Contrôle de la traînée de frottement d'une couche limite turbulente au moyen de revêtements rainurés de type riblets

Texte intégral

(1)Contrôle de la traînée de frottement d’une couche limite turbulente au moyen de revêtements rainurés de type riblets Amaury Bannier. To cite this version: Amaury Bannier. Contrôle de la traînée de frottement d’une couche limite turbulente au moyen de revêtements rainurés de type riblets. Mécanique [physics.med-ph]. Université Pierre et Marie Curie Paris VI, 2016. Français. �NNT : 2016PA066286�. �tel-01414968v2�. HAL Id: tel-01414968 https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01414968v2 Submitted on 2 Feb 2017. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) Université Pierre et Marie Curie École Doctorale SMAER. Thèse de doctorat Discipline : Mécanique présentée par. Amaury BANNIER. Contrôle de la traînée de frottement d’une couche limite turbulente au moyen de revêtements rainurés de type riblets. Soutenue le 28/06/2016 devant le jury composé de : M.. Jean-Paul. BONNET. Institut P’, Poitiers. Rapporteur. M.. Jean-Camille. CHASSAING. ∂’Alembert, UPMC, Paris. Examinateur. M.. Carlo. COSSU. IMFT, Toulouse. Rapporteur. M.. Jean-Paul. DUSSAUGE. IUSTI, Polytech Marseille. Examinateur. M.. Éric. GARNIER. ONERA, Meudon. Directeur. M.. Pierre. SAGAUT. M2P2, Aix-Marseille Univ.. Directeur.

(3) ONERA – The French Aerospace Lab 8, rue des Vertugadins 92190 MEUDON.

(4) à mes amis, à ma famille, à Clémentine.. « On dit qu’on apprend avec ses erreurs, mais à mon avis c’est une erreur... et si je me trompe, au moins j’aurai appris quelque chose. » – Geluck, Le tour du chat en 365 jours –.

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(6) Remerciements. Trois années de thèse, trois ans sur un même sujet, ça peut a priori sembler très long. Et pourtant... Et pourtant, je n’y ai pas vu le temps passer, tant le sujet et le cadre de travail ont pu être captivants. Je tiens vivement à remercier tous ceux qui, à Meudon, au 2bis ou ailleurs, ont contribué à ce que chaque nouvelle journée puisse être abordée avec le même enthousiasme. Tout d’abord, il convient de rappeler que cette thèse a été réalisée au sein du département d’aérodynamique appliquée (DAAP) de l’Onera, grâce au financement de ce même office et de l’École Polytechnique. Les conditions de travail et les moyens mis à la disposition des doctorants y sont tout simplement exceptionnels, tant sur les aspects d’encadrement que sur les moyens de calcul scientifique. Ça a donc été une grande chance de pouvoir bénéficier du fort niveau d’expertise technique, maintenu à l’Onera depuis un demi-siècle, au travers de scientifiques impliqués et de ressources encore considérables. Par expertise technique, j’entends en particulier celle d’Éric Garnier et de Pierre Sagaut, qui ont su diriger ma thèse, éclairer les points obscurs et surtout insuffler les changements de cap face aux aléas de la recherche. Plus qu’un directeur de thèse, Éric a été un encadrant, un conseiller d’orientation, un partenaire de bureau... Nos discussions, qu’elles soient orientées turbulence, planeur ou randonnée, ont été incroyablement enrichissantes et constituent un élément majeur de mon quotidien de thèse et un très agréable souvenir. Mon quotidien de thésard aura également été animé par toute la vie du second étage du DAAP. Une vie faite de réflexions anatomiques et d’expérimentations nasales avec Sébastien Deck, dont les divers conseils ont été d’un véritable encouragement. Une vie faite des défis lancés par Philippe, qui m’ont permis d’éprouver des sensations réservées habituellement aux seuls véritables champions du déhanché athlétique. Une vie faite des "Maüro" gesticulés d’Andrea, partenaire d’arrosage de feue la plante carnivore. Une vie faite de digressions FIK allant bon train (oxymore ?) avec Nicolas Hateehatee-hatee-ho. Une vie du tac-au-tac avec Ciel-mon-Mickael, camarade du LériX. Une vie faite de Facts, feta et poils arabica aux côté d’Ilias, dont les progrès linguistiques sont dignes d’un vrai "gars de la famille". Une vie faite d’attendrissants petits chatons dont seul John Q. a une connaissance exhaustive. Une vie faite des jeux d’esprit et des non moins impressionnants jeux de jambes de Loic, capoeiriste philosophe. Une vie faite de footings avec des gars qui n’étaient pas à fond, comme Gérald, Thierry, François et Edoardo. Une vie faite de mariages qui n’en étaient pas avant qu’ils en soient, d’élégante licorne, de king de la bachata, de contrôle militaire franco-allemand et de toutes ces petites choses qui font que l’on sait que l’on est bien entouré. Merci à tous les protagonistes de cette incroyable vie du DAAP ! Quand la journée à Meudon s’achevait, celle du 2bis commençait. Quel plaisir, quelle joie, quel bonheur que de retrouver, chaque soir, quatre colocataires exceptionnels et autres amis non moins v.

(7) vi incomparables pour des soirées prohib’, allers-et-retours au Mammouth, cultures de vers, repas indiens, concerts mexicanos, randonnées himalayennes, trails free-spirit... Côtoyer chacune de vos bonnes bouilles joyeuses aura été autant de bonnes raisons de profiter à pleins poumons de ces riches années étudiantes. Enfin, mes plus grands remerciements sont tout droit dirigés vers ma famille et vers Clémentine. Au delà de tous les excellents moments passés ensemble, leur compréhension et leurs encouragements auront été d’un soutien considérable lors des traversées du désert qui jalonnent la thèse. Merci d’avoir continuer, pendant ces trois années, à vous intéresser à mes lentes avancées. Quelle chance et quel ressourcement que d’être entouré de gens que l’on aime. La thèse étant maintenant derrière, place à une nouvelle vie nantaise pleine de dynamisme sans concessions ! Édouard, il est temps d’apporter enfin une réponse à ta persévérante question. Oui, j’ai finis ma thèse..

(8) Table des matières. I II. Introduction. 1. Revue bibliographique. 5. 1 Physique de la turbulence pariétale 1.1 Rappel des équations de la mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Lois complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Modélisation statistique de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Présentation de la couche limite : un problème multi-échelle . . . . . . . 1.2.1 Grandeurs et échelles caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Description de la couche limite incompressible sans gradient de pression 1.3.1 Profils de vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Évolution des grandeurs caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Grandeurs turbulentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Description des mouvements fluctuants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Cycle proche-paroi d’auto-régénération de la turbulence . . . . . 1.4.2 Hypothèse des tourbillons attachés . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Mécanismes top-down et super-structures . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Vitesse de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Description de l’empreinte pariétale de la turbulence . . . . . . . . . . . 1.5.1 Grandeurs pariétales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Décomposition du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Cas limite du frottement laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Interactions entre frottement et structures turbulentes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 8 8 9 10 12 13 14 16 17 24 27 30 30 33 34 36 36 36 37 38 39. 2 Contrôle de la turbulence pariétale 2.1 Définitions et classification des stratégies de contrôle . . . . 2.2 Présentation du contrôle par utilisation de riblets . . . . . . 2.2.1 Performances et régimes de réduction de frottement 2.2.1.1 Performance en écoulement laminaire . . . 2.2.1.2 Influence de la dimension des riblets . . . . 2.2.1.3 Influence de la géométrie . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 43 44 47 50 50 51 52. vii. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . ..

(9) viii. TABLE DES MATIÈRES. 2.3. 2.2.1.4 Sensibilité à la finesse de la crête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.5 Influence de l’alignement des riblets avec l’écoulement . . . . . . . 2.2.1.6 Influence du nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.7 Influence du nombre de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.8 Influence du gradient de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.9 Influence sur la transition laminaire/turbulente . . . . . . . . . . . 2.2.2 Caractéristiques de l’écoulement contrôlé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Distribution spatiale du frottement sur la surface des rainures . . 2.2.2.2 Écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.3 Tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Mécanismes de réduction de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.1 Résistance aux fluctuations transverses . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.2 Interactions entre riblets et TQLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.3 Mécanisme de revêtement rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.4 Instabilités de Kelvin–Helmotz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscillations transverses de parois et ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Performances de réduction de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.1 Paramètres d’influence sur la réduction de traînée . . . . . . . . . 2.3.1.2 Économie nette d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.3 Mouvement périodique arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.4 De la dépendance temporelle à la dépendance spatiale . . . . . . . 2.3.2 Caractéristiques de l’écoulement contrôlé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Mécanismes de réduction de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3.1 Déplacement latéral relatif des structures turbulentes proche-paroi 2.3.3.2 Création de vorticité transverse négative . . . . . . . . . . . . . .. 3 Modélisation et simulation des écoulements turbulents 3.1 Simulations des grandes échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . 3.1.1.2 Application aux écoulements turbulents . . . . 3.1.2 Modélisation sous-maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2.1 Modélisation du tenseur sous-maille . . . . . . 3.1.2.2 Modèle d’échelles mixtes sélectif . . . . . . . . 3.1.2.3 Modélisation de la conductivité sous-maille . . 3.2 Discrétisation et résolution des équations de Navier-Stokes . . . 3.2.1 Formulation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Méthode des volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Discrétisation spatiale des flux . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.1 Discrétisation spatiale des flux visqueux . . . . 3.2.3.2 Discrétisation spatiale des flux convectifs . . . 3.2.4 Intégration temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5.1 Parois solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5.2 Frontières libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5.3 Condition d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5.4 Condition de périodicité, raccord informatique bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et implicitation . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . par . . .. 54 55 56 57 57 58 58 58 59 62 64 64 66 69 71 72 74 74 76 76 78 78 80 80 81 83 85 86 86 86 88 89 89 90 90 90 91 91 91 92 94 96 97 97 97 99.

(10) TABLE DES MATIÈRES. III. Études. ix. 101. 4 Établissement d’une méthode pour la simulation numérique de riblets rectilignes103 4.1 Choix et définition du cas d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2 Choix des paramètres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.1 Domaine et discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.2 Condition aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.3 Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3 Génération analytique du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.1 Topologie du maillage dans la zone de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.2 Topologie du maillage dans la zone de paroi lisse . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.3 Distribution analytique des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4 Présentation des résultats et validation de la méthode numérique . . . . . . . . . . . 117 4.4.1 Campagnes de simulations et choix de paramètres numériques . . . . . . . . . 117 4.4.2 Degré 0 : Observation qualitative de champs instantanés . . . . . . . . . . . . 118 4.4.2.1 Frottement pariétal instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.2.2 Structures turbulentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4.3 Degré 1 : Grandeurs globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4.3.1 Frottement pariétal moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4.3.2 Épaisseurs de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4.4 Degré 2 : Champs aérodynamiques moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.4.1 Champ de densité moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.4.2 Champ de pression moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.4.3 Champs de vitesses moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.4.5 Degré 3 : Intensités fluctuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4.5.1 Champs des tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4.5.2 Contrainte de cisaillement total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4.6 Degré 4 : Densité spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.4.7 Degré 5 : Corrélations spatiales et temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.4.8 Degré 6 : Bilans énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5 Définition d’une origine virtuelle adaptée à l’analyse de l’écoulement contrôlé 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Article : Riblet Flow Model Based on an Extended FIK Identity . . . . . . . . . . . 5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Simulation Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Reduction of the Wall Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 A New Skin Friction Decomposition for Complex Surfaces . . . . . . . . . . . 5.2.5 Analysis of the Riblet Effects Through a Friction Decomposition . . . . . . . . 5.2.6 An Appropriate Virtual Origin Based on the Friction Decomposition . . . . . 5.2.7 Mean Velocity Field and Turbulent Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.8 Conclusion and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Discussion complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Résumé succinct de l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Mouvements cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Bilans énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 145 145 147 147 150 155 157 161 161 164 169 170 173 173 173 176 179.

(11) x. TABLE DES MATIÈRES. 6 Prévision des performances à grand nombre de Reynolds 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Article : Friction drag reduction achievable by near-wall turbulence manipulation in spatially developing boundary-layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 A composite model for the controlled flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Direct effect : Skin-friction reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Indirect effect : Decrease of the boundary-layer thickening rate . . . . . . . . 6.2.5 Combined effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.6 Effect on the FIK decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.7 Comparison with real drag-reducing flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Résumé succinct de l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181 181 183 183 184 186 188 189 191 195 197 199 200. 7 Évaluation des capacités de réduction de traînée de riblets tridimensionnels 201 7.1 Évaluation de la traînée de patchs de riblets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.1.2 Paramétrisation des patchs de riblets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.1.3 Performance de réduction de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.2 Étude paramétrique de riblets sinueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.2.2 Paramétrisation des riblets sinueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.2.3 Mise en place d’une stratégie d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.2.3.1 Construction de la surface de réponse par krigeage . . . . . . . . . . 212 7.2.3.2 Échantillonnage initial par hypercube latin . . . . . . . . . . . . . . 216 7.2.3.3 Stratégie de raffinement et fonction de mérite . . . . . . . . . . . . . 217 7.2.3.4 Critère de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.2.3.5 Optimisation basse-fidélité par évaluation directe . . . . . . . . . . . 220 7.2.3.6 Évaluation haute-fidélité par LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.2.4 Résultat de l’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.2.4.1 Poursuite de l’optimisation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.2.5 Simulations LES/DNS complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.2.5.1 Traînée totale, frottement visqueux et résultante des efforts de pression225 7.2.5.2 Influence des riblets sinueux sur l’écoulement . . . . . . . . . . . . . 227 7.3 Évaluation de la traînée de riblets en chevron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.3.2 Mise en place de simulations numériques directes . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.3.3 Performance de réduction de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.3.4 Influence de grandes échelles dans la couche limite. . . . . . . . . . . . . . . . 239 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241. IV. Conclusions. Annexes. 243 249. A Dérivation de la décomposition FIK étendue aux surfaces géométriquement complexes 251 A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 A.2 Dérivation de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 A.3 Formulation étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.

(12) xi. TABLE DES MATIÈRES B Implémentation de la méthode d’injection de turbulence SEM B.1 Objectif de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1 Fluctuations de densité et de pression . . . . . . . . . . . . B.2.2 Fluctuations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.3 Décomposition de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.4 Modes de fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.5 Fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Données d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Données de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Pseudo-code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.1 Pré-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.1.1 Fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.1.2 Adimensionnement des fonctions de formes . . . . B.5.1.3 Mise à l’échelle des structures . . . . . . . . . . . B.5.1.4 Nombre de structures . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.1.5 Correction de superposition . . . . . . . . . . . . . B.5.1.6 Calcul de la décomposition de Cholesky . . . . . . B.5.1.7 Fin du prétraitement . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.2 Génération des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5.2.1 Initialisation de la population de structures . . . . B.5.2.2 Début de la boucle temporelle . . . . . . . . . . . B.5.2.3 Mise à jour des structures . . . . . . . . . . . . . . B.5.2.4 Calcul du champ de fluctuation instantané . . . . B.5.2.5 Calcul du champ instantané de ν˜ . . . . . . . . . . B.5.2.6 Fin de la boucle temporelle . . . . . . . . . . . . . B.6 Notes sur l’implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6.1 Paramétrage des modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6.2 Dimensionnement des structures . . . . . . . . . . . . . . . B.6.3 Appel des fonctions de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6.4 Gestion de la périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6.5 Localisation des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259 260 260 261 262 262 263 263 264 265 265 265 265 266 266 267 267 270 271 272 272 272 273 273 275 277 277 277 278 278 278 279 281.

(13) xii. TABLE DES MATIÈRES.

(14) Première partie. Introduction. 1.

(15)

(16) Introduction. Contexte de l’étude Depuis une trentaine d’années, l’industrie du transport s’est particulièrement intéressée à la réduction de ses dépenses énergétiques. La hausse des prix du carburant et les exigences environnementales des agences de régulation maintiennent une pression forte sur cette problématique. Dans les applications aéronautiques, les efforts pour atteindre cet objectif se concentrent notamment sur la traînée de frottement, qui représente environ la moitié de la traînée totale, c’est-à-dire un poste de dépense énergétique majeur. Une réduction de 2% de la traînée de frottement entraînerait une baisse d’environ 0.75% de la consommation de carburant du transport aérien civil, soit potentiellement 9 millions de tonnes de rejet annuel de CO2 [167]. La traînée de frottement provient du caractère visqueux du fluide, qui adhère aux parois en mouvement et s’oppose ainsi à leur déplacement. La région dans laquelle le fluide est affecté par la présence de la paroi est appelée couche limite. En fonction des conditions de l’écoulement, celleci peut passer d’un état laminaire à un état turbulent, pour lequel le frottement est largement amplifié. La capacité à manipuler la turbulence à proximité de la paroi, de sorte à limiter cette élévation du frottement, offre des perspectives de gain énergétique considérable, mais nécessite une bonne compréhension des phénomènes physiques. La dernière décennie a vu les connaissances sur la structure de la couche limite turbulente croître de façon importante. Notamment, la mise en œuvre d’outils de simulations numériques directes (DNS) ou de simulations des grandes échelles (LES) a permis d’identifier les modèles phénoménologiques qui expliquent l’influence des structures turbulentes sur le frottement pariétal. Grâce à ces avancées, de nombreuses stratégies de contrôle de la turbulence pariétale ont été envisagées, mais restent aujourd’hui technologiquement inapplicables, financièrement inabordables ou estimées trop peu efficaces pour conduire à de réelles utilisations pratiques. Parmi les technologies les plus prometteuses, l’utilisation de surface rainurée longitudinalement a été étudiée avec une attention particulière, tant expérimentalement [18] que numériquement [37]. Ces rainures, nommées riblets, permettent de réduire le frottement pariétal jusqu’à 10% de façon totalement passive, c’est-à-dire sans nécessiter d’apport énergétique. Dès le début des années 1990, des essais en conditions réelles d’utilisation ont confirmé les résultats des essais en soufflerie. La traînée globale d’un Airbus A320 a ainsi été réduite de 2% environ en recouvrant 70% de sa surface de riblets. Néanmoins, en considérant les coûts de maintenance de l’époque, ce gain s’est révélé trop limité pour justifier l’adoption de cette technologie. Depuis, la simulation numérique a grandement contribué à la compréhension et à la caractérisation de l’influence des riblets sur les couches limites turbulentes. Par exemple, on sait aujourd’hui 3.

(17) 4 identifier les formes de rainures pertinentes et caractériser, suivant la taille des riblets, différents régimes de réduction ou d’augmentation de traînée. De plus, la couche limite turbulente contrôlée par des riblets a été largement observée et décrite dans la littérature. Néanmoins, de nombreuses incertitudes demeurent quant aux principaux mécanismes responsables de la réduction de traînée et quant à leur évolution à grands nombres de Reynolds. Par ailleurs, de récentes études numériques [207] et expérimentales [33] ont révélé des pistes très encourageantes avec des géométries de riblets, non plus rectilignes, mais tridimensionnelles. Ces résultats ont été obtenus sur des configurations d’écoulement de canal plan qui ne tiennent pas compte de l’évolution longitudinale des échelles spatio-temporelles dans la couche limite turbulente. Ils ouvrent néanmoins de nombreuses perspectives et laissent penser que le potentiel des riblets est loin d’avoir été complètement exploré.. Objectif et démarche Justifiée par le contexte précédent, cette thèse a suivi un double objectif. Le premier objectif consiste à améliorer la compréhension des mécanismes d’interaction entre les riblets et les mouvements turbulents proches de la paroi. Il s’agit notamment de permettre une meilleure quantification des performances de réduction de traînée atteignables dans des cas applicatifs. L’exploration du potentiel a priori prometteur que représentent différentes géométries de riblets tridimensionnels a constitué le second objectif de cette thèse. Le but est non seulement de confirmer les quelques résultats précurseurs de la littérature à ce sujet, mais également de proposer une géométrie à la fois optimale en termes de réduction de traînée et industriellement réalisable. Après la présentation des connaissances actuelles de la communauté scientifique relatives à la turbulence pariétale, à son contrôle et sa simulation numérique, quatre grands volets d’études pourront être dégagés, dont chacun fera l’objet d’un chapitre dédié : Le premier axe, développé dans le chapitre 4, concerne l’établissement et la validation d’une méthodologie de simulation numérique. Il s’agit de mettre au point une méthode qui permette de simuler numériquement une couche limite turbulente contrôlée par des riblets. On s’intéressera aux couches limites en développement spatial, plus représentatives des écoulements des cas industriels que l’on souhaite traiter. Une attention particulière sera portée aux contraintes imposées par la présence des riblets, tant en termes de discrétisation spatiale qu’en termes de topologie de maillage. Les résultats de simulation seront alors présentés et confrontés à des résultats de référence de la littérature chaque fois que cela sera possible. Ainsi assurée de la pertinence et de la validité de la méthode numérique, une analyse plus fine de l’écoulement pourra être entreprise. Au chapitre 5, le concept d’origine virtuelle, c’est-à-dire la position particulière à laquelle la couche limite “voit” une paroi plane équivalente, sera alors abordé. Sa définition est de première importance lorsque l’on souhaite comparer l’écoulement au-dessus d’une paroi plane avec celui au-dessus de riblets. Une origine virtuelle placée de façon adéquate permettra d’établir d’importantes similitudes entre les écoulements avec et sans contrôle. Au chapitre 6, on s’intéressera à l’évolution de la couche limite contrôlée à mesure que celle-ci se développe, c’est-à-dire à mesure que son nombre de Reynolds augmente. En effet, la présence du contrôle affecte non seulement le frottement local, mais perturbe également l’épaississement de la couche limite. En s’appuyant sur la caractérisation de l’écoulement faîte au chapitre précédent, l’étude analytique qui y sera conduite tentera d’évaluer l’influence sur le frottement pariétal de ces différents effets du contrôle sur la couche limite turbulente. Finalement, la traînée induite par des riblets de diverses géométries tridimensionnelles sera évaluée dans le chapitre 7. Basées sur des résultats issus de la littérature ou établis au cours des chapitres précédents, trois configurations a priori prometteuses seront étudiées. En particulier, les concepts de riblets sinueux et de riblets en chevrons déjà abordés dans la littérature seront réévalués en détail..

(18) Deuxième partie. Revue bibliographique. 5.

(19)

(20) Chapitre. 1. Physique de la turbulence pariétale. Sommaire 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. Rappel des équations de la mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Lois complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Modélisation statistique de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Présentation de la couche limite : un problème multi-échelle . . . . . . 1.2.1 Grandeurs et échelles caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description de la couche limite incompressible sans gradient de pression 1.3.1 Profils de vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Évolution des grandeurs caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Grandeurs turbulentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description des mouvements fluctuants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Cycle proche-paroi d’auto-régénération de la turbulence . . . . . . . . . . . 1.4.2 Hypothèse des tourbillons attachés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Mécanismes top-down et super-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Vitesse de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description de l’empreinte pariétale de la turbulence . . . . . . . . . . . 1.5.1 Grandeurs pariétales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Décomposition du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Cas limite du frottement laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Interactions entre frottement et structures turbulentes . . . . . . . . . . . .. 8 8 9 10 12 13 14 16 17 24 27 30 30 33 34 36 36 36 37 38 39. Pour commencer ce mémoire, on propose dans ce chapitre de décrire la physique de la turbulence pariétale, avant d’envisager, dans les chapitres suivants, de la contrôler. Il serait donc opportun de commencer par fournir une définition claire et précise de la turbulence. Cependant, comme le précisent de nombreux spécialistes depuis plus de 40 ans [261, 231], cet exercice s’avère difficile de par la nature même de la turbulence. Néanmoins, le concept de turbulence peut être indirectement cerné par ses caractéristiques. Tout d’abord, le qualificatif de “turbulent” s’applique à un écoulement et non pas à un fluide lui-même. C’est donc un concept intimement lié à la notion de mouvement. De 7.

(21) 8. Chapitre 1 : Physique de la turbulence pariétale. plus, les deux ouvrages précédents s’accordent sur la nature tridimensionnelle et instationnaire de la turbulence. Les fluctuations turbulentes, et en particulier les mouvements tourbillonnaires, confèrent aux écoulements turbulents des propriétés fortement diffusives et dissipatives. Enfin, les deux dernières caractéristiques majeures de la turbulence concernent sa nature chaotique et la grande diversité des échelles dynamiques actives. Ainsi, bien que le mouvement des écoulements turbulents soit régi par les lois établies de la mécanique des milieux continus, sa description déterministe n’a que peu d’intérêt. L’étude de la turbulence doit donc être réalisée au moyen d’outils statistiques. Par opposition à l’étude d’écoulement turbulent comme les couches de mélange ou même à l’étude très fondamentale de la turbulence homogène isotrope, on s’intéresse ici au cas de la turbulence pariétale, c’est-à-dire aux écoulements turbulents à proximité d’une paroi. Sous l’effet de la viscosité, la présence de la paroi affecte l’écoulement dans une fine couche appelée couche limite, siège d’un cisaillement important. Cette couche limite sera présentée plus en détail après un bref rappel des lois fondamentales régissant la dynamique des écoulements. Dans la suite du chapitre, on abordera alors une description plus fine de l’écoulement d’une couche limite sans gradient de pression, en s’intéressant particulièrement aux mouvements fluctuants et à leurs empreintes sur la paroi.. 1.1. Rappel des équations de la mécanique des fluides. Le cadre des écoulements considérés dans ce travail est celui des fluides compressibles, pour lesquels l’hypothèse de milieu continu est valide. Cela implique que le libre parcours moyen des molécules sera toujours très inférieur aux plus petites dimensions caractéristiques en jeu dans cette étude. Ainsi, les volumes de contrôle considérés, même élémentaires, comprendront un nombre de molécules suffisamment élevé pour que le concept de moyenne statistique s’applique et que le comportement du fluide puisse être décrit par ses propriétés macroscopiques, telles que la pression, la densité ou la vitesse. Cela suppose qu’un équilibre thermodynamique local soit vérifié. Pour un écoulement non hypersonique (M < 6 dans l’air), il est possible de négliger les effets de dissociation et d’ionisation pouvant se produire au niveau moléculaire. Ces approximations permettent d’utiliser une loi d’état de gaz parfait. La densité n’étant pas uniforme, des effets de gravité pourraient se manifester. Contrairement aux écoulements atmosphériques, ils seront négligeables dans les applications considérées par rapport aux effets inertiels.. 1.1.1. Équations de conservation. Les équations de Navier–Stokes régissent la dynamique des fluides. Elles retranscrivent, dans une description Eulérienne, les principes fondamentaux de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Chacun de ses trois principes s’énonce respectivement par ∂t ρ. + ∂k ρ uk. =. 0,. ∂t ρ ui + ∂k ρ ui uk = − ∂i p. (1.1a) + ∂k τik ,. ∀i ∈ [1; 3] ,. ∂t ρ E + ∂k ρ E uk = − ∂k p uk + ∂k ui τik − ∂k qk .. (1.1b) (1.1c). Dans ces équations comme dans la suite du document, la convention de sommation des indices répétés d’Einstein a été utilisée. De plus, les notations ∂i et ∂t représentent respectivement les dérivées partielles par rapport à la direction de l’espace i ∈ {1, 2, 3} = {x, y, z} et par rapport au temps t, ∂ se substituant ainsi aux notations classiques ∂x et ∂∂t . i On dénombre 18 inconnues (scalaires) dans ces 5 équations (scalaires) : − ρ(x, t), la densité ;. − u(x, t), le vecteur vitesse (qui totalise 3 variables scalaires) ; − p(x, t), la pression ;.

(22) 9. 1.1 Rappel des équations de la mécanique des fluides − τ (x, t), le tenseur des contraintes (qui totalise 9 variables scalaires) ; − E(x, t), l’énergie totale ;. − q(x, t), le vecteur flux de chaleur (qui totalise 3 variables scalaires).. Le système est donc ouvert. Afin de pouvoir le résoudre, il nous faut adjoindre des relations supplémentaires régissant le comportement de la pression p, du tenseur des contraintes τ et du flux de chaleur q. La résolution de cette équation demeure mathématiquement difficile. En fait, l’existence même d’une solution et son éventuelle unicité demeure l’une des questions mises à prix sur la liste des sept problèmes du prix du millénaire. Au-delà de la complexité inhérente aux équations aux dérivées partielles couplées (ici entre la vitesse, la pression, la densité et l’énergie totale), la non-linéarité du terme d’advection ∂k ρui uk est la source des complications liées à cette équation et est également à l’origine du phénomène de turbulence.. 1.1.2. Lois complémentaires. Loi d’état.. Pour un gaz parfait, la pression est donnée par p = ρrT ,. (1.2). où T désigne la température et r est une constante dépendant du fluide considéré, définie à partir de sa masse molaire M et de la constante universelle des gaz parfaits R = 8.314 J · K−1 · mol−1 par la relation r = R/M. Dans le cas de l’air, on a rair = 287.1 J · K−1 · kg−1 . Notons que l’énergie totale E peut se décomposer en énergie interne e et énergie cinétique par unité de masse selon 1 (1.3) E = e + ui ui , 2 où l’énergie interne d’un gaz thermiquement et calorifiquement parfait s’écrit en fonction de la température T et de la capacité thermique massique cv = r/(γ − 1) : e = cv T .. (1.4). Ainsi, la pression p peut être reliée à l’énergie interne selon p = ρ(γ − 1)e .. (1.5). Loi de comportement. La loi de comportement d’un fluide newtonien vérifiant des conditions de Stokes s’écrit τ = µS , (1.6) avec S = S > le tenseur des taux de déformation, défini par Sij = ∂i uj + ∂j ui −. 2 (∂k uk ) δij , 3. ∀(i, j) ∈ [1; 3]2 .. (1.7). Loi de Fourier. Le flux de chaleur est donné par la loi de Fourier : qk = −κth ∂k T ,. (1.8). où κth désigne le coefficient de conductivité thermique. En introduisant le nombre de Prandtl, défini par Pr = µcp /κth et estimé pour l’air à Prair = 0.72, le flux de chaleur peut s’écrire : qk = −. µcp ∂k T . Pr. (1.9).

(23) 10. Chapitre 1 : Physique de la turbulence pariétale. Loi de Sutherland. La viscosité µ est évaluée à partir de la loi de Sutherland, TS + T0 µ(T ) = µ0 TS + T. . T T0. 3 2. (1.10). .. Son domaine de validité s’étend de 170 K à 1900 K. La constante de Sutherland TS vaut 110.4 K et l’on définit, pour l’air, T0,air = 273.16 K et µ0,air = 1.711 × 10−5 kg · m−1 · s−1 .. 1.1.3. Modélisation statistique de la turbulence. Une description statistique des écoulements turbulents s’impose lorsqu’on cherche à caractériser leur dynamique, et surtout à identifier les propriétés ayant un certain degré d’universalité qui sont nécessaires à l’élaboration de toute théorie physique. On fera ici l’hypothèse que les champs physiques associés à un écoulement turbulent (ρ, u, p, ...) peuvent être assimilés à des variables aléatoires et possèdent toutes les propriétés requises pour que les outils statistiques usuels soient pertinents (convergence des statistiques, ...). Moyenne et décomposition. Afin de caractériser un champ turbulent φ(x, t), on considère tout d’abord sa moyenne, notée φ(x, t) et définie comme une moyenne d’ensemble classique par φ(x, t) = lim. n→∞. n 1X φ(k) (x, t) n k=1. !. ,. (1.11). où φ(k) désigne la k-ième réalisation indépendante de φ. Dans la pratique, on s’intéresse souvent à des écoulements statistiquement stationnaires, pour lesquels la moyenne d’ensemble peut être remplacée par une moyenne temporelle (hypothèse d’ergodicité). La moyenne temporelle est définie par Z τ 1 φ(x) = lim φ(k) (x, t) dt . (1.12) τ →∞ τ 0 Quand le laps de temps τ est suffisamment long, la valeur moyenne est indépendante du temps, et donc de l’instant initial de l’opération de moyenne. Osborne Reynolds proposa de décomposer chaque variable associée à un champ turbulent en la somme de sa moyenne et de sa fluctuation : φ = φ + φ0 ,. (1.13). où l’on a introduit la variable aléatoire centrée (c’est-à-dire de moyenne nulle) φ0 = φ − φ. Pour les écoulements à masse volumique variable, il est commode d’introduire une moyenne pondérée par la masse volumique ρ. Cette moyenne, dite de Favre, est adoptée pour les calculs d’écoulements turbulents compressibles. Elle s’écrit φe =. ρφ . ρ. (1.14). On peut alors définir la décomposition de Favre : φ = φe + φ00 .. (1.15). La partie fluctuante est définie de sorte que ff00 = ρf 00 = 0, cependant, f 00 6= 0. Les propriétés des opérateurs permettent d’écrire les relations utiles suivantes : ρφ = ρφe ; ρφψ = ρφeψe + ρφ00 ψ 00 .. (1.16a) (1.16b). Dans le cas particulier d’un écoulement incompressible de densité uniforme, moyennes et décompositions de Reynolds et de Favre deviennent identiques..

(24) 11. 1.1 Rappel des équations de la mécanique des fluides. Équations de Navier–Stokes moyennées. L’application de l’opérateur de moyenne aux équations de Navier–Stokes (1.1) aboutit à : ∂t ρ. ek + ∂k ρ u. =. 0;. (1.17a). e i + ∂k ρ u ei u e k = − ∂i p ∂t ρ u. + ∂k τ ik. 00 u00 , − ∂k ρ u] i k. 00 E 00 − ∂ q . e + ∂k ρ E eu ek = − ∂k p uk + ∂k ui τik − ∂k ρ u] ∂t ρ E k k k. ∀i ∈ [1; 3] ;. (1.17b) (1.17c). Les équations pour le champ moyen (1.17) ressemblent aux équations constitutives d’origine (1.1) écrites pour le champ moyen au lieu du champ complet. La différence notable est la présence de termes de flux supplémentaires faisant apparaître les champs fluctuants. Ces termes sont interprétés comme des flux turbulents, qui modifient les équations bilan du champ moyen. Pour l’équation de conservation de la quantité de mouvement (1.17b), le terme supplémentaire est le seul mettant en jeu des grandeurs fluctuantes. Il représente le couplage entre le mouvement moyen et le mouvement turbulent. À l’instar du terme de contrainte visqueuse, ce dernier se présente sous la forme d’une divergence. On définie alors, symétrique comme τ , le tenseur des contraintes de Reynolds R par 00 u00 . (1.18) Rij = ρ u] i. j. Les moyennes quadratiques (root mean square) des intensités fluctuantes pour chaque composante u0i est reliée aux termes diagonaux du tenseur de Reynolds par ui,rms =. q. g 002 = u i. s. Rii , ρ. ∀i ∈ [1; 3] ,. (1.19). où l’on ne réalise pas la sommation sur les indices i répétés. Dans le cas d’écoulements incompressibles, les contraintes de Reynolds et les intensités fluctuantes sont simplement définies par Rij = u0i u0j √ et ui,rms = Rii respectivement. On peut alors définir un tenseur de contraintes totales σ à partir du tenseur des contraintes visqueuses τ et du tenseur des contraintes de Reynolds R : g . σ = τ − R = µ Se − ρ u⊗u. (1.20). Pour l’établissement de la dernière égalité, l’approximation µ S = µ Se a été réalisée. Elle revient à négliger les fluctuations de viscosité cinématique ν 0 = (µ/ρ)0 , une approximation aussi courante [98] qu’utile. ei u ei , il est possible de démontrer l’équation de Bilans d’énergies cinétiques. En posant K = 21 ρu ei ×(1.17b) : bilan de l’énergie cinétique du champ moyen en opérant u ek = p ∂i u ei ∂t K + ∂k K u. redistribution par la pression. ei − ∂i p u. diffusion par la pression. ei + ∂k τ ik u. diffusion visqueuse. ei . − ∂k Rik u. diffusion turbulente. ei − τ ik ∂k u. dissipation. ei + Rik ∂k u. transfert entre K et k. (1.21). L’interprétation physique de ces termes est indiquée succinctement en regard de l’équation. Les termes diffusifs, se présentant comme des divergences, ne créent ni ne détruisent d’énergie. Ils se contentent de la transporter. Ce n’est à l’inverse pas le cas des termes de dissipation et de transfert entre l’énergie cinétique moyenne K et l’énergie cinétique turbulente k abordée ci-dessous..

(25) 12. Chapitre 1 : Physique de la turbulence pariétale. L’énergie cinétique turbulente k est définie de sorte que la somme de K et k soit égale à l’énergie 00 u00 et son équation bilan est obtenue en cinétique totale 21 ρui ui . Elle vaut alors k = 12 Rii = 21 ρ u] i i 00 appliquant l’opérateur de moyenne au produit ui ×(1.1b) : ek = p0 ∂i u00i ∂t k + ∂k k u. redistribution par la pression. −. ∂i p0 u00i u00i ∂i p. diffusion par la pression. −. τik ∂k u00i ∂k τik u00i u00i ∂k τ ik. dissipation ε. −. +. +. effet de compressibilité sur la pression diffusion visqueuse effet de compressibilité sur la viscosité. ei − Rik ∂k u 00 u00 u00 . − ∂k 1 ρ u^ 2. i. i. k. production (transfert entre K et k) diffusion turbulente. (1.22). On retrouve donc le terme de “transfert entre K et k” déjà observé avec un signe opposé dans (1.21). On verra par la suite qu’en pratique, ce terme agit comme un terme puits pour K et un terme source pour k, de sorte qu’il est fréquemment désigné en tant que terme de “production d’énergie cinétique turbulente”. Dans le cas incompressible, le terme de dissipation visqueuse d’énergie cinétique turbulente, ε, peut être décomposé en 2 0 0 ε = τik ∂k u00i = µ ωi0 ωi0 + 2 µ ∂ik ui uk , (1.23) où ω = rot(u) désigne la vorticité. Le dernier terme de l’équation (1.23), appelée contribution inhomogène, est un terme de transport. Sa contribution globale est donc nulle, de telle sorte que la dissipation ε est directement reliée à l’enstrophie turbulente ωi0 ωi0 . Une analyse de l’enstrophie turbulente, par l’étude des termes de son équation bilan, pourra donc fournir des indications sur la dynamique de la dissipation turbulente. Notons que dans le cas compressible, ce résultat, bien qu’inexact, reste néanmoins une bonne approximation [98].. 1.2. Présentation de la couche limite : un problème multi-échelle. Parmi les différents types d’écoulement, on s’intéressera dans cette étude aux écoulements le long d’une paroi. Cette paroi affecte l’écoulement dans une fine couche à sa proximité appelée couche limite. La notion de couche limite a été introduite en 1904 par Ludwig Prandtl [213]. Les écoulements de couche limite les plus étudiés sont les écoulements le long de plaque plane sans gradient de pression, dans un canal plan ou dans une conduite circulaire. La structure de la couche limite de ces trois types d’écoulement a souvent été considérée comme semblable, bien que de récentes études [189, 10] aient montré des comportements différents entre ces trois types d’écoulement. Les travaux de ce manuscrit ont porté sur le cas de couche limite en développement spatial, en raison de sa plus grande pertinence d’un point de vue applicatif. Une telle couche limite se développe, depuis le bord d’attaque de la paroi, et ne cesse de s’épaissir le long de la plaque. Suivant l’épaisseur de la couche limite, la vitesse de l’écoulement libre, la viscosité du fluide, mais aussi l’historique de l’écoulement, ce dernier adoptera des comportements variés dont les caractéristiques sont présentées ci-dessous. Par convention, le repère orthonormé (x, y, z) est orienté de sorte que les trois composantes indiquent respectivement la direction de l’écoulement libre, appelée direction longitudinale, la direction normale à la paroi et enfin, la direction transverse. Par écoulement libre, on entend la zone de l’écoulement dans laquelle l’influence de la paroi ne se fait pas sentir. Le vecteur vitesse.

(26) 13. 1.2 Présentation de la couche limite : un problème multi-échelle. dans cette partie du fluide est alors noté U∞ . La position de la paroi est spécifiée par la donnée de son ordonnée yw (x, z), où l’indice w relate une grandeur prise à la paroi.. 1.2.1. Grandeurs et échelles caractéristiques. Comme précisé ci-dessus, l’état de la couche limite turbulente de plaque plane dépend de l’histoire de son développement. Pour décrire cet état, on a généralement recours à plusieurs grandeurs, présentées dans cette section. Épaisseurs de couche limite. Dans une couche limite, le fluide approche asymptotiquement la vitesse U∞ lorsque l’on s’écarte de la paroi. Conventionnellement, le bord de la couche limite est défini comme étant le point auquel 99% de la vitesse à l’infini U∞ est atteinte : u (y=δ99% ) = 0.99 U∞ .. (1.24). Cette épaisseur de couche limite δ99% est couramment utilisée, bien que définie sur des critères arbitraires et dont la détermination pratique demeure très sensible à la mesure du profil de vitesse dans la zone externe de la couche limite. Épaisseurs intégrales. Les épaisseurs intégrales sont des échelles de longueur construites à partir d’une intégrale du profil de vitesse moyenne. On utilise habituellement [56] les épaisseurs de déplacement δ ∗ (parfois noté δ1 ) et de quantité de mouvement θ (parfois noté δ2 ). Elles sont définies par δ∗ = θ=. Z ∞ yw Z ∞ yw. e ρu dy , ρ∞ U∞ e e u ρu 1− dy . ρ∞ U∞ U∞ . 1−. (1.25) (1.26). Le produit U∞ δ ∗ représente la perte de débit due à la présence de la couche limite. L’épaisseur δ ∗ est donc celle dont il faudrait déplacer la paroi pour que le débit réel dans la couche limite soit le 2 θ représente la perte même que celui d’un écoulement fictif de fluide parfait. De façon similaire, U∞ de quantité de mouvement due à la présence de la couche limite. Le rapport de ces deux épaisseurs intégrales est appelé facteur de forme : H=. δ∗ . θ. (1.27). Il caractérise la forme du profil de vitesse dans la couche limite. Grandeurs liées au frottement. Le frottement pariétal dans la direction longitudinale τw,x , également appelé traînée de frottement, est donné par τw,x = n · τ · ex

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(29). = µw ∂n u

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(32). yw. yw. ,. (1.28). où la loi de comportement (1.6) et la condition d’adhérence à la paroi u = 0 ont été utilisées. Le vecteur n représente le vecteur unitaire localement normal à la paroi. Le coefficient de frottement cf s’écrit alors en fonction de la contrainte pariétale moyenne τ w,x comme τ w,x cf = 1 . (1.29) 2 2 ρ∞ U∞.

(33) 14. Chapitre 1 : Physique de la turbulence pariétale On définit la vitesse de frottement uτ et la longueur associée lτ par s. uτ =. τ w,x , ρw. lτ =. ν . uτ. (1.30). Ces grandeurs sont largement utilisées pour l’adimensionnement dans l’étude de la couche limite. On note classiquement avec un exposant + les données ainsi normalisées, comme u+ = u/uτ par exemple. Nombre de Reynolds. À partir de la viscosité du fluide, de la vitesse de l’écoulement libre et de l’épaisseur de couche limite, on peut construire le nombre sans dimension Reδ =. ρ U∞ δ U∞ δ = . µ ν. (1.31). Ce nombre porte le nom de nombre de Reynolds. Il peut être interprété comme le rapport entre les efforts inertiels, caractérisés dans les équations de Navier-Stokes (1.1b) par ∂k ρui uk et donc 2 /δ, et les efforts visqueux, caractérisés par ∂ τ et homogène à µU /δ 2 . On verra homogène à ρU∞ ∞ k ik par la suite que ce nombre apparaît naturellement en adimensionnant les équations de Navier-Stokes. Il convient de préciser que différents nombres de Reynolds peuvent être construits suivant le choix de l’échelle de longueur (généralement parmi δ99 , δ ∗ ou θ) et de l’échelle de vitesse (classiquement U∞ ou uτ ). L’interprétation quant à la valeur d’un nombre de Reynolds dépend donc grandement de sa définition. En particulier, le nombre de Reynolds de frottement, défini par Reτ =. ρ uτ δ uτ δ δ = = = δ+ . µ ν lτ. (1.32). s’avère être une mesure de la disparité entre l’échelle de longueur δ de la couche limite et l’échelle de longueur lτ des phénomènes visqueux à la paroi.. 1.2.2. Équations de couche limite. Les hypothèses de couche limite et le développement asymptotique raccordé sont de précieux outils pour une description analytique de la couche limite. La méthode est succinctement présentée ici dans le cas d’un écoulement laminaire incompressible. Comme nous le verrons par la suite, il est possible de l’étendre aux couches limites turbulentes, incompressibles comme compressibles. Hypothèses. On étudie dans cette partie l’écoulement au-dessus d’une plaque plane (yw = 0), sous les hypothèses d’un écoulement stationnaire, laminaire, incompressible et bidimensionnel plan. Sous ces conditions, les équations de Navier–Stokes moyennées (1.1) se simplifient de la façon suivante : ∂x u + ∂y v =. 0;. (1.33a). 2 2 u ∂x u + v ∂y u = − ∂x p/ρ + ν ∂xx + ∂yy u;. . . 2 2 u ∂x v + v ∂y v = − ∂y p/ρ + ν ∂xx + ∂yy v,. . . (1.33b) (1.33c). auxquels il convient d’ajouter les conditions aux limites : u (y 7→ 0) = 0 ;. u (|x| 7→ ∞) = U∞ ex .. (1.33d) (1.33e). Les équations relatives à l’énergie totale et à la quantité de mouvement dans la direction z n’ont plus de raison d’être sous les présentes hypothèses..

(34) 15. 1.2 Présentation de la couche limite : un problème multi-échelle. On peut adimensionner les longueurs, les vitesses et la pression en utilisant une échelle de longueur L ainsi que la vitesse U∞ et la densité du fluide ρ, de sorte que x∗ =. x , L. y∗ =. y , L. u∗ =. u , U∞. v∗ =. v , U∞. p∗ =. p . 2 ρU∞. (1.34). Avec ces notations, les équations de Navier–Stokes adimensionnées s’écrivent : ∂x∗ u∗ +. ∂y ∗ v ∗ =. 0;. (1.35a). 1 u∗ ∂x∗ u∗ + v ∗ ∂y∗ u∗ = − ∂x∗ p∗ + Re ∂x2∗ x∗ + ∂y2∗ y∗ u∗ ; 1 ∂x2∗ x∗ + ∂y2∗ y∗ v ∗ , u∗ ∂x∗ v ∗ + v ∗ ∂y∗ v ∗ = − ∂y∗ p∗ + Re. (1.35b) (1.35c). avec les conditions aux limites : u∗ (y ∗ 7→ 0) = 0 ;. (1.35d). u (|x | 7→ ∞) = ex , ∗. (1.35e). ∗. où Re est le nombre de Reynolds Re = U∞ L/ν. Région extérieure. La méthode des développements asymptotiques consiste à décomposer les champs u∗ , v ∗ et p∗ selon u∗ (x∗ , y ∗ , Re) = u∗0 (x∗ , y ∗ ) + η1 (Re) u∗1 (x∗ , y ∗ ) + η2 (Re) u∗2 (x∗ , y ∗ ) + ... ;. (1.36). v0∗ (x∗ , y ∗ ) + η1 (Re) v1∗ (x∗ , y ∗ ) + η2 (Re) v2∗ (x∗ , y ∗ ) + ... ; p∗0 (x∗ , y ∗ ) + η1 (Re) p∗1 (x∗ , y ∗ ) + η2 (Re) p∗2 (x∗ , y ∗ ) + ... ,. (1.37). v (x , y , Re) = ∗. ∗. ∗. p (x , y , Re) = ∗. ∗. ∗. (1.38). où les fonctions ηi (Re) sont des fonctions de jauge rangées par ordre croissant, c’est-à-dire telles que ηi 7→ 0 avec 1 |η1 | |η2 | ... lorsque Re 7→ ∞. Ces jauges doivent être choisies pour que les champs u∗i , vi∗ , p∗i soient de l’ordre de l’unité lorsque le nombre de Reynolds tend vers l’infini. À l’ordre 0, le problème est donc régi par les équations d’Euler : ∂x u + ∂y v =. 0,. (1.39a). u ∂x u + v ∂y u = − ∂x p/ρ ,. (1.39b). u ∂x v + v ∂y v = − ∂y p/ρ ,. (1.39c). où, à cause de la diminution de l’ordre du système, seule la condition aux limites externe peut être imposée : u (|x| 7→ ∞) = U∞ ex .. (1.39d). Ces équations représentent une approximation valable des équations de Navier–Stokes uniquement dans la région extérieure, |x| = O(L), pour Re 7→ ∞. Il convient alors d’étudier le processus limite au voisinage de la paroi. Région intérieure. On considère cette fois l’écoulement au voisinage de la paroi, dans une région dite intérieure d’épaisseur δ(Re) L. On introduit alors un nouvel adimensionnement en utilisant cette épaisseur pour la direction normale : x+ = x∗ =. x , L. y+ =. y∗ y = , δ ∗ (Re) δ(Re). u+ = u∗ ,. v+ = v∗ ,. p+ = p∗ ,. (1.40). De façon analogue à l’analyse de la région externe, un développement asymptotique associé à cet adimensionnement peut être conduit. Les fonctions de jauge intérieures sont notées εi (Re)..

(35) 16. Chapitre 1 : Physique de la turbulence pariétale. L’équation de conservation de la masse conduit à v0+ = 0 et le principe de moindre dégénérescence permet de fixer les conditions de jauge : ε1 (Re) =. δ(Re) 1 . =√ L Re. (1.41). Ainsi, à l’ordre dominant dans la région interne, l’écoulement est régi par les équations de couche limite de Prandtl : ∂x u + ∂y v = 0 ; u ∂x u + v ∂y u = −∂x p/ρ + ν. (1.42a) 2 ∂yy u. ;. ∂y p = 0 ,. (1.42b) (1.42c). avec les conditions aux limites u (y 7→ 0) = v (y 7→ 0) = 0 .. (1.42d). Conditions de raccord. La solution dans la région intérieure doit se raccorder à celle obtenue dans la région extérieure. Pour cela, on ajoute aux équations d’Euler (1.39) et de Prandtl (1.42) les règles de raccord : + + Ue (x∗ ) = lim u∗0 (x∗ , y ∗ ) = lim u+ 0 (x , y ) , ∗ y 7→0. y + 7→∞. lim v0∗ (x∗ , y ∗ ) = lim v0+ (x+ , y + ) = 0 ,. y ∗ 7→0. y + 7→∞. + + + + pe (x∗ ) = lim p∗0 (x∗ , y ∗ ) = lim p+ 0 (x , y ) = p0 (x ) , ∗ y 7→0. y + 7→∞. (1.43a) (1.43b) (1.43c). où l’indice e caractérise la solution à la paroi des équations d’Euler. Dans l’analyse présentée ici, nous nous sommes limités au résultat à l’ordre 0. Il est possible d’effectuer le développement à un ordre supérieur. Pour les subtilités que cela représente, le lecteur peut se référer à l’ouvrage de Patrick Huerre [117]. Une analyse analogue sur les champs moyens d’une couche limite turbulente est possible. Le livre de Jean Cousteix [56] est un des rares ouvrages présentant un développement détaillé de ce cas plus compliqué, dont les principaux résultats sont énoncés ci-dessous.. 1.3. Description de la couche limite incompressible sans gradient de pression. L’évolution des grandeurs précédemment introduites (δ, δ ∗ , θ, cf , ...) et des champs statistiques (u, p, Rij , ...) est décrite ici dans le cas canonique d’une couche limite turbulente de plaque plane, sans gradient de pression externe. Ce cas de référence sera nommé par la suite ZPGTBL pour zeropressure-gradient turbulent boundary-layer. L’intérêt de ce cas d’étude est double. Premièrement, il répond à un cas de figure élémentaire pour bon nombre d’applications industrielles. Enfin, malgré son extrême simplicité géométrique, il concentre les effets dynamiques essentiels des couches limites turbulentes [231] : − Les effets de cisaillement, imposés par la condition d’adhérence u = 0 à la paroi et la condition de vitesse U ∞ 6= 0 à l’extérieur de la couche limite. Ainsi, la couche limite se veut être une zone de raccord induisant un cisaillement grossièrement évalué comme U∞ /δ. L’existence de ce cisaillement moyen est à l’origine d’une production d’énergie cinétique turbulente et induit de l’anisotropie dans l’écoulement..