LGL Cours de Mathématiques ) lim lim lim 3. prolongement possible: 6) lim lim lim 0. prolongement possible:

Résolution des exercices précédents

Exercice 1: Déterminez les limites des fonctions suivantes en x₀a en évoquant l'existence éventuelle d'une asymptote verticale à la courbe ou d'un prolongement par continuité possible.

 

  

     

. .

3 2 3 3

2 1 2

3 3 1 1

1) lim lim lim

3 3 3 6

9

\ 3;3 prolongement possible: 1

6 3

1 0

2) lim 0 1

3 5 9

f i

x x x

x

x x

x x x

x

f x si x dom f

g x si x

x x dom f

x x

  



    

   

  



   

 

 



     

 

 

9

0

2 2 2

2 3

3) lim 5 \ 2 2

( 2)

2 0

4) lim 0 2

3 2 12

x

x

x Dom f AV x

x

x x dom f

x x







     



     

  

 

 

     

 

  

 

3 . . 2 2

0 2 0 0

2 . . 2

2 2 2 2

3 3 3 3

5) lim lim lim 3

1 1 1

\ 1;0 prolongement possible:

3 0

4 4 2 2 0

6) lim lim lim 0

2 3 3 5

6

prolongement possible:

f i

x x x

f i

x x x

x x

x x x

x x x

x x

f x si x dom f

g x si x

x x x x

x x x

x x

g x

  

  

 

  

    

 



   

   

       

   

 



 





0 2

f x si x dom f si x

   

  



  

2

1 2

3 méthodes de factorisation de 6 possibles :

Utiliser le discriminant pour déterminer les racines:

25 2 et 3 2 3

x x

x x x x

 



       

2

2

Division formelle: Comme x 6 s'annule pour 2, 2 est une racine de ce polynôme.

Donc 6 est divisible par 2

x x

x x x

     

  

  

2 2

2

Division formelle

6 2

3

3 6

3 6

0 Par le schéma de Horner:

1 -1 -6

-2 -2 6 6 2 3

1 -3 0 x x x x x x

x x

x x x x

  

  

 





     

    

     

 

3

0

. .

1 1 1

2 2 2 2

2 2

1 1

7) lim 1 lim lim 1 2

1 1

prolongement possible: \ 1

2 1

3 5

8) lim \ 2;0 2

2

2 0

signe du dénominateur:

2 0 0

f i

x x x

x x x

x x

x x

x x

f x si x dom f

g x si x

x x

Dom f AV x

x x

x

x x





  







 

 

    

 

  

 

 

        

 







  

  

  

     

2 . .

1 2 1 1

1 4

5 4 4 3

9) lim lim lim 3

1 2 2 1

3 2

\ 1; 2 prolongement possible:

3 1

f i

x x x

x x

x x x

x x x

x x

f x si x dom f

g x si x

  

 

   

   

   

 

  

  

  

  

2 2

2 2

Par le schéma de Horner:

1 5 4

5 4 : 1 1 4 5 4 1 4

1 4 0

1 3 2

3 2 : 1 1 2 3 2 1 2

1 2 0

x x x x x x

x x x x x x



        





        



   

    ^{     }

3 . . 2 2 . .

3 2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 2

3 2 2

10) lim lim lim lim

1 2 1

2 3 1 1 2 1 2 1

f i f i

x x x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x x x x

   

    

   

  

 

      

   

prolongement possible: 2

1 1

f x si x dom f g x

si x

    

  

  

 



   

   

ere

3 3 2

3 2 3 2

2

2

Par le schéma de Horner (1 indétermination):

1 0 3 2

3 2 : 1 1 1 2 3 2 1 2

1 1 2 0

2 3 0 1

2 3 1: 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1

2 1 1 0

0

0

x x x x x x x

x x x x x x

x

x x



         





          







 



  

  

me

2 2

2 2

Par le schéma de Horner (2 indétermination):

1 1 2

2 : 1 1 2 2 1 2

1 2 0

2 1 1

2 1: 1 2 1 2 1 1 2 1

2 1 0

x x x x x x

x x x x x x



       

 

       

Exercice 2: Déterminez les limites des fonctions suivantes en x₀a en évoquant l'existence éventuelle d'une asymptote verticale à la courbe ou d'un prolongement par continuité possible.

   

     

   

    ^{ }  

   

2 2

. .

3 3 3

3 3

3

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1) lim lim lim

3 3 3 1 2

1 4 3

lim lim

3 1 2 3 1 2

1 1

lim 1 2 4

Cond : 1 0 3 1 3 1;3 3;

f i

x x x

x x

x

x x

x

x x x x

x x

x x x x

x

x et x x et x Dom

x

  x 

 





    

   

    

  

 

     

 

 

      



  







Fonction prolongée par continuité en x₀3:

   

1 3

4

f x si x dom f

g x si x

 

 

  Prolongement par continuité au point 1

3;4 A 

 

 .

 

0

4

2 1 2

1 2

2 3 1

2) lim : 2 3 0 et 2 3 0

2 3

3 et 1 et 3

2

; 1 1;3 2

2 3 1

lim 0

2 3

x

x

x Cond x x x

x x

x x x

Dom f x

x x







        

 

    

 

     

  

  

Comme la valeur x₀1 n'est pas une valeur à écarter du domaine de définition, il n'est donc pas nécessaire de parler de prolongement par continuité, car la fonction est définie en ce point.

   

       

 

       

0

. .

2 2 2

5

5 2 5

5 5

5 5

4 5 5

4 5 5 4 5 25

3) lim lim lim

10 25 10 25 10 25 4 5 5

4 5 4

lim lim

5 4 5 5

4 5 5 4

5 5

4 5

5 5

f i

x x x

x x

x x

x

x x x

x x x x x x x

x

x x x

x

x





  



 

       

       

    

   





 









Il existe donc une asymptote verticale à la courbe en x₀ 5 : AV  x 5

 

: 4 5 0 et 2 10 25 0

5 et 5 (racine double) 4

5;5 5;

4

Cond x x x

x x

Dom f

    

   

 

   

  

    ^{ }  

    ^{ }  

2 . . 2 2

3 2

0 0 3 2 0 3 2 2

2

0 2 0 2

2

2

1 1 2

1 1 1 1

4) lim lim lim

5 5 5 1 1

1 1 1

lim lim

10 10

5

1 1

1 1

1 1 5 1 1

f i

x x x

x x

x x

x x x

x x x x x x x

x

x x x x x

  

 

 

     

    

    

      

 

 

 

2 3 2

toujours vrai

: 1 0 et 5 0

0 (racine double) et 5

\ 0;5

Cond x x x

x x

Dom f

   

  



Comme x₀ 0 est un pôle de cette fonction et en vue du résultat ci-dessus, il est donc

 

   

   

 

    ^{ }  

 

       

0

. .

3 3

1 1

3 3

1 1

3 2

1 1

0 0

2 1 3

2 1 3

5) lim lim

1 1

4 1 3 4 1 3

lim lim

1 2 1 3 1 2 1 3

3 1 3

lim lim

1 2

2 1 3 2 1

3 3

3

1 1 2 1

f i

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x x



 

 

 

 

 



 

  

 

   

 

     

    

     



 

 

: 1 3 0 et 13 0

1 et 1 (racine triple) 3

; 1 1;1 3

Cond x x

x x

Dom f

   

   

 

     

Comme x₀ 1 est un pôle de la fonction et en vue des résultats ci-dessus, il existe donc une asymptote verticale à la courbe en x₀  1:AV   x 1

   

       

     ^{ }  

. .

2 2 2

1 1 1

1 1

3 2 3

3 2 3 4

6) lim lim lim

4 3 4 3 4 3 3 2

1 1 1 1

lim lim

8 2

3 2

1 3 3 2 3 3 2 8

f i

x x x

x x

x x x

x x x x x x x

x

x x x x x

x

  x 

 

  

     

       

     

      







 

     

: 3 0 et 2 4 3 0

3 et 1 et 3 3;1 1;3 3;

Cond x x x

x x x

Dom f

    

    

    

Comme x₀1 est un pôle de cette fonction et en vue du résultat ci-dessus, il est donc possible de prolonger cette fonction de la manière suivante:

   

1 1

8

f x si x dom f

g x si x

 

 

 





Définition: On appelle borne du domaine de définition, la valeur extrème d'un intervalle définissant le (une partie du) domaine de définition de la fonction. Ces bornes adhèrent aussi au domaine de définition de cette fonction.

Remarque: Chaque pôle est automatiquement une borne d'une partie du domaine de définition.

Exemples:

1)

 

f x  x Dom f 5; 2

5Dom f est la borne finie de ce domaine 2) ^{f x}

 



 



2 Dom f et 2 Dom f

   sont les deux bornes finies de ce domaine

3)

     

2

2 1

1 3

4 3

f x x Dom f , ,

x x

     

 

1Dom f et 3Dom f sont les bornes finies de ce domaine

Aux bornes du domaine, qui ne sont pas pôles de la fonction, il existe seulement soit une limite à gauche, soit une limite à droite de x₀.

Pour les bornes finies du domaine, deux cas de figure se présentent:

a) Si la borne finie appartient au domaine, la limite en cette borne se calcule en remplaçant la valeur dans l'expression de la fonction.

Exemple 1:

 

2 5

2 2

0 0

5 _x 5

Dom f ; lim f x f



   

       

Exemple 2:

       

2

2 2 2 0 0

x

Dom f ; ; lim f x f

          

   

2 2 0 0

x

et lim f x f

    

b) Si la borne finie n'appartient pas au domaine (pas de pôle de la fonction), on calcule la limite comme dans les exemples concernant les pôles, avec la seule différence que l'on ne calcule que, soit la limite à gauche, soit la limite à droite.

Reprenons l'exemple 3:

     

3

0

2 1 2

1

2 1 2 1

1 3

4 3 ^x_x 4 3

x x

f x Dom f , , lim

x x x x





 

      

   

En résumé, on peut dire que toutes les limites finies, qu'il est possible de déterminer, se regroupent dans la notion de points adhérents:

Définition:

On dit que x₀ est un point adhérent au domaine d'une fonction f si et seulement si:

1) x₀dom f ou

2) x₀dom f , mais tout intervalle de la forme





Explication:

Si x₀dom f , alors il faut que x₀ soit un point frontière de dom f , c.-à-d. dom f contient un intervalle de la forme



 

 

 

