Partie B : Rayonnement dipolaire et applications

Partie B : Rayonnement dipolaire et applications

Etude du rayonnement du dipôle électrique 1.1.1

α ) En électrostatique, le potentiel scalaire au point M s’obtient rigoureusement en sommant les contributions respectives des charges +q et –q :

V(M) = V+(M) + V-(M) (1)

Ces potentiels dépendent des distances r+ et r- entre les charges et le point d’observation M.

Lorsque la distance a entre les charges situées au voisinage de l’origine devient très inférieure à la distance du point d’observation, cela permet des approximations qui conduisent à une écriture du potentiel ne dépendant plus que de r = OM et de θ.

L’ensemble des deux charges est identifié comme un couple dont l’effet au point M pour a fixé, ne dépend que de r et θ : c’est l’approximation dipolaire.

Lorsque ces charges sont en mouvement et que l’on fait leur étude dans un cadre non relativiste, cela suppose que leur vitesse de déplacement est très inférieure à c. Si T est la période du mouvement, on doit donc vérifier :

a << c T soit donc a << λ (2)

β )

z z qasin( t)e e

) t ( qz

pr r r

ω

=

= ⁽³⁾

1.1.2

Le terme (t-r/c) indique que le potentiel vecteur au point M et à l’instant t est fonction des caractéristiques du mouvement de la charge à l’instant (t-r/c), r/c étant la durée de la propagation de l’effet à la vitesse c jusqu’au point M situé à une distance r de la charge.

1.1.2

( ) ( )

z z 2 z

2 2

2 2 2

0 z

0 e Ee

z y x

c z y t x

cos 4

e qa r

c t r cos 4

t qa , M

Ar r r r

+ = +











 − + +

ω πω

= µ

− ω πω

= µ (4)

( )

[ ] ( ) ( )

2 0

z

r

c t r r cos r z r z c t r csin 1 4

qa z

t E , M A div

− ω

−

− ω πω

= µ

∂∂ r =

(5)

soit en notant que = cosθ r

z

( )

[ ] ( ) ( )

t V c

1 r

c t r cos rc

c t r sin 4 cos

qa z

t E , M A

div ^{z 0} ₂ = − ₂ ∂∂















 ω −

− − θ ω

πω

= µ

∂∂ r =

(6) d’où :

( ) ( )















 ω −

− +

− ω πω θ

= µ

∂∂

2 2

0

r c t r cos rc

c t r sin 4 cos

c qa t

V (7)

( ) ( ) ( )

r cte c t r sin rc

c t r cos 4 cos

c t qa

, M

V ₂

2

0 +

















ω

− + ω

ω

− θ ω

πω

= µ (8)

( ) ( ) ( )

r cte c t r sin rc

c t r cos 4 cos

t qa , M

V ₂

0

+













 ω −

− + θ ω

= πε (9)

( ) ( ) ( )

r cte c t r p rc

c t r p 4 cos

t 1 , M

V ₂

0

 +













 −

− + πε θ

= &

(10)

Pour un dipôle électrostatique, on a :

t 0 p p

qa p

∂ =

= ∂

=

& (11)

et le potentiel est donné par :

( )

0

r2

4 M qa

V = π ε (12)

On en déduit que la constante est nulle dans (10) et que le potentiel s’écrit :

( ) ( ) ( )















 −

− + πε θ

= ₂

0 r

c t r p rc

c t r p 4 cos

t 1 , M V

&

(13)

ce qui revient à ne conserver que les termes en (t-r/c) dans (10).

Champs 1.2.1

D’après la définition du potentiel vecteur :

A B

r r

r = ∇Λ (14)

on calcule :

( ) ( ) _{( )} ( )

















Λ













 −

+ Λ

− ∇ µπ

 =













 −

Λ π∇

= µ z z

0 z

0 e

r c t r p grad r e

c t r p e 4

r c t r p

Br 4 r & r & r r & r

(15)

( )

z

0 e

r c t r p 4 grad

Br & r

Λ













 −

µπ

= (16)

La fonction qui est en paramètre du gradient ne dépend que de r : dans ce cas particulier, le gradient n’a qu’une composante suivant er_r

dont la composante est égale à la dérivée de la fonction par rapport à r.

( ) ( ) _{( )}

z 2 r

0 e e

r c t r p r

c t r r p

Br 4 & & r r

 Λ













 −

− −

∂∂ µπ

= (17)

Pour des distances r grandes, le terme en 1/r² devient négligeable devant le terme en 1/r :

( ) _{( )}

z r

0 e e

r c t r r p

Br 4 & r r

 Λ













 ∂∂ − µπ

= (18)

et, en notant que :

( ) ( )

( )

t p − = − = − ∂∂ −

∂∂ & && & ₍₁₉₎

on obtient :

( ) _{( )} ( ) _{( )}

r z 0

z r

0 e e

r c t r p c e 4

r e c t r p c

Br 4 && r r && r r

 Λ













 −

µπ

=

 Λ













 −

µπ

−

= (20)

1.2.2

t E c B = 1₂ ∂∂ Λ

∇ r r r

(21) Evaluons le rotationnel dans une démarche exactement analogue à la précédente eten ne retenant que le terme du champ magnétique en 1/r :

( ) _{( )} ( ) _{( ( ) )} ( ) _{( )}

















Λ

Λ













 −

+ Λ Λ

− ∇ µπ

 =















− Λ Λ π ∇

= µ Λ

∇ ⁰ _{z r} ⁰ _{z r} e_z e_r

r c t r p grad e

r e c t r p c e 4

r e c t r p c

Br 4 r && r r && r r r && r r

r

(22)

( ) _{( )}

















Λ

Λ













 −

µπ

= Λ

∇ z r

0 e e

r c t r p c grad

Br 4 && r r

r

(23)

La fonction qui est en paramètre du gradient ne dépend que de r : dans ce cas particulier, le gradient n’a qu’une composante suivant er_r

dont la composante est égale à la dérivée de la fonction par rapport à r.

( ) ( ) _{( ( ) )}

r z 2 r

0 e e e

r c t r p r

c t r r p c

Br 4 && && r r r

r Λ Λ















 −

− −

∂∂ µπ

= Λ

∇ (24)

Pour des distances r grandes, le terme en 1/r² devient négligeable devant le terme en 1/r :

( ) _{( ( ) )}

r z r

0 e e e

r c t r r p c

Br 4 && r r r

r Λ Λ















∂∂ − µπ

= Λ

∇ (25)

et, en notant que :

( )

( )

t p − = − ∂∂ −

∂∂ && && ₍₂₆₎

on obtient :

( ) _{( ( ) )}

r z 2 r

0 e e e

r c t r t p c

Br 4 && r r r

r Λ Λ















 ∂∂ − π

− µ

= Λ

∇ (27)

expression qui doit être égale, d’après (21) ( équation de MAXWELL-AMPERE) :

( ) _{( ( ) )}

t E c e 1 e r e

c t r t p c

B 4 ⁰_{2 r}Λ _zΛ _r = ₂ ∂∂















 ∂∂ − π

− µ

= Λ

∇

r r r

& r

&

r r

(28)

On en déduit :

( ) _{( ( ) )}

r r z

0 e e e

r c t r p

Er 4 && r r r

Λ

 Λ













 −

µπ

= (29)

1.2.2

Des questions 1.2.1 et 1.2.2, on déduit la relation qui relie les champs E et B :

( )

c

Er r r

Λ

= (30)

Les champs électrique et magnétiques sont orthogonaux entre eux, et orthogonaux à la direction de propagation portée par er_r

. De plus le rapport de leur module est égal à c : ces deux propriétés caractérisent une onde plane.

Aspect énergétique 1.3.1

Pour une onde plane, le module du vecteur de poynting dans une direction (θ,ϕ) représente la densité surfacique de puissance dans cette direction :

( )

B H E

E

P = Λ = µΛ

r r r

r r

(31)

et pour une onde plane :

( ) _{( )}

dS sin dP

r c t r p 4 c

1 c

P E ²

2 2

0 0 0

2

=

 θ













 −



 



 µπ

= µ

= rµ &&

r

(32)

et puisque la relation entre l’élément de surface dS et l’élément d’angle solide dΩ qui intercepte cet élément de surface depuis la distance r est :

dS = r² dΩ (33)

On obtient :

[ ( ) ]

^{( )}

2 0 0

2 2

c sin t r c p c 16

E r d

dP − θ

π

= µ

= µ

Ω &&

r

(34)

1.3.2

Le diagramme de rayonnement en puissance, normalisé à la densité de puissance max s’écrit :

D(θ) = sin² (θ) (35)

1.3.3

Pour obtenir la puissance instantanée totale rayonnée à travers , il faut intégrer l’élément de puissance sur la totalité de la sphère, soit donc pour θ variant de 0 à π et ϕ variant de 0 à 2π. Il n’y a pas de dépendance en ϕ, ce qui permet de séparer les intégrales :

[ ( ) ]

[ ( ) ]

[ ( ) ]

0 0

2 3 2

0

c t r c p 6 3 2 4 c t r c p d 16

sin c d

t r c p

P 16 − π = µπ −

π

= µ θ θ ϕ π −

= µ ^&&

∫ ∫