II.1. Champs rayonnés II.1.1. Expression des champs
Une forme approchée du champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant dans la zone de rayonnement est :
−
→E(M, t) = µ0sinθ 4πr p¨
( t−r
c )−→uθ
−
→B(M, t) = µ0sinθ 4πrc p¨
( t−r
c )−→uφ
Propriété
II.1.2. Interprétation
M
Figure 1:Onde localement plane produite par un dipôle dans la zone de rayonnement(pour r≫λ).
On peut faire plusieurs remarques sur les expressions précédentes :
• Invariance: Le dipôle est invariant par rotation autour de⃗uz, c’est pourquoi les champs ne dépendent pas deφmais il n’est pas invariant par rotation d’angleθ.
• Direction des champs : le plan contenant le dipôle et le pointM, c’est à dire le plan (M,−→ur, −→uθ), est un plan de symétrie pour les charges et les courants.
Il est donc logique d’observer que le champ électrique est contenu dans ce plan et que le champ magné-tique est orthogonal à ce plan.
• Direction et vitesse de propagation: comme p(t) varie sinusoïdalement à la pulsation ω : p
( t−r
c )
=qacos [
ω (
t−r c
)]
=qacos(ωt−kr) avec k= ω c
On remarque que l’onde émise par le dipôle se propage radialement à la vitesse de la lumière, selon la direction−→ur. Le terme(t−rc)traduit le retard dû à la propagation de l’onde entre le dipôle et le point d’observation, qui n’est pas négligeable sir ≫λ.
• Anisotropie: cette onde n’est pas isotrope car son amplitude sur une sphère de centre O dépend de l’angle θ. Dans la direction du dipôle, les champs rayonnés sont nuls alors qu’ils ont une amplitude maximale dans le plan médian du dipôle.
• Décroissance : La décroissance est ici en 1/r, caractéristique des ondes sphériques, au lieu d’une dé-croissance en 1/r3dans le cas statique (on rappelle que−→
Edipôle électrostatique= 4πϵp
0 (2cosθ−→ur+sinθ−→uθ)).
La lente décroissance des champs (en 1/r) leur permet d’être prépondérants devant des champs élec-tromagnétiques statiques. Ceci est à la base des communications hertziennes sur de longues distances.
• Amplitudes : Comme pour une onde plane dans le vide, on retrouve||−→
E||=c||−→ B||.
II.1.3. Structure du champ rayonné
Dans la zone de rayonnement, le champ électromagnétique engendré par un dipôle oscil-lant :
• décroît en 1 r ;
• est proportionnel àω2;
• se propage radialement à partir du dipôle, avec un vecteur d’onde −→ k = ω
c⃗ur
• présente localement une structure d’onde plane progressive dans le vide se propageant radialement à partir du dipôle. En effet, le trièdre (−→
E, −→
Dans la direction du dipôle, les champs rayonnés sont nuls alors qu’ils ont une amplitude maximale dans le plan médian du dipôle.
Propriété
II.2. Puissance rayonnée par le dipôle oscillant II.2.1. Puissance élémentaire rayonnée
Calculons le vecteur de Poynting :
−
On remarque que l’énergie se propage dans la même direction que l’onde rayonnée (−→ur).
II.2.2. Diagramme de rayonnement - anisotropie Comme −→
Π varie sinusoïdalement, on prend sa valeur moyenne sur une période :
On peut alors tracer la courbe, appelée indicatrice de rayon-nement, donnant le module H du vecteur de Poynting moyen en fonction deθ, à r fixé.
On remarque que l’énergie rayonnée est nulle dans la direction du dipôle et maximale dans le lobe centré sur le plan xOy. On dit que l’émission estanisotrope.
Le diagramme de rayonnement permet de comprendre une raison pour laquelle la réception des radios émises par les antennes de la tour Eiffel sont si difficiles à capter juste à proches de la tour. La raison principale reste cependant le fait que la tour soit métallique - ce qui perturbe la propagation des ondes à sa proximité - et qu’elle émette de nombreux signaux à toutes les fréquences - ce qui peut créer des interférences.
Remarque
II.2.3. Puissance totale rayonnée
Calculons la puissance moyenne rayonnée par le dipôle à travers une sphère de rayon r :
P = x
S
⟨−→ Π⟩ ·−−→
d2S= µ0ω4(qa)2 32π2c
x
S
sin3θdθdφ= µ0ω4(qa)2 16πc
∫ π
0
(1−cos2θ)d(−cosθ)
| {z }
=4/3
= µ0(qa)2ω4 12πc
La puissance moyenne rayonnée par un dipôle oscillant à travers une sphère est indépen-dante du rayon de la sphèrea :
P = µ0p20ω4
12πc = µ0⟨p¨2⟩ 6πc
Elle est proportionnelle au carré de l’amplitude du moment dipolaire et à la puissance quatrième de la pulsation.
a. Cela traduit tout simplement la conservation de l’énergie.
Propriété
II.2.4. Généralisation : rayonnement d’accélération
Comme−→p =qz(t)−→uz,⟨p¨2⟩=q2⟨z¨2⟩, donc en généralisant à toute charge accélérée avec une accélération
−
→a :
P = µ0q2⟨||−→a||2⟩
6πc formule de Larmor Cette expression est valable pour toute particule chargée non relativiste.
II.2.5. Applications
D’après ce qui précède on retiendra que :
Toute particule chargée accélérée rayonne de l’énergie électromagnétique. La puissance moyenne est proportionnelle au carré de sa charge et à la moyenne du carré de son accélération.
Propriété
Ceci trouve un grand nombre de conséquences et applications listées ci-dessous :
• Antennes dipolaires : les plus courantes sont des antennes dont la longueur correspond à la moitié de la longueur d’onde λdu rayonnement utilisé ; ce sont des antennes demi-onde :l=λ/2. Comme le montre la figure ci-dessous, les charges dans l’antenne sont accélérées verticalement. Étant donnée la symétrie du dipôle, le rayonnement s’effectue radialement par rapport à l’antenne. Le rayonnement est nul dans la direction de cette dernière.
En réalité, plus l’antenne est longue, mieux se fait l’émission, mais le gain augmente relativement peu rapidement avec la taille (une taille de λ/4peut également suffire). On retiendra simplement que :
L(taille antenne)≃λ
• Rayonnement thermique : toutes les particules chargées constituant la matière sont accélérées du fait de l’agitation thermique et rayonnent de l’énergie : c’est l’origine du rayonnement thermique2.
2. Nous reverrons ce rayonnement dans la partie thermodynamique.
câble coaxial
partie isolante I
I I
I générateur
variable
énergie rayonnée
a) b)
Figure 2:a) Principe de fonctionnement d’une antenne demi-onde et photo d’une antenne émettrice FM (λ/2 =c/2f = 3.108/2.100.106 = 1.5m). b) Le pourtour métallique de certains téléphones tient directement lieu d’antenne (λ/2 =c/2f = 3.108/2.109 = 15cm).
• Production de rayons X : lorsque des électrons subissent une accélération ou une décélération im-portante, ils produisent un rayonnement très énergétique : les rayons X. Ceci est réalisé de deux façons : dans les tubes à rayons X : des électrons, extraits d’une cathode par chauffage et accélérés par une tension électrique dans un tube sous vide, bombardent une cible métallique (anode) ; le ralentissement brutal des électrons par les atomes de la cible provoque un rayonnement continu dans le domaine X appelé Bremsstrahlung (rayonnement de freinage).
dans les ondulateurs : des faisceaux de protons ou d’électrons stockés dans des accélérateurs de particules sont localement soumis à un champ magnétique périodique intense. Les particules étant chargées, elles vont effectuer des oscillations de très faible rayon de courbure ; le rayonnement émis lors de ces accélérations intenses est le rayonnement synchrotron. Ce type de source de rayons X est utilisé pour sonder la matière (biologie, chimie). En France, un tel dispositif a été construit sur le plateau de Saclay en 2006 : le synchrotron SOLEIL.
a) b)
c)
Figure3: Production de rayons X : a) tubes à rayons X, b) ondulateur et c) Synchrotron SOLEIL.
• Perte d’énergie dans les accélérateurs:
Dans les accélérateurs circulaires, les par-ticules sont nécessairement accélérées et perdent donc de l’énergie. Pour réaliser des expériences de très haute énergie dans des ac-célérateurs circulaires, il faut donc minimiser l’accélération des particules en augmentant le rayon de leur trajectoire. Ainsi, le Large Hadron Collider (L.H.C) du C.E.R.N. a une circonférence d’environ 27 km.
• Critique du modèle de Bohr : dans le modèle classique de l’atome de Bohr, l’électron en orbite circulaire est nécessairement accéléré et doit rayonner de l’énergie. Il devrait donc perdre de l’énergie au cours du temps et s’écraser sur le noyau. C’est le modèle quantique de l’atome qui a permis de lever ce paradoxe.
• Diffusion du rayonnement : voir section suivante.