Choix et définition du cas d’étude

Le premier choix d’importance pour définir notre cas d’étude porte sur le type d’écoulement pariétal. On distingue notamment deux principales approches :

Les écoulements de canal plan ou de conduite circulaire sont animés par un gradient de pression uniforme. La direction de l’écoulement y est une direction homogène, ce qui représente un avantage conséquent concernant la mise en œuvre de la simulation numérique (en particulier pour la condition d’entrée qui peut alors être une simple condition de périodicité) et l’analyse physique des données (puisque l’évolution temporelle des mouvements fluctuants est, de fait, décorrélée d’une éventuelle convection à travers un écoulement moyen changeant). Cette approche est donc largement utilisée pour améliorer la compréhension de la physique de la turbulence pariétale.

À l’inverse, comme leur nom l’indique, les écoulements de couche limite en développement spa-tiale évoluent spaspa-tialement. C’est en particulier le cas des écoulements turbulents sans gradient de pression (ZPGTBL) de plaque plane, qui sont souvent choisis pour s’affranchir des effets de gra-dients de pression. La prise en compte du développement spatial permet l’observation de l’évolution des propriétés statistiques dans la direction de l’écoulement et offre la possibilité de comparer les calculs numériques avec des résultats expérimentaux de configurations réalistes. C’est ce dernier type d’écoulement qui a été retenu pour la présente étude.

Un domaine d’étude type est représenté sur la figure4.1. Pour chaque simulation de paroi recou-verte de riblets, une simulation de référence avec paroi lisse est réalisée dans les mêmes conditions. Cette simulation étalon permet une comparaison détaillée mettant précisément en évidence l’in-fluence des riblets sur l’écoulement. Les données relatives à la simulation de référence sont indiquées par l’indice “ref”. Comme on peut le constater sur la figure, dans le cas avec riblets, la paroi n’en est pas totalement recouverte. La zone de riblets, que l’on appellera également zone contrôlée, est précédée et suivie de zones à surface lisse. Ce choix permet l’observation des effets transitoires en amont et en aval de la zone de riblets— effets qui ne peuvent être observés dans les nombreuses études de canal plan longitudinalement homogène. Les indices 0 et 1 utilisés dans la suite feront référence aux extrémités amont et avale de la zone contrôlée. Il ne faut pas les confondre avec les extrémités amont et aval du domaine de calcul (qui comprend également les zones de surfaces lisses encadrant la zone contrôlée), respectivement identifiées par les indices “in” et “out”.

L’impact de la compressibilité ne relève pas des problématiques que l’on se propose d’étudier. Notons d’ailleurs que, une fois les variations de densité moyenne prises en considération, la dy-namique de la turbulence en écoulements supersoniques est très similaire à celles des écoulements incompressibles. Cette hypothèse porte le nom d’hypothèse de Morkovin [190] et s’avère être perti-nente pour des ZPGTBLs jusqu’à des nombres de Mach d’environ 4 ou 5 [247]. Il a par ailleurs été

U∞ xin x0 x1 xout x y z U∞ xin x0 x1 xout Figure 4.1 – Schéma du domaine de calcul d’une simulation de couche limite turbulente au-dessus d’une paroi partiellement couverte de riblets (à droite) et le domaine de la simulation de référence de plaque plane associée (à gauche).

constaté que l’influence du nombre de Mach sur l’efficacité des riblets est très faible, comme cela a pu être développé dans le paragraphe2.2.1.7. Ainsi, les mécanismes responsables de la réduction de traînée engendrée par les riblets à des nombres de Mach supersoniques sont vraisemblablement ceux présents en écoulement subsonique ou incompressible.

Puisque l’écoulement d’un gaz n’est jamais parfaitement incompressible (mais surtout parce que le solveur à notre disposition est basé sur les équations de Navier-Stokes compressibles), on se place dans le cadre d’écoulements faiblement compressibles. Le nombre de Mach de l’écoulement libre est fixé à M∞= 0.2, ce qui permet d’obtenir, dans les conditions atmosphériques standards au niveau de la mer, la vitesse d’écoulement U∞ figurant dans le tableau4.1.

Un tel nombre de Mach constitue un bon compromis entre la volonté de limiter les effets de compressibilités et les contraintes numériques des écoulements faiblement compressibles. En ef-fet, concernant ce premier point, les fluctuations de densité et de viscosité peuvent être considérées comme négligeables dans ces conditions. Une vérification a posteriori dans nos simulations a montré que l’intensité maximale de la déviation instantanée de la densité par rapport à la valeur moyenne, maxx,t(ρ0(x, t)), demeure inférieure à 0.5%. En ce qui concerne les contraintes numériques, un bas nombre de Mach M∞= U∞/c∞signifie tout d’abord une grande disparité entre la vitesse caracté-ristique de l’écoulement U∞ et la vitesse de propagation des perturbations acoustiques c∞ dans le milieu fluide. Ainsi, la condition CF L convective, basée sur la vitesse de propagation |U∞| + c∞(cf. paragraphe3.2.4), devient extrêmement contraignante et impose une discrétisation temporelle très fine, suffisante pour tenir compte des phénomènes acoustiques, mais excessive et prohibitive pour décrire les phénomènes turbulents d’intérêt ici. Les écoulements à bas nombre de Mach peuvent également entraîner une importante dissipation numérique si le schéma de discrétisation spatial pour les flux convectifs n’est pas choisi de manière adéquate.

p∞ (hPa) ρ∞ (kg · m⁻³) T∞ (K) µ∞ (10⁻⁵Pa · s) M∞ U∞ (m · s⁻¹) 1013.25 1.225 288.15 1.784 0.2 68.1

Table 4.1 – Caractérisation de l’écoulement libre.

Une autre décision structurante porte sur la portion de couche limite que l’on souhaite observer, autrement dit, le nombre de Reynolds de l’écoulement en entrée de la zone contrôlée et la longueur de cette zone. Comme cela a été précisé dans le paragraphe2.2.1.1, il ne serait que d’un intérêt limité d’étudier des riblets en régime d’écoulement laminaire. Ainsi, le nombre de Reynolds d’étude doit être suffisant pour permettre la persistance de la turbulence. Il serait bien sûr intéressant de pouvoir atteindre des nombres de Reynolds d’applications aéronautiques. Simuler l’écoulement turbulent en détail jusqu’à la paroi, à de tels nombres de Reynolds, n’est actuellement pas technologiquement en-visageable. García-Mayoral & Jiménez [95] préconisent d’utiliser un nombre de Reynolds Reτ = δ+ suffisant pour que la hauteur h+' 10 − 15 des riblets ne représente pas un obstacle, perturbant

l’intégralité de la couche limite. Ils le déterminent empiriquement selon le critère h/δ . 2.5% issu de l’étude des rugosités. Ainsi, pour que les riblets n’engendrent aucun effet de “blocage” sur la couche limite, le nombre de Reynolds doit être supérieur à Reτ & 400− 600. Cette exigence de-meure très contraignante, si bien que la quasi-totalité des simulations de riblets — y compris les plus récentes et celles réalisées en canal [76, 94, 155, 207] — ne la satisfasse pas. Le nombre de Reynolds visé au début de la zone de riblets a finalement été Reθ _{' 670, correspondant} approxima-tivement à Reτ,ref _{' 280 pour une couche limite canonique de plaque plane. La raison qui a motivé} cette valeur est la disponibilité, à cette station, de données de référence comme celles issues des DNSs de Spalart [251], considérées comme une référence depuis plus de 25 ans, ou de Schlatter & Örlü [238]. Le tableau 4.2résume l’état de la couche limite effectivement obtenue à cette station.

Reδ,ref Re_δ*,ref Reθ,ref Reτ,ref uτ,ref

(m · s⁻¹) lτ,ref (µm) δref (mm) 5140 945 633 250 3.31 4.64 1.16

Table 4.2 – Caractérisation de la couche limite canonique à la station x0 correspondant au début de zone contrôlée.

Comme précisé dans le paragraphe2.2.1.3, de nombreuses géométries de coupe de riblets ont été étudiées depuis les premiers travaux de Walsh & Weinstein [282]. La géométrie trapézoïdale avec un rapport d’aspect h/s = 0.5 et un angle de crête α = 30◦(voir le paramétrage sur la figure2.6) peut-être considérée comme un très bon compromis entre la réduction de traînée maximale atteignable avec des riblets idéaux en L et les contraintes pratiques de réalisation [18]. Les études expérimentales sur cette géométrie ont conduit à des taux de réduction de traînée allant de 8.2% [18] à 10.6% [215] et des équipes sont aujourd’hui à même de réaliser de tels riblets dans les dimensions adaptées aux applications aéronautiques, comme en témoigne la figure 2.2 réalisée par l’institut allemand

Fraunhofer–IFAM.

La loi empirique (2.4) permet d’évaluer la dimension optimale des riblets. Pour la géométrie trapézoïdale retenue, la dimension optimale basée sur l+

g,opt conduit à une largeur crête à crête de s+

opt = 16.2 ± 10%. Les riblets sont donc dimensionnés suivant cette taille optimale théorique, du moins, au début de la zone de contrôle. En effet, au sein d’une ZPGTBL, le frottement pariétal diminue à mesure que le nombre de Reynolds augmente dans la direction aval, entraînant avec lui une évolution spatiale de l’unité de paroi. Puisque les riblets sont alignés avec l’écoulement, les sillons restent parallèles et leur dimension physique reste constante, ainsi, la dimension en unité interne ne peut être fixe. Elle décroît avec le frottement. Dans la pratique, on s’assurera néanmoins que la dimension des riblets reste dans l’intervalle de 10% autour de la dimension optimale théorique. Le tableau4.3résume l’ensemble des paramètres de la géométrie des riblets étudiés.

α (^◦) h/s s(µm) s+ l+

g

30 0.5 79.9 14.9 → 16.5 9.84 → 10.9

Table 4.3 – Caractérisation de la géométrie des riblets trapézoïdaux. Les dimensions en unité de paroi sont prises entre x0+ 3δ0 et x1− δ1, afin d’exclure les zones transitoires aux extrémités amont et avale de la zone de contrôle.

4.2 Choix des paramètres numériques

De manière générale, la simulation numérique des écoulements de paroi en régime turbulent présente de nombreuses difficultés, dont les principales sont explicitées ci-après. Chacune de ces

difficultés amène à réaliser des choix quant aux méthodes à mettre en œuvre pour mener à bien la simulation.

4.2.1 Domaine et discrétisation

La discrétisation spatiale du problème est soumise à différentes contraintes. Tout d’abord, le domaine ne doit pas être trop petit, au risque de ne pas permettre le développement des plus grandes structures turbulentes. En canal périodique, le plus petit domaine de calcul permettant l’entretien de la turbulence est appelé unité d’écoulement minimale (minimal flow unit). Ses dimensions en unité interne dans les directions longitudinale, normale et transverse sont respective-ment 250 − 350 × 2 δ+× 100. Un tel domaine de calcul permet tout juste l’existence des structures élémentaires du cycle d’auto-régénération1.4.1, mais n’a cependant pas vocation à reproduire fidè-lement les interactions entre les échelles variées de la turbulence.

Pour la simulation de la turbulence proche-paroi et des stratégies de contrôle associées, on postule généralement qu’un domaine de calcul doit être suffisamment grand pour contenir des structures longues de 1000 lτ et larges de δ. Il s’agit là de la longueur caractéristique des streaks et de la largeur caractéristique des plus grands tourbillons attachés. En accord avec le théorème de Nyquiste– Shannon, les dimensions du domaine de calcul doivent alors être choisies au moins deux fois plus grandes que celles des plus grandes échelles. On en déduit les dimensions minimales de domaine de calcul figurant sur le tableau4.4. Dans la direction normale, la dimension requise est supérieure à δ. Sa valeur dépend grandement de la qualité de la condition aux limites sur la frontière supérieure du domaine. Pour la campagne de simulations qui constitue la source principale des résultats de cette étude, les dimensions effectivement utilisées ont été indiquées dans le tableau4.5.

Une observation a posteriori des fonctions d’autocorrélation spatiale peut permettre de s’assu-rer que la dimension du domaine est suffisante. La fonction d’autocorrélation spatiale est définie pour chaque variable de champ φ par Rφ(x, t, r) = φ(x, t)φ(x + r, t)/φ(x, t)φ(x, t). Comme son nom l’indique, cette fonction caractérise la corrélation qu’il existe entre les fluctuations prises à deux points de l’espace distants de r l’un de l’autre. Il faut donc que la fonction d’autocorrélation, pour les composantes du vecteur vitesse notamment, chute à zéro avant que r n’atteigne la moitié du do-maine pour que l’on puisse s’assurer qu’aucun mouvement cohérent ne soit contraint par les limites du domaine. Une telle vérification sera réalisée dans la section4.4.

Lx,min Lz,min

2000 lτ 2 δ

Table 4.4 – Caractérisation des dimensions minimales, dans les directions longitudinale et trans-verse, du domaine de calcul nécessaire à l’étude de la turbulence pariétale de couche limite.

Lin→x0 Lx0→x₁ Lx1→out Ly Lz

10 δin 80 δin 10 δin 10 δin 2 δout

Table 4.5 – Caractérisation des dimensions du domaine de calcul des campagnes de simulation R10 et RD10 (voir tableau 4.9) dont sont issus la plupart des résultats de cette étude. Comme sur la figure 4.1, xin et xout délimitent les frontières amont et avale du domaine de calcul, alors que x0 et x1 délimitent celle de la zone contrôlée.

Alors que la dimension du domaine de calcul est imposée par les plus grandes échelles, celle des mailles l’est par les plus petites échelles actives. Fondamentalement, il faudrait donc des mailles de dimension inférieure à l’échelle de Kolmogorov locale. L’échelle de Kolmogorov η, basée sur la dissipation d’énergie cinétique fluctuante ε de l’équation (1.22), caractérise l’échelle à laquelle la dynamique est principalement pilotée par des mécanismes linéaires dissipatifs pour les écoulements

isotropiques (que ne sont pas les écoulements pariétaux). Cependant, cette condition semble être trop stricte. En effets, les simulations numériques ont permis à Moin & Mahesh [187] d’établir que des tailles de maille de l’ordre de 15 η à la paroi suffisent à capturer la plus grande partie de la dissipation dans leur simulation d’écoulement de canal. Dans la littérature [238, 239, 251,287], la résolution à la paroi pour les simulations de type DNS est généralement de l’ordre de ∆x+' 6 − 20, ∆y+' 0.3 − 1 et ∆z+' 4 − 10.

La largeur des riblets, s+' 16, est une contrainte bien plus sévère pour la dimension ∆z que la résolution des plus petites échelles de la turbulence. Pour décrire la géométrie des riblets avec suffisamment de précision, on s’impose de discrétiser l’espace s entre deux crêtes successives avec 16 mailles et d’utiliser 10 mailles pour décrire l’espace h entre le fond de la vallée et le niveau des crêtes. Cette restriction, bien que numériquement coûteuse, a l’avantage d’apporter une grande finesse quant aux prévisions de frottement pariétal, puisque la résolution dans la direction transverse ∆z est celle l’impactant le plus fortement [69].

L’utilisation d’un modèle de viscosité sous-maille permet aux simulations de type LES de s’af-franchir du besoin de simuler les plus petites échelles de la turbulence. Les dimensions classiquement retenues [233] à proximité de la paroi pour le maillage de ces simulations est de l’ordre de ∆x+' 50, ∆y+' 1 et ∆z+' 15. Cependant, à cause des contraintes imposées par la géométrie des riblets, seule la discrétisation dans la direction longitudinale ∆x peut être allongée grâce au modèle sous-maille.

La dimension des mailles des simulations LES dont sont issus la plupart des résultats de cette étude figure dans le tableau4.6. La nature structurée du maillage impose la prolongation, à distance de la paroi, du raffinement ∆x et ∆z, même en dehors de la couche limite où une telle finesse de discrétisation n’est pas nécessaire. Par contre, la taille ∆y des mailles dans la direction normale peut être étirée avec la distance à la paroi. La taille des mailles à la frontière de la couche limite et le taux d’accroissement relatif maximum de ∆y d’une maille sur l’autre sont également précisées.

∆x+ ∆y+(yw) ∆y+(δ) d

dj∆y ∆z+ ∆t+

LESs actuelles 22 0.8 0.035 δ+ 4 % 1.1 0.07

standard DNS 6 − 20 0.3 − 1 4 − 10 0.1−0.4

standard LES 30 − 60 0.3 − 1 12 − 25

Table 4.6 – Caractérisation des dimensions maximales des mailles utilisées pour la campagne de simulation LES dont sont issus la plupart des résultats de cette étude, comparées à celles classique-ment utilisées pour des études de type DNS et LES.

4.2.2 Condition aux limites

Les conditions aux limites abordées dans la section3.2.5sont utilisées sur les différentes frontières du domaine de calcul.

Tout d’abord, la condition de paroi décrite dans la sous-section3.2.5.1 est utilisée sur la surface inférieure du domaine et pour former la paroi des riblets.

La condition d’entrée utilisée est la condition SEM d’injection de turbulence synthétique intro-duite dans le paragraphe3.2.5.3 et décrite dans l’annexeB.

La périodicité dans la direction latérale z est réalisée en reliant les frontières latérales zminet zmax l’une à l’autre par une condition de raccord informatique, comme spécifié à la sous-section3.2.5.4. Les autres frontières libres, à savoir la sortie de domaine et sa partie supérieure, sont toutes deux traitées par la stratégie abordée dans la partie3.2.5.2. En particulier, seule la pression en sortie de domaine est imposée pour maintenir un faible niveau de gradient de pression. La pression sur la frontière supérieure du domaine ainsi que les autres grandeurs ne sont pas imposées et sont donc libres d’évoluer avec l’écoulement. À cela s’ajoute un traitement de non-réflexion par la méthode

des caractéristiques ainsi que la présence d’une zone éponge en sortie de domaine.

Finalement, l’évaluation a posteriori du champ de pression moyenne permet d’évaluer le gra-dient ∂xp_∞ effectif. Il existe différents adimensionnements pour le caractériser. Les trois critères les plus couramment utilisés et leurs valeurs maximales dans la zone [x0+ 3δ0, x₁− δ1] sont précisés dans le tableau 4.7. Les zones transitoires aux extrémités amont et avale de la zone de contrôle sont exclues pour ne pas interpréter à tort leur perturbation tout à fait physique sur la pression. Ces faibles valeurs sont du même ordre que celles obtenues dans la littérature par des DNSs de

|β|max=   δ∗ τw ∂_xp_∞    max     l_τ ρwu2 τ ∂_xp_∞     max      δ 1 2ρ∞U2 ∞ ∂_xp_∞     max 1 × 10−2 1 × 10−4 1 × 10−4

Table 4.7 – Caractérisation du gradient effectif maximum de pression moyenne.

référence, comme celle de Wu & Moin [287]. Lors de l’étude du frottement pariétal dans le para-graphe 4.4.3.1, on s’attachera en particulier à contrôler que le gradient de pression ne l’influence que marginalement.

4.2.3 Schémas numériques

Les schémas numériques utilisés sont ceux décrits dans le chapitre précédent 3, à savoir : − la viscosité sous-maille sera apportée, pour les simulations qui en nécessitent, par le modèle

d’échelles mixtes sélectif (cf. 3.1.2.2) ;

− les solveurs FLU3M et FUNk utilisés sont tous deux basés sur l’approche des volumes finis (cf. 3.2.2) ;

− dans le cas de FLU3M, les flux visqueux sont discrétisés selon le schéma classique, dît “5 points”. Pour les simulations conduites avec FUNk, le schéma de Chakravarthy à “3-points” sera préféré (cf. 3.2.3.1) ;

− à partir d’une reconstruction MUSCL des variables aux interfaces, les flux convectifs sont évalués par le schéma AUSM+(P) avec senseur (cf. 3.2.3.2) ;

− la méthode d’intégration temporelle est basée sur le schéma implicite rétrograde d’Euler pro-posé par Gear (cf.3.2.4). La résolution est approchée de façon itérative jusqu’à atteindre, avec FLU3M, un nombre prédéterminé de sous-itérations, et avec FUNk, un critère de converge sur les résidus implicites.

L’évaluation des grandeurs pariétales, comme le frottement ou la pression, sera réalisée à partir des flux numériques, et ce, afin de garder la plus grande consistance avec le solveur. En effet, si le frottement est évalué, en extrapolation de la vitesse dans les 2 premières mailles, comme étant la dérivée de la vitesse longitudinale selon la normale à la paroi, on obtient une erreur qui peut dépassé 5% dans un cas de surfaces géométriquement complexes (comme celles recouvertes de

riblets). Une telle incertitude sur la mesure du frottement n’est pas acceptable pour l’évaluation de

performances de réduction de traînée. Ainsi, les flux visqueux, obtenus avec le schéma du solveur, seront moyennés et utilisés pour l’évaluation du frottement, alors que les flux convectifs permettront d’estimer la pression pariétale.

4.3 Génération analytique du maillage

Les propriétés du maillage permettant la simulation numérique d’écoulements turbulents au-dessus d’une paroi couverte de riblets ont été spécifiées par des considérations physiques, dans

p p p p

Figure 4.2 – Schéma illustrant la simplification de la discrétisation spatiale tridimensionnelle de la zone contrôlée à celle d’une coupe bidimensionnelle d’envergure réduite (en bleu foncé) par des considérations de périodicité, de symétrie et d’homogénéité. La lettre p et son symétrique p per-mettent de représenter la périodicité et la symétrie des quelques coupes minimales bordant celle mise en évidence.

la section 4.1, et par des considérations numériques, dans la section 4.2 précédente. Grâce à ces spécifications précises, il est possible d’entreprendre la génération d’un maillage.

Dans notre cas, la définition du domaine représenté sur la figure 4.1 est extrêmement simple : il sera globalement rectangulaire, sauf proche de la paroi où les riblets devront être pris en compte.