cours 27
4.5 FONCTION
EXPONENTIELLE ET
LOGARITHMIQUE
Au dernier cours, nous avons vu
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmiques
Calculons la dérivée de ces fonctions
Si cette limite existe, c’est une constante.
Reste à savoir ce que vaut cette limite.
Malheureusement, nous n’avons pas les outils pour évaluer cette limite
Nous allons au moins tenter une approche numérique.
Exemple Exemple
Naturellement cette démarche ne démontre absolument rien.
Tout ce qu’elle fait est de laisser entendre que l’égalité suivante est peut-être vrai.
Dans le cas particulier où la base est le nombre
Approche alternative
Historiquement les fonctions exponentielle et logarithmique ont été étudier indépendamment.
On peut commencer par définir l’exponentielle et définir le logarithme comme sa fonction inverse.
Ou bien on commence par définir le logarithme
et on défini l’exponentielle comme sa fonction inverse.
Historiquement le logarithme est apparue pour transformer les produits en sommes.
-0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6
-0,5 0,5
1 1,5
2
On peut définir le logarithme comme la fonction qui donne l’aire sous la courbe de 1 à x de la fonction
On défini tel que l’aire = 1
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5
1 1,5
2 2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8
0,5 1 1,5
2 2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8
0,5 1 1,5
2 2,5
3
À l’aide de cette dérivée, on trouve
Si
Si
Donc la fonction qu’on a nommée ln possède bien la propriété voulue.
Essayons de comprendre la fonction réciproque.
Par définition Car
pour
Donc on a bien que
Une constante
Similairement on peut trouver la dérivée de
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Faites les exercices suivants
# 24 et 25
Exemple
Exemple
Exemple Faire l’analyse complète de
pt. cr. :
pt. cr. :
-2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8
-0,5 0,5
1 1,5
2 2,5
Exemple
Faites les exercices suivants
# 26
Aujourd’hui, nous avons vu
Devoir: #24 à 30
