Rayonnement dipolaire (PC*)

Rayonnement dipolaire (PC*)

I) Cadre de l’étude : Définitions et notations :

O x

y z

A

i

(q

i

)

M r = OM

(On peut rappeler la définition du moment dipolaire dans le cas d’un dipôle électrostatique, vue en 1

^ère

année, p r = q NP

).

Le modèle proposé dans la suite, celui d’un dipôle rayonnant, correspond le plus souvent à l’essentiel du rayonnement émis par les atomes.

Le rayonnement des antennes radios émettrices peut aussi être décrit comme celui de dipôles rayonnants répartis le long de l’antenne.

Les molécules de l’atmosphère terrestre se comportent également comme des dipôles induits par

l’onde EM venant du Soleil. Etant accélérés (voir le cours sur les diélectriques), ils vont rayonner

dans tout l’espace (phénomène de diffusion de la lumière), ce qui expliquera la couleur bleue du

ciel par beau temps ainsi que la couleur rouge orangée du Soleil couchant.

(On aura alors p r t p t u r

z

) ( )

( = )

Zone de rayonnement :

Rappel sur le potentiel vecteur d’une distribution de courants : Le potentiel d’une distribution volumique de courants est :

π τ

µ d

M A

c M t A A j t

M A A

i i i D

) ,

( ) 4

,

(

( )

0

−

=

= ∫∫∫

r r

r

Pour une distribution filiforme, on utilise la correspondance l r r

id d

j τ = :

l r r

r

M d A

c M t A A i t

M A A

i i i D

) ,

( ) 4

,

(

( )

0

−

=

= ^µ _π ∫∫∫

Le potentiel vecteur créé par un ensemble de charges ponctuelles sera :

0

( )

( , ) 4

i i i

i i

q v t A M A M t c

A M µ

π

−

= ∑

r r

On se place loin de la distribution de charges, par conséquent : A M

i

≈ OM = r Par conséquent :

0 0

( )

( , ) 1 ( )

4 4

i i

i i

i i

q v t r

d r

A M t c q OA t

r r dt c

µ µ

π π

−  

= =  − 

 

∑ ∑

r r

Et finalement :

0

1

0

( / )

( , ) ( )

4 4

dp r p t r c

A M t t

r dt c r

µ µ

π π

= − = −

r r&

r

Dans la suite, on suppose que le moment dipolaire est selon l’axe (Oz) : l’expression finale du potentiel vecteur du dipôle rayonnant est ainsi :

0

( / )

( , )

4

^z

p t r c

A M t u

r µ

π

= −

r & r

Potentiel électrique scalaire V :

Pour le déterminer, on utilise la jauge de Lorentz :

0

( / )

0

( / )

( ( , )) .

4

^z

4

^z

p t r c p t r c

div A M t div u u grad

r r

µ µ

π π

− −

   

=   =  

   

uuuuur

r & r r &

Soit :

0

( / )

( ( , )) .

4

^{z r}

p t r c

div A M t u u

r r

µ π

∂  − 

=  

∂  

r r & r

En remarquant que 1

r c t

∂ ∂

∂ = − ∂ et que u u r r

_z

.

_r

= cos θ

, il vient :

( )

0

2

( / ) 1

( ( , )) ( / ) cos

4

p t r c

div A M t p t r c

r r r

µ θ

π

− ∂

 

=  − + − 

 ∂ 

r &

&

0

2

( / ) 1

( ( , )) ( / ) cos

4

p t r c

div A M t p t r c

r rc

µ θ

π

 − 

=  − − − 

 

r &

&&

On en déduit :

2 0

1 ( / ) 1

( / ) cos 4

V p t r c

p t r c

t r rc θ

πε

∂  − 

=  + − 

∂  

&

&&

En intégrant (à une constante statique près) :

2 0

1 ( / ) 1

( / ) cos 4

p t r c

V p t r c

r rc θ

πε

 − 

=  + − 

 & 

Lorsque le dipôle est statique :

2 0

1 cos

4 V p

r θ

πε

 

=  

 

On retrouve bien l’expression habituelle.

(

0 0 0 0 0

2

T p p p T

p = = π ≈

ω

& ₎

II) Détermination des champs EM (électrique et magnétique) : 1) Expression générale :

(Avec

c t r t ' = − )

(On note que :

t c

r ∂

− ∂

∂ =

∂ 1

et u r

_r

u r

_z

u r

_ϕ

−

=

∧ )

On aurait pu également calculer le champ électrique à partir de l’équation de Maxwell – Ampère :

2

1 E

rotB c t

= ∂

∂

uuur r r

La figure ci-dessous donne les allures des lignes de champ électrique du dipôle sinusoïdal.

Les lignes de champ électrique sont dans des plans méridiens. Pour a << r << λ, les lignes de champ sont celles du dipôle électrostatique.

Pour r >> λ, les lignes de champ se détachent et se ferment pour donner les vagues représentées sur la figure.

2) Expression à grande distance de l’origine :

3) Approximation locale par une onde plane :

III) Aspect énergétique :

1) Puissance rayonnée par un dipôle :

2) Cas d’un mouvement sinusoïdal :

Solution :

IV) Exemples d’application ;

1) Rayonnement d’une particule chargée :

Solution :

(On utilise soit la formule donnée dans le cours ou l’expression du rotationnel en coordonnées

cylindriques, cf formulaire).

Ce rayonnement, appelé rayonnement de freinage, diminue l’énergie cinétique de l’électron. Le

temps caractéristique obtenu n’est pas compatible avec un modèle où le rayon de la trajectoire de

l’électron est constant aux échelles de temps accessibles expérimentalement : les électrons auraient dû s’écraser depuis longtemps sur les noyaux !

2) Polarisation par diffusion, diffusion Rayleigh :

La lumière diffusée par l’atmosphère est partiellement polarisée. On peut s’en rendre compte avec des lunettes de soleil polarisantes ou avec un filtre polarisant pour appareil photo : en tournant les lunettes ou le filtre, le ciel s’assombrit, surtout si la direction d’observation est à 90°

de celle du Soleil. La diffusion Rayleigh permet d’interpréter ce résultat.

Les verres polarisants de ces lunettes de soleil sont des polariseurs rectilignes qui, lorsqu’ils sont

traversés par un faisceau lumineux, isolent un état de polarisation rectiligne en éliminant l’état

orthogonal. Ils utilisent le dichroïsme de certains matériaux, c’est-à-dire leur absorption sélective

d’un état de polarisation. Ces polariseurs sont actuellement réalisés artificiellement en étirant des

films de polymères sur lesquels sont attachés des molécules de pigments. Le substrat obtenu

possède une conductivité électrique parallèlement à la direction dans laquelle les polymères ont

été étirés et absorbe efficacement l’état de polarisation rectiligne de champ électrique parallèle à

cette direction. Il laisse passer l’état de polarisation orthogonal.

Compléments sur les polariseurs :

Etudions qualitativement la réflexion d’une onde EM plane progressive sur une grille constituée

de fils métalliques parallèles. Comme les électrons dans les fils ne peuvent se déplacer que dans la

direction des fils, ils ne peuvent être mis en mouvement que par un champ électrique ayant une

composante parallèle à cette direction. Le rayonnement émis par ces courants constitue l’onde

réfléchie.

3) Quelques expériences simples :