ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen Final: R´eponses
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal
c 2012, Steve Ambler Hiver 2010
1 R´eponses courtes (20 points)
1. La deuxi`eme hypoth`ese est une restriction non lin´eaire sur les valeurs des param`etres. Cela nous empˆeche d’´ecrire les restrictions sous la forme Rβ =r, ce qui nous empˆeche d’´ecrire une statistique qui, en grand ´echantillon, suivrait un loiF2,∞. Donc la r´eponse estnon.
2. L’´enonc´e est faux. Puisque les tests individuels ne sont pas ind´ependants, le niveau de significativit´e marginale du test joint serait incorrect.
La seule fac¸on de proc´eder dans un cas comme celui-ci serait d’utiliser l’in´egalit´e de Bonferroni d´ecrite `a la page 248 du manuel.
3. Si on ajoute une variable explicative `a un mod`ele de r´egression, la somme des r´esidus au carr´e ne peut que diminuer et en g´en´eral va diminuer stric- tement. Le calcul de l’estimateur MCO sans la variable ajout´ee est un probl`eme de minimisation sous une contraite additionnelle (que le coef- ficient associ´e `a cette variable est ´egal `a z´ero). Imposer une contrainte additionnelle dans le contexte d’un probl`eme de minimisation ne peut que faire augmenter le minimum trouv´e comme solution au probl`eme.
4. Le signe du biais d´epend du signe de la corr´elation entre la variable omise et la ou les variables incluses dans la r´egression. Si cette corr´elation est
nulle, il n’y a pas de biais. La taille du biais en valeur absolue d´epend (dans le cas o`u il n’y a qu’une variable incluse dans la r´egression `a part la constante) invers´ement de la variance de la variable incluse. S’il y a plu- sieurs variables incluses, elle sera invers´ement proportionnelle aux deuxi`eme moments bruts de ces variables. Donc il est possible que le biais soit petit en valeur absolue si la variance de la variable incluse (dans le cas o`u il n’y a qu’une variable incluse) est tr`es grande.
2 Propri´et´es d’estimateurs (20 points)
1. Si l’estimateur est non biais´e, il faut que E
β˜
=β.
2. La variable al´eatoire (ou le vecteur de variables al´eatoires)β, dont les pro-˜ pri´et´es d´ependent de la taille d’un ´echantillonn, converge en probabilit´e `a la constanteβ (au vecteur de constantesβ). Cela veut dire que, lorsquen tend vers l’infini, la probabilit´e que β˜se retrouve dans un intervalle arbi- trairement petit autour deβtend vers un.
3. Dans le premier cas (convergence en probabilit´e), le vecteur de variables al´eatoires se comporte dans la limite comme un vecteur deconstantesavec une variance nulle. Dans le deuxi`eme cas (convergence en distribution), le vecteur de variables al´eatoires continue de se comporter comme des variables al´eatoire avec une matrice variance-covariance semi-positive- d´efinie (pas n´ecessaire d’utiliser ce terme technique).
4. En multipliant par√
n, on emp`eche la variance de l’estimateur de diminuer proportionnellement avec n. La matrice variance-covariance ne tend pas vers z´ero et donc le vecteur√
nβ˜se comporte davantage dans le cas limite comme un vecteur de variables al´eatoires au lieu de se comporter comme un vecteur de constantes.
5. Un estimateur d’un vecteur de param`etres est efficient si la variance d’une combinaison lin´eaire quelconque des estim´es a une variance plus petite que la mˆeme combinaison lin´eaire d’un autre estimateur de ces param`etres.
6. L’estimateur MCO dans le mod`ele de r´egression multiple est efficient lorsque les erreurs sont homosc´edastiques (ont une variance constante) tout en restant ind´ependantes les unes des autres. Nous ne supposons pas l’ho- mosc´edasticit´e dans la version de base du mod`ele.
7. Si on ne mulitiplie pas par√
n, la matrice de variance-covariance Σ˜β di- minue proportionnellement `a n1, et donc tend vers une matrice de z´eros lorsque n tend vers l’infini. C’est comme si β˜ tend vers un vecteur de constantes au lieu de rester un vecteur de variables al´eatoires lorsque n tend vers l’infini.
3 Estimateur MCO (20 points)
1. Le mod`ele s’´ecrit
Y =Xβ+U, avec
Y ≡
Y1 Y2 . . . Yn
0
,
X ≡
1 X11 X21 . . . Xk1 1 X12 X22 . . . Xk2 ... ... ... . .. ... 1 X1n X2n . . . Xkn
,
β ≡
β0 β1 β2 . . . βk 0
, U ≡
u1 u2 . . . un 0
. 2. Le probl`eme de minimisation peut s’´ecrire
min
β U0U, ou, en substituantU,
minβ (Y −Xβ)0(Y −Xβ).
Notez qu’il fallait sp´ecificer correctement le vecteur des variables de choix du probl`eme.
3. Le probl`eme peut s’´ecrire min
β0,β1,...,βk
n
X
i=1
(Yi −β0−X1iβ1−X2iβ2−. . .−Xkiβk)2.
Encore une fois, il fallait sp´ecifier correctement les variable de choix du probl`eme.
4. Cette question est un peu redondante ´etant donn´ees les 2 premi`eres sous- questions. Il s’agit deβo,β1,β2,. . .,βk, ou (en notation vectorielle)β.
5. Les CPOs sont
β0 : 0 =−2
n
X
i=1
(Yi−β0−X1iβ1−. . .−Xkiβk) ;
β1 : 0 =−2
n
X
i=1
X1i(Yi−β0 −X1iβ1−. . .−Xkiβk) ;
β2 : 0 =−2
n
X
i=1
X2i(Yi−β0 −X1iβ1−. . .−Xkiβk) ;
... βk : 0 =−2
n
X
i=1
Xki(Yi−β0−X1iβ1−. . .−Xkiβk).
6. On a un syst`eme dek + 1 ´equations enk + 1inconnus. Pour l’existence d’une solution unique, il suffit que (X0X)soit inversible. En langage non matriciel, il faut que parmi lesk+ 1´equations il n’y ait pas de d´ependance lin´eaire exacte.
4 Tests d’hypoth`ese (20 points)
1. Il y a trois restrictions. Sous forme matricielle, on a
0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 −1
β0 β1
β2 β3 β4 β5
=
0 0 0 0 0 0
.
2. Si on n’impose pas de restriction sur la loi qui g´en`ere le terme d’erreur du mod`ele (`a part les hypoth`eses de base du mod`ele), la statistiqueF va se comporterapproximativementcomme uneF de Fisher en grand ´echantillon.
Il y a trois restrictions, et donc on utilisera une table pour la loiF3,∞.
3. La version robuste utilise la matrice variance-covariance de l’estimateur qui est calcul´ee en n’imposant pas l’homosc´edasticit´e des erreurs. La ver- sion non robuste suppose l’homosc´edasticit´e.
4. La version transform´ee du mod`ele peut s’´ecrire
Yi =β0+ (1−3β3)X2i+β3X3i+β4X4i+β4X5i+ ˜ui.
Notez qu’il y a plus d’une fac¸on ´equivalente d’´ecrire le mod`ele contraint.
J’ai ´ecris le terme d’erreur avec un tilde pour souligner le fait que ce n’est pas le mˆeme mod`ele. On peut r´e´ecrire le mod`ele comme
(Yi−X2i) =β0+β3(X3i−3X2i) +β4(X4i+X5i) + ˜ui ou
Yi∗ =γ0+γ1Z1i+γ2Z2i+ ˜ui,
avec les red´efinitions ´evidentes. Pour effectuer le test, on estime le mod`ele contraint et le mod`ele non contraint, et on construit une statistique F sur la base soit desR2soit desSSR. Il n’´etait pas n´ecessaire d’´ecrire en d´etail les formules, mais les voici :
F = (SSRrestricted−SSRunrestricted)/q SSRunrestricted/(n−kunrestricted−1), ou
F = (R2unrestricted−R2restricted)/q
(1−R2unrestricted)/(n−kunrestricted−1). Les d´efinitions des termes se retrouvent dans les notes de cours.
5. Il faut supposer l’homosc´edasticit´e des erreurs pour que cette fac¸on de proc´eder soit valide.
5 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)
1. C’est un mod`ele non lin´eaire dans les variables seulement. Les d´eriv´ees partielles du cˆot´e droit de l’´equation qui d´efinit le mod`ele par rapport aux param`etres ne d´ependent que des variables explicatives du mod`ele.
2. La valeur de pr´editeY2 en p´eriode finale est donn´ee par Yb2 =βb0+βb1X12+βb2X122+βb3X21+βb4X12X2i
et en p´eriode initale par
Yb1 =βb0+βb1X11+βb2X112
+βb3X21+βb4X11X2i
puisque par hypoth`eseX22 = X21. Donc, le changement pr´edit est donn´e par
∆Yb =βb1∆X1+βb2 X122−X112
+βb4X21∆X1.
3. On peut proc´eder par la matrice variance-covariance deβ. Nous avonsb
∆Yb =
0 ∆X1 X122−X112
0 X21∆X1
βb0 βb1 βb2 βb3 βb4
≡δ0β.b
Suivant la mˆeme d´emarche que dans les notes, on a Var
δ0βb
=E
δ0βb βb0δ
=δ0E
βbβb0
δ=δ0Σbβbδ qui est un scalaire. Donc,
SE
δ0βb
= q
δ0Σbβbδ.
Donc, finalement, pour l’intervalle de confiance on aurait δ0βb±z
q δ0Σbβbδ,
pourz >0et o`uX dans 1−X
100 = 2 × Pr(Z <−|z|)
est le pourcentage de confiance d´esir´e. Une deuxi`eme fac¸on de proc´eder serait par une estimation d’une version ´equivalente du mod`ele. On pourrait estimer
Yi =β0+
β1+ X122−X112
∆X β2+X21β4
X1i
+β2
X2i− X122−X112
∆X X1i
+β3X3i
+β4(X4i−X21X1i) +ui.
Le mod`ele est clairement ´equivalent au mod`ele original. Le coefficient associ´e `a la variableX1nous donne l’´ecart type de
∆Yb
∆X1
.
Appelons ce coefficient γ1. Le logiciel de r´egression va nous fournir son
´ecart type (robuste si on le demande). Appelons cet ´ecart typebσ2
bγ1. L’inter- valle de confiancep pour∆Yb devient
∆Yb ±z × ∆X1bσbγ1, o`uzest d´efini de la mˆeme fac¸on qu’avant.
document cr´e´e le : 01/12/2012
