√1x1]0,1](x) +e−x21[1,+∞[(x) a) Montrer queg est intégrable au sens de Lebesgue

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Université de Tours

UFR Sciences et Techniques Année 2012-2013

Licence de Mathématiques L3 Jeudi 10 janvier 2013 Épreuve d’Intégration 1, session 1 (Durée : 3 heures)

Les documents et tout appareil électronique portable sont interdits

Le sujet comporte 3 exercices indépendants. Les énoncés ne doivent pas être recopiés sur la copie.

Exercice 1

1) Soit n ≥1 un entier. En étudiant le comportement de la fonction ^e^−nx^√_x quand x tend vers 0 et vers+∞, démontrer soigneusement que l’intégrale de Riemann généralisée

Z +∞

0

e^−nx

√x dx

est absolument convergente.

2) Soit g :R→R⁺ la fonction donnée par g(x) = ^√¹_x1]0,1](x) +e⁻^x²1[1,+∞[(x) a) Montrer queg est intégrable au sens de Lebesgue.

b) Prouver que pour tout n ≥1et tout x >0, ^e^−nx^√_x ≤g(x).

c) En déduire que la fonctionx7→ ^e^√^−nx_x 1]0,+∞[(x) est intégrable au sens de Lebesgue sur R. d) Démontrer directement le résultat de 2) c) à l’aide de la question 1 et d’un résultat du cours.

3) a) Trouver la limite quand n →+∞ de la suite u_n=R+∞

0

e√^−nx x dx.

b) Démontrer que la série P+∞

n=1u_n est divergente.

Exercice 2

Dans tout l’exercice, on considère un espace mesuré(Ω,T, µ).

1) Soient f et g deux fonctions mesurables définies sur Ω. On suppose que f =g µ-presque partout.

a) Préciser très rigoureusement ce que signifie l’hypothèse précédente sur les fonctions f et g.

b) Démontrer que sif est intégrable surΩpour la mesure µalors g est également intégrable surΩ pour la mesureµ et on aR

Ωf dµ=R

Ωgdµ.

2) Soient (f_n) et (g_n)deux suites de fonctions mesurables définies sur Ω telles que les deux séries P+∞

n=1f_n :=f etP+∞

n=1g_n :=g sont convergentes surΩ.

a) Démontrer que les fonctions f etg sont mesurables.

b) On suppose que pour tout entier n ≥ 1, f_n = g_n µ-presque partout. Montrer que si f ∈ L¹(Ω,T, µ), alors on a aussi g ∈ L¹(Ω,T, µ).

Exercice 3

1) Démontrer que pour toutt ∈R, la fonctionx7→e^−x^sin(tx)_x 1[0,+∞[(x)est intégrable au sens de Riemann généralisé ainsi qu’au sens de Lebesgue sur R. On pose alors

F(t) = Z +∞

0

e^−xsin(tx) x dx

(2)

.

2) Démontrer que la fonctionF est continue surR(indication : on pourra utiliser le fait bien connu que pour toutu∈R, on a |^sinu_u | ≤1).

3) Démontrer que F est dérivable surR et donner une expression intégrale de F⁰(t).

4) a) Soit A >0. Calculer limA→+∞

RA

0 e^(−1+it)xdx.

b) En déduire la valeur deF⁰(t)puis celle de F(t).