r ^cos_sin^{2cos r sin d}

P ₂ ²

2 2

0 0

2 2

2 1 0 2

2 2

0 0

2 2

2 1 0

r (60)

( )

22 , 1 4 . d cI sin

2cos cos 4

cI 2 2 1 P

2 1 0 2

0 2

2 1 0

r θ θ = µ π

π θ π

π µ

=

∫

^{π (61)}

β )

De la définition :

2 R I P

2 1 r

r = , on déduit de la question précédente : 22

, 1 2 .

R_r = µ⁰πc (62)

A.N. : 1,22

2 10 . 3 10 . 22 4 , 1 2 . R c

8 0 7

r = µπ = π ⁻π =73,2 Ω (63)

γ )

De la question précédente, on déduit :

2 , 73

40 R

P I 2

r

1 = = = 0,74 A (64)

D’après 2.2.2β, l’amplitude maximum A du champ électrique est obtenue en θ = π/2 :

r 2

A = µ⁰πcI¹ (65)

A.N :

500 . 2

74 , 0 . 10 . 3 . 10 . A 4

8 7

π π

= ⁻ = 29,6 mV/m

Réception d’un signal en téléphonie mobile 2.3.1

α )

z x t 2 j

i(M,t) E0e e

Er _r



 



ω− λπ

= (66)

( )

z x 2 L j j L t 2 j 0 z L 2 x t 2 j 0

r(M,t) Ee e E e e e e

Er r _r



 



 



 



 λ− π φ −



 



ω− λπ



 



ω+ π λ− +φ

=

= ⁽⁶⁷⁾

Dans cette expression :

 φ



 



ω− πλ j L t 2 j

0e e

E représente le champ incident sur l’immeuble.

φ

e représente le coefficient de réflexion au niveau de l’immeuble, φ pouvant être complexe si j

la réflexion s’effectue avec pertes. Dans le cas d’une réflexion sur une surface parfaitement conductrice, φ est égal à π.



 



 



 



 λ− π

− j 2 L x

e représente la propagation de l’onde réfléchie de l’immeuble jusqu’à l’abscisse x.

β )

L’onde résultante s’obtient en sommant l’onde incidente et l’onde réfléchie :

( )

z L 2 x t 2 x j

t 2 j

0 e e e

E ) t , M (

Er r











 +

= ^

 



ω+ π λ− +φ



 



ω− λπ

(68) γ )

On revient à l’onde physique en prenant la partie réelle de cette expression :

( ) ^{( )}

^z

0 2 x 2L e

t x cos

t 2 cos E ) t , M (

Er r







 



ω + π λ− + φ

λπ +

− ω

= (69)

Utilisant la relation :

2 b cosa 2

b cosa 2 b cos a

cos + = − + (70)

On obtient :

( )

z

0 e

2 L t 2 2 cos

x L cos 2 E 2 ) t , M (

Er r



 



ω − πλ + φ



 



 π λ− − φ

=

Il s’agit d’une onde stationnaire qui présente des nœuds aux positions x telles que :

(

λ−

)

− φ = π _{+ π}

π k

2 2 x L

2 (71)

et des ventres aux positions x telles que :

( )

₋ ^φ _{= π}

λ−

π k

2 x L

2 (72)

2.3.2

La puissance P reçue par le récepteur et proportionnelle à la valeur moyenne dans le temps du carré du champ électrique :

( )

_



 



 π λ− − φ

= 2

x L cos 2

E ) x (

P ^{2 2} (73)

La valeur moyenne de P suivant x est égale à 10 P_s :

s 2

P 2 10

E = (74)

( )

_



 



 π λ− − φ

= 2

x L cos 2

P 20 ) x (

P _s ² (75)

α )

La coupure aura lieu entre deux abscisses x telles que :

( )

s 2

s P

2 x L cos 2

P 20 ) x (

P  <



 



 π λ− − φ

= (76)

( )

20 1 2

x L

cos 2  <



 



 π λ− − φ

=0,22 (77)

La première valeur x1 obtenue est telle que :

( )

_1,35

2 x L

2π λ− ₁ − φ =

(78) La seconde valeur x₂ obtenue est telle que :

( )

_{1,35 1,79}

2 x L

2π λ− ₂ − φ = π− =

(79)

En faisant (79)-(78), on obtient :

(

^{x x}

)

_{1,79 1,35 0,44}

2π ₁λ− ₂ = − =

(80)

La coupure aura lieu sur une distance telle que :

( )

^23cm

2 . 10 . 9

10 . 44 3 . 2 0 44 , 0 x

x_{1 2 8}⁸ =

= π λπ

=

− (81)

La durée de la coupure pour le piéton sera donc de : ms

4000 21 0233600 , 0

t_coupure = = (82)

β )

Si la vitesse est 10 fois plus grande, la durée de la coupure sera dix fois plus faible :

T_coupure = 2,2 ms (83)

γ )

La durée des coupures ne devrait pas trop perturber l’automobiliste tandis qu’elle vont gêner la communication du piéton.

2.3.3

α )

En 10^-6 seconde, l’onde électromagnétique parcourt une distance de 300 m.

La différence de trajet entre l’onde incidente sur le mobile et l’onde réfléchie est égale à :

L + (L-x) –x = 2 (L-x)

On en déduit que (L-x) = 150 m β )

D’après la question précédente, si le signal reçu est nul, c’est que l’on respecte la condition :

( )

2 2 x L

2π λ− − φ = π

(84)

En faisant varier la fréquence, on va se placer à une longueur d’onde λ’ telle que :

( )

_1,35

2 '

x L

2π λ− − φ =

(85) En faisant (84) – (85), on obtient :

(

^{L x}

) ( )

^f_{c c}^f' ₂ ^{1,35 0,22}

2π − − = π − = (86)

(

^{L x}

)

^{3.10 20.,22150 70KHz}

2 22 , c 0

f = π − = ⁸ π =

∆ (87)