Présentation des résultats et validation de la méthode numé- numé-rique

4.4.1 Campagnes de simulations et choix de paramètres numériques

La mise au point d’une méthode numérique peut être délicate. Pour de nombreuses raisons, un calcul peut devenir totalement inconsistant avec la réalité physique qu’il est censé reproduire. Les “symptômes” peuvent être variés, de l’apparition subite de NaN dans les champs de données à la divergence progressive des variables après des milliers d’itérations. Une des difficultés liées à l’identification de la cause de ces inconsistances vient du couplage total, via la résolution du système linéaire (3.45), entre toutes les différentes variables à tous les points de l’espace. Ainsi, une condition aux limites défectueuse peut instantanément polluer l’ensemble des champs de variables primitives, rendant difficile la localisation de la zone du domaine en cause. Une autre difficulté peut provenir du caractère chaotique de la turbulence, et donc, de l’impossibilité de réitérer une nouvelle fois une simulation dans des conditions identiques (bien que dans la pratique, les solveurs de l’Onera sont développés de façon à assurer la reproductibilité des résultats : pour un même jeu de conditions initiales, les mêmes opérations sont réalisées dans le même ordre et, si des nombres aléatoires sont nécessaires, ils sont fournis par des routines pseudo-aléatoires, mais réellement-déterministes). Enfin, l’utilisation de solveur complexe basé sur du calcul processeur (processing) ou multi-tâche (multi-threading) peut grandement complexifier l’identification de la source d’un problème.

Pour notre cas d’étude, une phase conséquente de mise au point de la méthode de calcul a été nécessaire pour obtenir des simulations précises et robustes. En effet, la simulation de l’écoulement turbulent au-dessus de riblets présente des particularités qui lui sont propres (topologie et raffine-ment de maillage spécifique, ...). Ces spécificités peuvent dévoiler certaines limitations des outils numériques, pourtant reconnus comme adaptés à de nombreuses autres conditions. Afin d’identifier ces limitations, différentes campagnes de simulation ont été entreprises, dont un résumé figure sur le tableau4.9. Par “campagne de simulation”, on comprend ici l’ensemble des simulations réalisées sur un maillage donné (avec ses deux variantes de paroi lisse et de paroi couverte de riblets) et avec des conditions génératrices fixées, mais où les paramètres numériques abordés précédemment (schémas de discrétisation, conditions aux limites, ...) peuvent varier. En particulier, un grand nombre de simulations a été conduit sur des domaines de petite taille, avec un seul ou un petit nombre de blocs et exclusivement pour la configuration non contrôlée, c’est-à-dire sans riblets. Ces simulations simplifiées présentent des avantages évidents de coût et de rapidité de mise en œuvre, permettant de réaliser de nombreux tests et d’isoler plus rapidement les causes des inconsistances numériques rencontrées.

C’est en améliorant les transferts d’information entre les différents blocs du maillage que le principal point bloquant, qui était responsable d’une lente divergence des champs de variables primitives jusqu’à l’explosion du calcul, a été résolu. La résolution itérative, bloc par bloc, du système linéaire (3.45) telle qu’elle est faite avec FLU3M (voir section3.2.5.4) devient critique avec un maillage contenant autant de blocs que le nôtre. En effet, de par la présence des riblets, chacun des blocs de maillage dans la zone contrôlée n’est étroit que de 16 mailles uniquement, ce qui limite grandement la propagation de l’information dans la direction transverse, et donc la convergence de l’algorithme de résolution itératif. Les précautions particulières prises dans le solveur FUNk et décrites dans la section3.2.5.4permettent d’obtenir une convergence nominale des résidus même en présence d’un découpage extrême du maillage. Ce qui résout finalement les problèmes d’instabilité numérique rencontrés avec des topologies comme celle de cette étude.

Pour illustrer la diversité des problèmes que l’on peut rencontrer en mécanique des fluides nu-mériques, citons également un deuxième point qui a posé quelques difficultés. Dans nos simulations DNSs les plus résolues, le volume des plus petites mailles, de l’ordre de l3

τ ' (4µm)³ ' 6 × 10−17m3, est minuscule lorsqu’exprimé en unités du système international, si bien que son utilisation peut amener aux limites inhérentes à l’arithmétique numérique à précision finie. Le dimensionnement de

toutes les longueurs en millimètre a permis de lever la difficulté. Pour garder de la consistance dans les unités, non seulement les durées et les masses ont été exprimées en milliseconde et microgramme, mais toutes les grandeurs ayant longueur, durée ou masse comme dimension de base ont été adi-mensionnées en concordance. De cette façon, les valeurs des nombres de Reynolds et des variables primitives (vitesse, pression et densité) ont toutes été conservées.

Ce sont finalement les résultats des campagnes de simulation nommées R10 et R10D dans le tableau4.9 qui seront analysés dans la suite, sauf lorsque mentionné. Les simulations de ces cam-pagnes bénéficient de l’expérience acquise lors des camcam-pagnes précédentes sur le paramétrage de l’injection de turbulence synthétique et des conditions aux limites de sortie, sur la génération du maillage, sur la détermination du pas de temps et du nombre de sous-itération pour la résolution du système implicite, ainsi que sur les choix de schémas de discrétisation spatiale. Les dimensions du domaine pour cette campagne de simulation ont été précisées dans le tableau4.5

Dans la suite de ce chapitre, on s’attachera à vérifier que la méthode de calcul est en mesure de reproduire les propriétés et caractéristiques de la littérature pour les écoulements de ZPGTBLs au-dessus d’une paroi lisse ou couverte de riblets. Une analyse plus détaillée sera conduite dans les chapitres suivants. Notamment, la question de l’origine virtuelle d’une paroi recouverte de riblets, c’est-à-dire la position particulière à laquelle la couche limite “voit” une paroi plane équivalente, sera abordée dans le chapitre5. Une fois l’origine virtuelle définie de façon pertinente, une nouvelle analyse des champs pourra être conduite. Dans le chapitre 6, l’influence des riblets sur le dévelop-pement spatial de la couche limite et sur la réduction de traînée atteignable à grand nombre de Reynolds sera évaluée analytiquement.

Laissant ces deux problématiques pour plus tard, on s’attache ici à décrire l’écoulement selon des niveaux croissants d’analyse, conformément à la nomenclature du tableau4.10, grandement inspirée de celle proposée par Sagaut, Deck et Weiss [233,283].

Degré Niveau de validation

0 Observation qualitative des champs instantanés(fluctuations de vitesse, critère Q, ...)

1 Grandeurs globales(coefficient de frottement, épaisseur de couche limite, ...)

2 Champ aérodynamique moyen(profils de vitesse, de pression, ...)

3 Statistiques du second-ordre(tensions de Reynolds, ...)

4 Analyses spectrales en un point(densité spectrale de puissance, ...)

5 Analyses spectrales en deux points(corrélation, covariance, spectre de phase, ...)

6 Analyse des équations de conservation(bilan d’énergie, d’enstrophie, ...)

Table 4.10 – Nomenclature des différents niveaux de validation de simulations numériques. Classi-fication inspirée de [233] et [283].

4.4.2 Degré 0 : Observation qualitative de champs instantanés

Bien qu’elle ne tient pas pour lieu de validation, une première vérification utile est une obser-vation qualitative d’une sortie instantanée de simulation. Parmi les nombreux champs qui peuvent être observés, le frottement pariétal et le critère Q sont brièvement présentés ci-dessous.

4.4.2.1 Frottement pariétal instantané

Une distribution typique du frottement instantané sur la paroi des riblets est représentée sur la figure4.7. On constate une répartition très inhomogène entre les vallées et les crêtes de riblets, mais une très faible évolution dans la direction longitudinale. Les résultats relevés dans la littérature

Figure 4.7 – Distribution du frottement pariétal instantané τw,x(x, z) à la surface des riblets. et rapportés dans la section2.2.2.1 sont donc retrouvés qualitativement ici. L’étude du frottement moyen par la suite permettra une comparaison plus quantitative.

Enfin, notons de plus l’absence de zone de frottement négatif, qui auraient révéler la présence des bulbes de recirculation observés dans le sillon des riblets par Chu & Karniadakis [46] mais contestés par d’autres auteurs [37].

4.4.2.2 Structures turbulentes

Afin de s’assurer de la pertinence de l’écoulement fluctuant calculé, l’observation qualitative des structures turbulentes permet de compléter la comparaison des profils moyens à des données de référence. Notamment, le critère Q introduit par Jeong & Hussain [131] est un critère classique-ment employé pour visualiser les structures tourbillonnaires. Ce critère est défini comme le second invariant du gradient de vecteur vitesse, c’est-à-dire qu’il peut s’écrire comme

Q= ¹

2^{(ΩijΩij − SijS}ij), (4.1)

où S et Ω sont respectivement les parties symétrique et antisymétrique du gradient ∇u.

La figure du dessus de 4.8 représente une iso-surface du critère Q, colorée par la distance à la paroi. Cette représentation permet de visualiser des structures tourbillonnaires de différentes formes et de différentes échelles. On distingue notamment de nombreux tourbillons en épingle à cheveux (hairpin-like vortices) et davantage encore de demi-hairpins parfois appelés “cannes”. Ces structures correspondent bien à celles décrites dans la littérature, telles que décrites dans la section1.4.

Un plan de coupe, visible sur cette figure, permet de représenter le champ des vitesses instan-tanées. Un zoom de ce plan est isolé sur la figure du dessous. La couleur matérialise la vitesse longitudinale (perpendiculaire au plan) alors que le champ de vecteurs indique les composantes normales et transverses du vecteur vitesse. On distingue la présence de tourbillons longitudinaux de différentes échelles. Les plus petits, plus proches de la paroi, ont leur centre à une hauteur de

riblets environ au-dessus des crêtes. La présence de ces tourbillons est fortement corrélée avec des

zones d’écoulement plus lent et plus rapide placées de part et d’autre, conformément au mécanisme de formation des streaks décrit dans la section1.4.1.

Ces observations qualitatives ont permis de retrouver quelques propriétés caractéristiques des écoulements turbulents. La suite de ce chapitre s’attachera maintenant à des considérations plus quantitatives.

X Y Z u 70 60 50 40 30 20 10 0

Figure 4.8 – Visualisation de l’écoulement instationnaire au-dessus de la paroi couverte de riblets. (Au-dessus) Iso-surface du critère Q colorée par la distance à la paroi y/δ. La coupe dans le plan transverse est mise en évidence sur la figure du dessous. (En dessous) Iso-valeur dans le plan transverse (y, z) de la vitesse longitudinale instantanée u(x, y, z, t) à la station x telle que Reτ ' 360, auquel est superposé le champ instantané de vecteurs (v+, w+).

600 800 1000 1200 1400 Reθ 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 cf

Figure 4.9 – Évolution du coefficient de frottement cf en fonction du nombre de Reynolds Reθ pour la configuration lisse ( , symboles pleins) et celle avec riblets ( , symboles vides). Les symboles s et l représentent respectivement les topologies cartésienne et déformée. Les données issues des DNSs de Spalart [251] (_u) et de Schlatter & Örlü [238] (n) sont représentées, tout comme les corrélations empiriques de Smits et al. [248] ( ) et de Nagib et al. [192] ( ) dont l’expression est fournie dans le tableau1.1.

4.4.3 Degré 1 : Grandeurs globales

Parmi les grandeurs globales de la couche limite turbulente, certaines concernent son épaisseur — par exemple δ99%, δ∗, θ, H et les nombres de Reynolds associés — alors que d’autres sont liées au frottement pariétal — tels τw,x et cf.

4.4.3.1 Frottement pariétal moyen

Le frottement constitue la fonction objectif que l’on souhaite minimiser par l’utilisation de

ri-blets. Aussi, une excellente prédiction de cette grandeur est d’importance majeure dans notre étude.

Dans un premier temps, on s’attachera donc à valider notre capacité à prédire correctement la valeur du frottement, laissant pour plus tard l’analyse physique des résultats obtenus.

Validation de la capacité d’évaluation du frottement pariétal. Trois méthodes nous

per-mettent d’attester de la qualité de l’évaluation de cf. Tout d’abord, une comparaison peut être faite entre le frottement obtenu sur les simulations avec paroi lisse et des données de référence. À ce titre, l’évolution du frottement cf en fonction du nombre de Reynolds Reθ est tracée sur la figure 4.9 pour les deux topologies de maillage. Pour la configuration lisse, le frottement peut y être comparé avec les résultats issus de DNSs et de corrélations de référence. Sa prédiction est non seulement identique pour chacune des deux topologies de maillage, mais est de plus en excellent accord avec les données de référence sur l’intégralité la plage de nombre de Reynolds utile. En parlant de plage

utile, on exclut la partie la plus amont du domaine, c’est-à-dire pour x compris entre xinet x0− 3δ

environ, qui constitue une zone de relaxation de l’injection de turbulence synthétique. Ce résultat permet ainsi de valider pleinement la capacité à prédire correctement le frottement sur une paroi lisse.

un biais dans le calcul du frottement. Ainsi, la validation de la méthode numérique sur paroi lisse, bien que rassurante, n’est pas suffisante. Notons tout de même que l’obtention du même niveau de frottement pour la configuration lisse, que ce soit avec le maillage cartésien de la première topologie ou avec le maillage grandement déformé sur une dizaine d’unités de paroi au-dessus de la surface de la seconde topologie, atteste de la robustesse et de la précision de la méthode numérique, même dans le cas d’une surface (traitée de façon numériquement) complexe.

Les données de la littérature ne sont pas suffisamment étayées pour qu’une base de données précise et éprouvée soit disponible avec la géométrie de riblets et les conditions d’écoulement adéquates. Ainsi, une validation est possible en comparant les résultats obtenus par la méthode LES à ceux issus de simulations plus fines. Une campagne de simulation de type DNS, nom-mée R7 dans le tableau 4.9, a alors été réalisée sur le domaine de calcul aux dimensions res-treintes Lin→x0→x₁→out = (10−8−8) δinde la campagne R6 de simulation de type LES. Le domaine de calcul, la géométrie des riblets, ainsi que les conditions aux limites, sont gardés identiques pour les deux méthodes de simulation. Seules la présence d’un modèle de viscosité sous-maille et la fi-nesse de la discrétisation ∆x diffèrent. Cette dernière est ici étendue à ∆x+= 30 pour les LESs alors qu’elle n’est que de ∆x+= 6 pour les DNSs.

Pour les deux types de simulation, la courbe cf(Reθ) sur configuration de paroi lisse rejoint comme précédemment les tendances canoniques, et ce, avant que le début de la zone de contrôle ne soit atteint (non montré). Néanmoins, bien que la méthode d’injection de turbulence synthétique soit identiquement paramétrée pour les deux campagnes de simulations, le changement de résolution modifie grandement la distance de relaxation de la turbulence en entrée de domaine, celle-ci étant bien plus courte pour les simulations DNSs. Pour cette raison, le coefficient de frottement à une position x donnée ne prend pas les mêmes valeurs pour les cas LES et DNS, même sur les configu-rations de paroi lisse, car à une même position x ne correspond pas le même nombre de Reynolds de l’écoulement.

Il semble donc plus pertinent de s’intéresser au taux de réduction de frottement F RR(x), per-mettant de ne considérer que la différence relative entre le frottement des configurations lisses et avec riblets. Les résultats sont représentés sur la figure4.10 pour les deux types de simulation. Le comportement de leur taux de réduction de frottement est grandement identique, que ce soit dans la zone de réduction de traînée établie où les courbes diffèrent au maximum d’à peine plus d’un pour cent, ou à proximité des extrémités amont et avale de la zone contrôlée. Ce résultat permet alors de valider la capacité de la méthode numérique à correctement prendre en compte les irrégularités de paroi.

Une dernière méthode de validation permet de démontrer la consistance de la couche limite turbulente sans gradient de pression, que ce soit avec une paroi lisse ou couverte de riblets. En effet, l’intégration des équations de couche limite a mené à l’établissement de l’équation intégrale de quantité de mouvement (1.60). Pour le cas particulier d’une couche limite sans gradient de pression, la relation se simplifie en

c_f

2 ⁼

dθ

dx ^{, (4.2)}

puisque les grandeurs U∞ et ρ∞ n’évoluent pas.

La grandeur intégrale 2 dθ/ dx est tracée au côté de cf sur la figure 4.11. En dehors du fait que son comportement soit très bruité, ce qui est dû à la grande sensibilité à la dérivation d/ dx, l’équation intégrale est vérifiée sur toute l’étendue de la zone de contrôle. Aux extrémités amont et aval des riblets, la forte perturbation de la paroi induit les soudaines évolutions de la pression que l’on observe sur la figure. Ce résultat permet de démontrer la consistance entre le frottement pariétal, calculé directement à la paroi, et le champ de vitesse moyenne, qu’il a fallu intégrer dans toute la couche limite pour obtenir θ. On peut de plus conclure que le gradient de pression, dont l’évaluation a été donnée dans le tableau4.7, est suffisamment faible pour ne pas avoir d’influence majeure sur l’évaluation du frottement.

5 10 15 20 x/δin -40% -20% 0% 20% −F RR

Figure 4.10 – Évolution du taux de réduction de frottement F RR dans la direction longitudinale x obtenue par simulations de types LES ( s4 , campagne de simulation R6) et DNS ( t5 , campagne de simulation R7). 0 20 40 60 80 100 x/δin 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 cf

Figure 4.11 – Évolution dans la direction longitudinale x du coefficient de frottement cf ( ) et du double de la dérivée de l’épaisseur de quantité de mouvement 2 dθ/ dx ( ) pour la configuration lisse ( ) et celle avec riblets ( ). Seuls les résultats issus de la topologie cartésienne sont représentés ici.

Caractérisation de l’influence des riblets sur le frottement pariétal. Comme mentionné dans la littérature, on constate que les riblets entraînent bien une réduction significative du frot-tement. Sur la figure 4.11, on distingue une zone de réduction de frottement établie, encadrée par deux régions où le frottement est fortement perturbé par le changement de nature de la paroi. Cette zone établie s’étend ici entre x ' x0+ 2 δin' x0+ 2 δ(x0) et x ' x1− 5 δin' x1− 2 δ(x1) pour la topologie cartésienne. L’intensité et l’étendue des zones de relaxation dépendent grandement de la géométrie de l’extrémité des sillons des riblets et de leur position relative avec la paroi lisse.

La topologie cartésienne, qui a été la première topologie de maillage adoptée, a conduit à une géométrie de riblets présentant une arête vive aux extrémités amont et avale, comme cela est visible sur la figure4.6(à gauche). Comme on peut le constater sur la figure4.11, cette première topologie avec arrêtes singulières génère un important pic de frottement à chacune des extrémités de la zone de contrôle (en amont, le coefficient cf atteint 10−2 et sort donc du graphique). Une grande partie de ces efforts visqueux sont concentrés sur quelques facettes de maille uniquement.

Ce constat a donc conduit à un changement de topologie. Le maillage déformé représenté sur la figure4.6 (à droite) présente l’avantage d’une transition progressive entre la paroi lisse et la paroi avec riblets. Le maillage dans la zone de contrôle est le même que précédemment et on a déjà pu juger de la bonne capacité de prédiction du frottement sur les zones de paroi lisse où la déformation de maillage est grande. De plus, le choix a cette fois été fait de positionner verticalement les riblets de sorte que l’altitude de la paroi lisse soit celle de leur origine virtuelle visqueuse hk, par opposition au choix effectué avec la topologie cartésienne pour laquelle les riblets ont été positionnés de sorte à conserver la surface frontale et ainsi minimiser les efforts de pression. Ces positions relatives sont représentées sur la figure4.5.

Grâce à cette nouvelle topologie sans arrêtes vives aux extrémités amont et avales des riblets, l’évolution cf(x) du frottement est beaucoup plus progressive. Il n’y a plus de “pic” de frottement au début et à la fin de la zone de contrôle, mais une perturbation continue, nettement atténuée par rapport au cas précédent comme le montre la figure 4.9. L’évolution du frottement dans les régions de transition au début et à la fin de la zone de contrôle est elle aussi beaucoup plus progres-sive. Avec cette topologie, on estime donc l’étendue de la zone de réduction de frottement établie à x ' x0+ 10 δin' x0+ 9 δ(x0) et x ' x1− 2.5 δin' x1− δ(x1).

Dans la zone de réduction de frottement établie, les deux topologies conduisent au même frotte-ment cf(Reθ). Ainsi, la géométrie au commencement des riblets et leur position verticale par rapport à la paroi plane qui précède n’ont qu’une influence limitée à une zone transitoire. Passé cette zone,