TD - Fonction exponentielle et Logarithmique

TD Fonction Exponentielle Exercice 1) Simplifier les expressions :

a) ^{( ln3)}

;

b) x+

e

_x^x

e e

²

; c) ( ^e

^x

^{+ 1} )( ^e

^x

^{− 1} ) ^;

^d)

e

^x+1

e

^x−1

^;

^e)

1

2

1 +

−

x x

e

e

Exercice 2) Vérifier que pour tout x réel on a :

1 2

2

2 2

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ e

^x

+ e

^−x

e

^x

e

^−x

Exercice 3) Résoudre les inéquations : a)

2

^x

≤ 0 . 25 ;

b)

128

2

^x

> 1

; c)

3 1 81

1 ⎟ >

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

^x

;

d)

4 1 5

. 0 1

5

⎟ <

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

^x

;

e)

³² ( )

³

²

^x

^{> 0 . 25}

Exercice 4) Résoudre les équations :

a) 3^2X = 81 ; b) 5^X = 125; c) 2^X+3 = 32 ; d) 8^X = 16 ; e) 3^X =

27

; f) ²= 625

5

^x2^−x−

Exercice 5) Résoudre les équations :

a)

2

7 49 1

x

x

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

; b)

5

2 3 9

4

⁻

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

^x

; c) 3^2X-1 = 81 ; d)

2

^{x2−6x−2,5}

= 16 2

; e)

a

^{(x−2)(x−3)}

= 1

Exercice 6) Résoudre les équations :

a) 5 ^2x - 5^x - 600 = 0 ; b) 9^x - 3^x - 6 = 0 ; c)

e

^4x

− 3 e

^2x

− 4 = 0

Fonction logarithmique Exercice 1) Simplifier les expressions :

a) ln(6) – ln(2); b)

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

2 ln 1 ) 2

ln(

; c) ln(3) – ln(9); d) ln(2) + ln(4) – ln(8); e)

ln( 81 ) 4

1

f)

^{2 ln} ( ) ³

3 ln 1 ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

; g)

^ln ( ^{2 + 3} ) ( ^{+ ln 2 − 3} )

^{; h)}

^ln ( ^{3 1} )

3 1

ln 1 ⎟ − −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+

Exercice 2) a) Vérifier que pour tout x réel positif, on a :

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

=

−

+ x x

x 1

1 ln ) ln(

) 1

ln(

.

b) Montrer que pour tout x>0 l’expression suivante ne dépend pas de x et c’est un nombre entier :

( )

⁷⁵

( ) ^x

²⁵⁷⁷⁷¹

ln x

E(x) = ln

.

Exercice 3) Résoudre les équations :

a) ln(x) = - 3 ; b) 2 ln(x+1) = 0 ; c) ln(2 x + 1) = 1 ; d) ln(3-x) + ln(2) – ln(2x+1) = 0 ; e) ln[x (x+1) ] = 0 ; f) ln(x) + ln(x+1) = 0 ; g) ln²(x) – 4 ln(x) + 4 = 0

Exercice 3) Calculer le logarithme des expressions suivantes :

; b)

E = a

²

×

⁵

a × b

⁴

× c

³ ; c)

E = 7 × a 4

21

d)

3 4

3

a a a

a a E a

×

×

×

= ×

5 4

3 13

41 41 41 ×

= E

a)

e) Représenter la fonction f(x) = x⁵, pour 0<x<5, avec une échelle normale et une logarithmique.