Discussion complémentaire

5.3.1 Résumé succinct de l’article

Dans l’article précédent, une généralisation de la décomposition FIK pour les écoulements le long de surfaces complexes a été proposée. Sa formulation est exprimée par les équations (10)–(13) de l’article. Le frottement y est décomposé en trois termes dont la définition est très similaire à celle de la formulation originelle (1.66)–(1.70). Les principales différences résident dans l’intégration surfacique qui remplace l’intégration linéique afin de prendre en compte la non-homogénéité de l’écoulement dans la direction transverse z et dans l’ajout d’un facteur 1/α devant chacun des termes. Le coefficient α est défini par la formule (9) de l’article. Le détail de la dérivation de cette identité FIK généralisée est présenté dans l’annexeA.

La décomposition FIK généralisée a ensuite été appliquée au frottement d’une paroi couverte de

riblets. Elle révèle que la composante dite laminaire cf,1(Reδ), la plus faible des trois contributions,

est à peine affectée par la présence des riblets. À l’inverse, les contributions cf,2 et cf,3 subissent toutes deux une importante baisse. Plus exactement, ces contributions sont diminuées dans une proportion identique au coefficient de frottement cf lui-même, c’est-à-dire que les contributions relatives cf,2/cf(Reτ) et cf,3/cf(Reτ) conservent les valeurs du cas canonique de paroi plane. Ce comportement appuie l’hypothèse que l’interaction entre les riblets et la turbulence est dimensionnée en échelle interne.

Le coefficient α introduit lors de la généralisation de la décomposition FIK aux surfaces com-plexes correspond à une moyenne du frottement à la surface de riblets pondérée par l’altitude locale yw(x, z). En changeant l’origine virtuelle, on change les valeurs de yw et donc la valeur de α. Dans le cas d’une paroi lisse, α = 1 lorsque l’origine est placée à la paroi. Pour n’importe quelle surface rugueuse, il est possible de placer l’origine virtuelle de sorte que α prenne la même valeur unitaire. On définit ainsi une nouvelle origine virtuelle que l’on repérera par sa localisation hα au-dessus du fond des vallées. Cette origine virtuelle peut être interprétée comme étant le barycentre pondéré du frottement pariétal vu de la frontière externe δ99% de la couche limite.

Lorsque l’origine virtuelle basée sur la décomposition FIK est utilisée, les lois linéaire (1.48), logarithmique (1.50) et de sillage (1.46) sont retrouvées sur le profil de vitesse moyenne en unité de paroi u+(y+). Ce résultat a d’ores et déjà été discuté dans la section4.4.4.3 du chapitre précédent. En comparant à même Reτ les profils de vitesse moyenne pour les écoulements au-dessus de la paroi lisse et au-dessus des riblets, on observe qu’ils sont de parfaites translations l’un de l’autre : les courbes des profils u+

ref(y+) et u+(y++ ∆y+) − ∆u+se superposent parfaitement. La valeur du décalage ∆u+' 1.4 peut être estimée graphiquement ou calculée à partir des coefficients de frot-tements cf et cf,ref comme cela a pu être fait dans la section 4.4.4.3 en utilisant les formules (2.8) ou (2.14). Le décalage ∆y+ dépend quant à lui directement de la position de l’origine de l’axe y. Lorsque l’origine virtuelle basée sur la décomposition FIK est utilisée, on trouve que le décalage ∆y+ s’identifie à ∆u+. En observant les intensités fluctuantes, on constate que les profils pour l’écoule-ment au-dessus des riblets sont eux aussi translatés du même décalage ∆y+ par rapport aux profils canoniques à même Reτ, de sorte que R+

ij(y++ ∆y+) ' R+

ij,ref(y+).

Ainsi, l’interaction qui peut exister entre les riblets et les structures de la turbulence proche pa-roi, aussi complexe soit-elle, se réduit à de simples décalages des courbes représentatives des profils de vitesse moyenne et d’intensités fluctuantes. Ces décalages peuvent s’interpréter comme un épais-sissement de la sous-couche linéaire. Au-delà de cette sous-couche u+= y+épaissie de ∆u+= ∆y+, les profils canoniques de couche limite turbulente sont retrouvés. Tout se passe comme si l’écou-lement au-dessus des riblets était identique au profil composite constitué d’un profil canonique placé sur une couche laminaire d’épaisseur ∆y+ de cisaillement constant.

5.3.2 Mouvements cohérents

Dans la sous-section4.4.6, on a introduit les outils visant à évaluer la densité spectrale de puis-sance des fluctuations. Les figures 4.23 et 4.24 ont mis en évidence que la répartition spectrale

10⁰ 10¹ 10² y+− ∆y+ 101 102 103 10⁴ λ+ x ∆tsignal= 1 × 10⁻⁶s ' 0.65 ^lτ uτ Tsignal= 4 × 10⁻³s ' 2600lτ uτ

Figure 5.1 – Iso-valeurs dans le plan (y+− ∆y+, λ+

x) de la densité spectrale de puissance S+ u0u0 en unité de paroi pré-multipliée par la longueur d’onde λ+

x pour la configuration lisse (∆y+= 0, ) et celle avec riblets (∆y+= 1.4, ) au nombre de Reynolds Reθ = 1000. Les niveaux tracés croissent de 10−3/2 (en bleu foncé) à 101/6 (en rouge foncé) par incréments logarithmiques de 101/3.

(temporelle comme spatiale) de l’énergie cinétique longitudinale u0u0 est à peine affectée par la pré-sence des riblets à l’altitude où l’énergie cinétique turbulente est maximale.

La même analyse peut être conduite aux autres altitudes de la couche limite. C’est ce qui est fait sur la figure5.1, où la densité spectrale de puissance S+

u0u0 suivant 1/λ+

x est tracée en fonction de y+− ∆y+. L’évolution du signal suivant x est en réalité le fruit de l’application de l’hypothèse de Taylor au signal temporel. Quand elles sont ainsi adimensionnées en unité de paroi et localisées suivant l’origine virtuelle décalée de ∆y+= ∆u+, on observe que les densités spectrales des configu-rations lisse et avec riblets partagent les mêmes niveaux au-delà de y+' 5. Malgré la présence des

riblets, la répartition de l’énergie suivant les différentes échelles retrouve l’équilibre du cas canonique

quand l’adimensionnement en unité interne est choisi. Ce résultat constitue une démonstration sup-plémentaire de la similarité entre l’écoulement au-dessus des riblets et l’écoulement composite défini précédemment, marquant une nouvelle fois le caractère extrêmement local de l’influence des riblets et de la capacité de la turbulence à retrouver son équilibre canonique.

La figure 5.1nous apprend de plus que l’excédent d’énergie visible en dessous de y+. 5 sur le profil u+

rms(y+) en bas de la figure4.18peut être attribué à des structures longues de λ+

x ' 102 à 103. Cela correspond vraisemblablement à l’empreinte des structures proches-paroi mise en évidence par Jiménez [136] comme reportée sur la figure 1.22 de la revue bibliographique. Il n’est pas étonnant que la densité spectrale de puissance ne chute pas à zéro pour y+− ∆y+→ 0 dans le cas contrôlé, comme cela est pourtant le cas pour la configuration lisse, puisque du fluide s’écoule même aux abscisses y+− ∆y+ négatives dans le sillon des riblets.

Comme cela a été développé dans la sous-section 2.2.3.4 de la revue bibliographique, des tour-billons quasi-transverses, étendus dans la direction z, ont été associés au mécanisme de rupture de la réduction de traînée du régime visqueux par García-Mayoral & Jiménez [94]. Ainsi, la densité spectrale de puissance de la vorticité ω0

10¹ 10² 10³ λ+ z 101 102 y+− ∆y+ ∆zsignal= 4.99 × 10⁻⁶m ' 1.02 lτ Lz,signal= 5.75 × 10⁻³m ' 1181 lτ Tsignal= 4 × 10⁻³s ' 2600 lτ uτ

Figure 5.2 – Iso-valeurs dans la plan (y+− ∆y+, λ+

z) de la densité spectrale de puissance S+ ω0

zω0

z en unité de paroi pré-multipliée par la longueur d’onde λ+

z pour la configuration lisse (∆y+= 0, ) et celle avec riblets (∆y+= 1.4, ) au nombre de Reynolds Reθ = 1000. Les niveaux tracés croissent de 100 (en bleu foncé) à 103 (en orange) par incréments logarithmiques de 101. TQTs. La figure5.2 représente S+

ω0

zω0

z en fonction de la longueur d’onde transverse λ+

z pour chaque altitude y+− ∆y+.

Pour la configuration lisse, le maximum de densité spectrale de puissance pré-multipliée se si-tue à l’altitude y+ ' 6 et correspond à une longueur d’onde de λ+

z ' 102. En présence des riblets, l’amplitude et la position dans le plan (y+− ∆y+, λ+

z) de ce maximum ne sont pas sensiblement affectées. Il en est de même pour l’ensemble des niveaux au-delà de y+ ' 10. En dessous, des raies de densité de puissance sont visibles aux harmoniques λ+

z,n= λ+

z,1/nde la longueur d’onde λ+ z,1' 16. Cette longueur d’onde correspond à la largeur crête-à-crête s+des riblets. Les raies d’intense densité de puissance sont la marque de la périodicité qu’ils introduisent.

L’étude des corrélations deux-points/un-temps est une méthode complémentaire à l’observation de structures cohérentes, dont les bases ont été introduites à la sous-section 4.4.7. La figure 5.3 représente, à chaque altitude y+− ∆y+, le coefficient de corrélation Cω0

zω0

z de la composante trans-verse de la vorticité pour un décalage transtrans-verse ξz. Seuls les niveaux [−0.1, 0, 0.1] sont affichés pour délimiter les zones relativement corrélées. On y remarque là encore que les riblets n’engendrent pas d’influence notable sur les structures cohérentes au-dessus de y+' 10. En dessous, la périodicité induite par leur présence est également relevée.

Pour les riblets étudiés, la présence de TQTs n’est donc pas mise en évidence sur la répartition spectrale de puissance de ω0

z ni sur son coefficient de corrélation transverse. Notre étude ne fournit donc aucun support supplémentaire aux observations et à la théorie de García-Mayoral & Jimé-nez [94]. Elle ne les met pas en défaut pour autant : la dimension des riblets ayant été choisie pour que la réduction de traînée soit optimale, elle est trop faible pour que le mécanisme de rupture soit prédominant. Ainsi, une étude similaire avec des riblets de dimension supérieure serait nécessaire pour apporter un éclairage sur ce point.

Néanmoins, cette étude a permis d’établir que des riblets, dans leur régime de réduction de traînée optimale, n’induisent pas de changement appréciable sur les structures turbulentes du

cycle-0 20 40 60 80 100 y⁺− ∆y+ 0 40 80 120 160 200 ξ+ z ∆zsignal= 4.99 × 10⁻⁶m Lz,signal= 5.75 × 10⁻³m Tsignal= 4 × 10⁻³s

Figure 5.3 – Iso-valeurs dans la plan (y+− ∆y+, ξ+

z ) du coefficient de corrélation Cω0

zω0

z pour la configuration lisse ( ) et celle avec riblets ( ) au nombre de Reynolds Reθ = 1000. Les niveaux tracés sont 0.1 (en gris clair), 0 (en gris foncé) et −0.1 (en noir).

proche paroi. Ainsi, ni la répartition énergétique suivant les échelles spatiales et temporelles ni les longueurs de corrélations ne sont affectées au-delà des quelques premières unités de paroi, si l’origine de l’axe y est décalée de ∆y+= ∆u+ par rapport à celle basée sur la décomposition FIK.

5.3.3 Bilans énergétiques

Les bilans d’énergie cinétique turbulente ont été présentés dans la sous-section 4.4.8 pour les configurations de plaque plane et de riblets. En observant la figure de gauche de4.27, on avait alors pu remarquer que les profils du cas avec riblets semblaient translatés par rapport à ceux du cas de référence. À la lumière de l’analyse conduite dans l’article présenté dans la section précédente, on a représenté sur la figure5.4 les profils en unité de paroi du bilan de k en fonction de y − ∆y+ avec ∆y+= ∆u+= 1.4. On constate que les profils pour l’ensemble des termes se superposent parfaitement sur toute l’étendue de la couche limite. Ainsi, au-delà de la sous-couche additionnelle d’épaisseur ∆y+, les riblets conservent l’intensité et la répartition de l’ensemble des mécanismes interagissant avec la turbulence, qu’ils soient liés à la viscosité, à la pression ou à l’écoulement moyen. Ce résultat va aussi dans le sens d’une similitude entre l’écoulement au-dessus des riblets et l’écoulement composite défini à la fin de la sous-section5.3.1.

Les profils représentés sur la figure5.4sont tous adimensionnés en unité de paroi. Le frottement pariétal étant moindre sur la paroi couverte de riblets, la vitesse uτ utilisée pour l’adimensionnement en unité de paroi y possède une valeur plus faible que dans le cas de plaque plane. La superposition des profils du bilan de k adimensionnés en unité interne implique que, lorsqu’ils sont dimensionnés ou adimensionnés en unité externe, les profils relatifs aux riblets sont d’intensité plus faible que ceux relatifs à la plaque plane (comme cela est aussi le cas pour les intensités fluctuantes, représentées en unité interne et en unité externe sur les figures4.18). On peut donc en conclure que la présence des riblets engendre une chute de l’énergie cinétique turbulente et, dans la même proportion, de l’ensemble des termes de son bilan.

0 10 20 30 40 y+− ∆y+ −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 puits sources 100 101 102 103 y+− ∆y+ −3 −2 −1 0 1 2 3 puits sources

Figure 5.4 – Termes (à gauche) et termes pré-multipliés par y+− ∆y+(à droite) du bilan d’énergie cinétique turbulente (1.22) en unité de paroi au nombre de Reynolds Reθ = 1000 pour la configura-tion lisse (∆y+ = 0, ) et celle avec riblets (∆y+= 1.4, ). Les données des simulations DNS de Schlatter & Örlü [238] (∆y+ = 0, ) sont également représentées. Les termes sont res-pectivement ceux deconvection(rose), deproduction (transfert de K vers k) (bleu), dedissipation

(rouge), dediffusion visqueuse(orange), dediffusion turbulente(vert) et dediffusion par la pression

(violet). La dissipation totale est obtenue en sommant la dissipation résolue, représentée en gris, et

les dissipations sous-maille et numérique (calculées comme terme résiduel du bilan).

On peut alors se demander de quelle manière les riblets induisent la chute des niveaux turbu-lents. Est-ce que les riblets perturbent le cycle proche-paroi de la turbulence de sorte à atténuer la production de k, c’est-à-dire le transfert d’énergie entre K et k, provoquant alors une baisse du niveau d’énergie cinétique turbulente k ? Ou alors, est-ce que la baisse du niveau de k est provoquée par une augmentation de la dissipation d’énergie turbulente ? Dans chacun de ces cas, la baisse du niveau d’énergie cinétique fluctuante engendre, par la suite, une réduction du transfert de quantité de mouvement vers la paroi, du cisaillement moyen, puis du frottement pariétal. Un nouvel équilibre s’établit alors dans cet écoulement au cisaillement réduit et au faible niveau de k, dans lequel l’in-tensité de l’ensemble des termes du bilan est réduite en conséquence. Afin de mieux comprendre le mécanisme expliquant la réduction de traînée des riblets, il peut alors être intéressant de comprendre sur le(s)quel(s) des termes du bilan ils influent directement.

Les termes du bilan d’énergie cinétique turbulente ont alors été intégrés entre la paroi et l’exté-rieur de la couche limite, pour chacune des stations x. L’intégrale dans le plan (y, z) des termes de diffusions (visqueuse, turbulente et par la pression) est quasiment nulle. Seul subsiste l’effet de la diffusion selon x dont l’intensité est bien plus faible. Ces termes de diffusion ont tous été regroupés ensemble et ajoutés au terme de convection. L’ensemble {diffusion + convection} contient alors l’ensemble des termes de transport. Pour compléter le bilan, il faut également prendre en compte les termes de dissipation et de production.

L’évolution des termes du bilan intégrés est représentée sur la figure5.5. À gauche de la figure, où les données sont adimensionnées en unité de paroi, les courbes avec et sans riblets sont d’une très grande similarité, hormis à proximité des extrémités amont et avale de la zone de contrôle. Ce résultat confirme que très vite après avoir été perturbée par la mise en place ou par la suppression du contrôle, la turbulence retrouve un équilibre adapté avec le cisaillement local, et donc avec l’adi-mensionnement interne. Ces courbes, ainsi adimensionnées, ne nous permettent donc pas d’éclaircir la nature de l’influence des riblets, puisque la perturbation du frottement et l’adimensionnement se mêlent à la perturbation engendrée sur chaque terme du bilan. Les mêmes données sont alors tracées, sans adimensionnement, sur la partie droite de la figure 5.5. Comme attendu, les niveaux de production et de dissipation sont tous deux diminués en présence de riblets. Il est néanmoins

0 20 40 60 80 100 x/δin −0.008 −0.006 −0.004 −0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 puits sources 0 20 40 60 80 100 x/δin −40 −20 0 20 40 puits sources

Figure 5.5 – Évolution avec x des termes du bilan d’énergie cinétique turbulente (1.22) intégrés sur chaque plan x en unité de paroi (à gauche) et sans adimensionnement (à droite) pour la configuration lisse ( ) et celle avec riblets ( ). Les termes sont respectivement ceux de transport (convection et diffusion)(rose), deproduction(bleu) et dedissipation(rouge). Les zones de transition entre plaque plane et riblets sont indiquées en gris clair.

8 10 12 14 x/δin −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

Figure 5.6 – Différence entre les niveaux des configurations avec et sans riblets des termes du bilan d’énergie cinétique turbulente (1.22) intégrés sur chaque plan x. Les termes sont respectivement ceux de transport (convection et diffusion) (rose), de production (bleu) et de dissipation (rouge). La zone de transition de la plaque plane vers les riblets est indiquée en gris clair.

difficile de déterminer, sur cette figure, lequel des deux est affecté le premier et entraîne la chute du second.

Afin de mettre en évidence l’influence des riblets, la différence entre les niveaux des configurations avec et sans riblets est représentée sur la figure 5.6. On se focalise ici sur la transition amont, de la plaque plane vers la zone de riblets. On y observe que le terme de production subit une chute rapide. Son déficit se stabilise très vite alors que la dissipation a tout juste commencé à évoluer. C’est donc bien sur la production d’énergie cinétique turbulente que les riblets influent directement. La chute de la dissipation n’en est qu’une conséquence indirecte.

Alors qu’un délai spatial d’environ 0.5 δin est nécessaire à la production pour atteindre son nouvel équilibre, il faut environ 4 δin' 1000 lτ pour le terme de dissipation. Dans l’intervalle, c’est le terme de transport qui permet de maintenir l’équilibre du bilan. Il subit une hausse soudaine pour compenser la chute de la production, puis retombe à son niveau canonique à mesure que la dissipation s’adapte progressivement au niveau de production atténuée. Le fait que le terme de transport subisse une hausse transitoire témoigne qu’il y existe un déficit d’énergie entre ce qui est localement produit et dissipé. La convection et la diffusion jouent alors le rôle de tampon en y transportant de l’énergie produite ailleurs.

Si, contrairement à ce qui a été constaté, les riblets avaient influé directement, non pas sur la production, mais sur la dissipation en provoquant son augmentation, cela aurait transitoirement causé un excédent d’énergie cinétique. Le rôle de tampon aurait là encore été joué par le terme de transport qui, cette fois, aurait adopté un comportement transitoire de puits d’énergie. C’est ce comportement qui a été observé par Ricco et al. [224] lors de leur étude du contrôle de la turbulence par une paroi oscillante. Cela témoigne de la diversité des mécanismes en jeu pour les différentes stratégies de contrôles.

Conclusion du chapitre

Dans ce chapitre, à la section5.1, la nécessité de définition d’une origine virtuelle cohérente a tout d’abord été démontrée. En effet, le choix d’une origine pour l’axe y n’est pas évident lors de l’étude de paroi rugueuse (et, a fortiori, couverte de riblets), puisque la surface n’est pas plane. Or ce choix a une réelle influence sur l’interprétation des résultats lors des comparaisons entre les écoulements dont la paroi est couverte ou non de riblets. La notion d’origine virtuelle est alors définie comme étant la position particulière à laquelle la couche limite “voit” une paroi plane équivalente. Parmi les différents choix existant dans la littérature, certains sont géomé-triques, d’autres basés sur l’écoulement de Stokes. Néanmoins, aucun ne trouve ses fondements dans les propriétés effectives de l’écoulement turbulent étudié.

La section5.2reprend l’article [13] publié dans la revue Flow, Turbulence and Combustion. En s’appuyant sur la décomposition FIK originelle, une décomposition du frottement étendue au cas des parois complexes est tout d’abord obtenue. Au-delà des résultats apportés par une telle analyse du frottement, cette décomposition induit implicitement la définition d’une origine virtuelle, formulée comme le barycentre du frottement sur la paroi complexe pondéré par une fonction de l’altitude locale. Dans la suite de la section, l’utilisation de cette origine virtuelle permet d’établir une forte similitude entre les profils de vitesses moyennes et de tensions de Reynolds des cas avec et sans contrôle, moyennant la translation des courbes adimensionnées en unité de paroi par un décalage ∆y+= ∆u+= ∆U∞. Ainsi, aussi complexe soit l’interaction+ entre les riblets et la turbulence, l’écoulement au-dessus des riblets semble être correctement caractérisé par le profil composite constitué d’une couche limite turbulente canonique placée

sur une fine couche laminaire d’épaisseur ∆y+ et de cisaillement constant.

Dans la dernière section 5.3 de ce chapitre, la similitude entre l’écoulement au-dessus des

riblets et le profil composite est confirmée par l’observation des mouvements cohérents et des

bilans énergétiques.

En effet, les densités spectrales de puissance S+ u0u0(λ+ x) et S+ ω0 zω0 z(λ+ z) et le coefficient de corré-lation deux-points/un-temps C+ ω0 zω0 z(ξ+

z ) conservent globalement les mêmes niveaux d’intensité en présence de riblets lorsqu’ils sont translatés de ∆y+. Seule la présence de la périodicité de largeur s+ induite par la disposition régulière des riblets marque une différence entre les deux configurations, bien que cette périodicité ne se fasse plus sentir au-delà de y+' 10. La présence